TBF 122 - Genel Matematik II DERS – 8 : Çift Katlı İntegral Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Ters Türevler. F, G ve f iki değişkenli fonksiyonlar; D bu fonksiyonların her birinin tanım kümesinde kapsanan bir küme olsun. Her (x,y)D için Fx(x,y)=f(x,y) ise, F fonksiyonuna f nin D kümesinde x e göre ters türevi denir. Benzer şekilde, her (x,y)D için Gy(x,y)=f(x,y) ise, G fonksiyonuna f nin D kümesinde y ye göre ters türevi denir. Ters türevlerden söz edilirken herhangi bir kümeye referans verilmemişse, D kümesi olarak ters türev olma özelliğinin geçerli olduğu en geniş küme alınır. Örnek 1. , ve denklemleri ile tanımlanmış fonksiyonlar için F, f nin x e göre ters türevidir, çünkü G fonksiyonu f nin y ye göre ters türevidir, çünkü dir.

Bir değişkenli fonksiyonlarda ters türevle ilgili tartışmalarımızı anımsayarak şu sonuçlara ulaşabiliriz: F1 ve F2, aynı f fonksiyonunun x e göre ters türevleri ise, öyle bir (bir değişkenli) B fonksiyonu vardır ki, F2(x,y)= F1(x,y) + B(y) dir. G1 ve G2, aynı f fonksiyonunun y ye göre ters türevleri ise, öyle bir (bir değişkenli) C fonksiyonu vardır ki, G2(x,y)= G1(x,y) + C(x) dir. Yukarıdaki ifadelerde, B ve C sabit fonksiyonlar olabilir. f fonksiyonunun x e göre tüm ters türevlerinin ailesi f nin x e göre belirsiz integrali diye adlandırılır ve ile gösterilir. Böylece, f nin x e göre bir ters türevi F ise, B bir değişkenli veya sabit bir fonksiyon olmak üzere dir.

f fonksiyonunun y ye göre tüm ters türevlerinin ailesi f nin y ye göre belirsiz integrali diye adlandırılır ve ile gösterilir. Böylece, f nin y ye göre bir ters türevi G ise, C bir değişkenli veya sabit bir fonksiyon olmak üzere olur. x e ve y ye göre belirsiz integral tanımları aşağıdaki gibi özetlenebilir: Herhangi bir değişkene göre integral hesabı yapılırken diğer değişken(ler) sabit kabul edilerek bir değişkenli durumda olduğu gibi hesap yapılır.

Örnek. fonksiyonunun x e ve y ye göre belirsiz integrallerini hesap-layalım. fonksiyonunun x e ve y ye göre belirsiz integrallerini hesap-layalım. Örnek.

Belirsiz integral kullanılarak her bir değişkene göre belirli integral düşünülebilir. Eğer f nin x e göre bir ters türevi F ise, Eğer f nin y ye göre bir ters türevi G ise, olur. Örnek.

Bir belirli integral hesaplanırken integrandın ve ters türevlerinin, integrali belirleyen değişkenin integral limitleri arasında tanımlı olması gerektiği açıktır. Aksi halde, integral tanımsız olur. Örnek. Örnek. u=y , dv=exydy du=dy , v=(1/x)exy Örneklerde görüldüğü üzere, iki değişkenli bir fonksiyonun değişkenlerden birine göre belirli integrali sadece diğer değişkene bağlı bir ifade verir. Başka bir deyişle, iki değişkenli bir fonksiyonun değişkenlerden birine göre belirli integrali diğer değişkeni bağımsız değişken kabul eden bir değişkenli bir fonksiyon verir. Dolayısıyla, iki değişkenli bir fonksiyonun değişkenlerden birine göre belirli integrali hesaplandıktan sonra elde edilen fonksiyonun da diğer değişkene göre integrali hesaplanmak suretiyle ardışık integrallerden söz edilebilir.

ardışık integralinin hesabı, önce köşeli parantez içindeki x e göre integral hesaplanıp bulunan ifadenin y ye göre integrali hesaplanarak yapılır. Daha önce hesaplandığı gibi, Örnek. olduğundan Aynı integrand ile, integral sınırları da uygun şekilde değiştirilmek suretiyle ters sırada yazılmış olan ardışık integrali hesaplayalım:

Son örnekte ardışık integralin değişkenlere göre hesap sırası değiştirildiği zaman integralin aynı değeri verdiğine dikkat ediniz. Örnek. Son iki örnekte hesaplanan ardışık integrallerde değişkenlere göre integral sırası değiştirilince integrallerin değerinin değişmediğini görüyoruz. Bu sonuç, bir tesadüf değildir ve sonraki kesimde dikdörtgensel bölgeler üzerinden çift katlı integral tanımı için temel oluşturacaktır. Bundan böyle ardışık integralleri yazarken önceki örneklerde kullandığımız köşeli parantez gösterimini yazmayacağız, çünkü köşeli parantez yazılmasa da işlemlerin hangi sırada ve nasıl yapılacağı anlaşılmaktadır.

Bundan böyle ardışık integralleri yazarken önceki örneklerde kullandığımız köşeli parantez gösterimini yazmayacağız, çünkü köşeli parantez yazılmasa da işlemlerin hangi sırada ve nasıl yapılacağı anlaşılmaktadır. Daha açık bir ifade ile

a, b, c, d  ℝ ve a < b, c < d olmak üzere Dikdörtgensel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller. x y (b,d) (0,0) (a,d) (b,c) (a,c) a b c d D olarak tanımlanan (ve yandaki şekilde gösterilen) D kümesine a, b, c ve d sayılarının belirlediği dikdörtgensel bölge denir. Bizim ele alacağımız ve pratikte karşılaşılan pek çok iki değişkenli fonksiyon şu özelliğe sahiptir: a, b, c, d  ℝ ve a < b, c < d olmak üzere Yukarıdaki ardışık integrallerin ortak değerine f fonksiyonunun a, b, c, d sayılarının belirlediği D dikdörtgensel bölgesi üzerinde çift katlı integrali denir ve bu integral Bu gösterimde f(x,y) ye integrand, D ye integrasyon bölgesi denir. dA gös-terimi, integralin düzlemde iki boyutlu bir bölge üzerinde olduğunu belirtir. ile gösterilir.

Tekrar etmek gerekirse, olmak üzere, Dikdörtgensel bölgeler üzerinde çift katlı integral tanımı bir değişkenli durumdakine benzer Riemann toplamlarıyla daha genel biçimde verilebilir. Bizim ele alacağımız ve pratikte karşılaşılan pek çok fonksiyon için Riemann toplamları ile verilen tanım ve ardışık integraller olarak verilen tanım çakışır. Örnek. olmak üzere,

Örnek. olmak üzere, Örnek. olmak üzere,

biçiminde ifade edilebilen D bölgesine bir düzgün x-bölgesi denir. Dikdörtgensel bölgeler üzerinde yapılmış olan çift katlı integral tanımının daha genel bölgelere genişletilmesini düşünmek doğaldır. Bu bağlamda ilk akla gelebilecek bölgeler düzgün (regüler) bölgelerdir. Düzgün Bölgeler. m, n fonksiyonlar, a, b reel sayılar, a < b ve her x  [a,b] için m(x) ≤ n(x) olmak üzere Kartezyen düzlemde x y (0,0) y=m(x) y=n(x) a b D biçiminde ifade edilebilen D bölgesine bir düzgün x-bölgesi denir. Bir düzgün x-bölgesinin görünümü sağda gösterilmiştir: Kolayca görülebileceği üzere, her dikdörtgensel bölge bir düzgün x-bölgesidir. Dikdört-gensel olmayan düzgün x-bölgelerine örnekler vereceğiz.

Örnek. x y (0,0) 1 3 (3,2 ) (3,3) (1,2) D (1,1) y x (0,0) 2 y= x (4,4) Örnek. y = x doğrusunun altında, y = (x-2)2 parabolünün yukarısın-da bulunan noktaların oluşturdu-ğu bölge bir düzgün x-bölgesidir ve yandaki şekilde taranarak gös-terilmiştir. 4 D (1,1) y= (x-2)2 1 (x-2)2 = x  x2 -5x + 4 = 0  (x-1)(x-4) = 0  x = 1 veya x = 4.

bölgesine bir düzgün y-bölgesi denir. r, s fonksiyonlar, c, d reel sayılar, c < d ve her y  [c,d] için r(y) ≤ s(y) olmak üzere Kartezyen düzlemde x y (0,0) x=r(y) x=s(y) c d D bölgesine bir düzgün y-bölgesi denir. Bir düzgün y-bölgesinin görünümü sağda gösterilmiştir: Kolayca görülebileceği üzere, her dikdörtgensel bölge bir düzgün y-bölgesidir. Dikdörtgensel olmayan düzgün y-bölgelerine örnekler vereceğiz.

Örnek. x y (0,0) x= -y/2+7 (y=-2x+14) x= y2/4 (4,4) (5,4) 4 D 2 (1,2) (6,2)

Örnek. x = y2 parabolünün sağında ve y = x-2 doğrusunun solunda bulunan noktaların oluşturduğu bölge bir düzgün y-bölgesidir ve aşağıdaki şekilde taranarak gösterilmiştir. y = x-2 , x = y2  y = y2 -2  y2 – y -2 = 0  (y+1)(y-2) = 0  y = -1 veya y = 2. y x (0,0) (4,2) 2 x= y2 x= y+2 D -1 (1,-1)

in grafiğinin altında ve y=x2 parabolünün yukarısında kalan bölge Dikdörtgensel bölgelerin hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olarak düşünülebileceğini belirtmiştik. Dikdörtgensel olmayan bazı bölgeler de hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olarak düşünülebilir. in grafiğinin altında ve y=x2 parabolünün yukarısında kalan bölge Örnek. x=0 veya x=1 y x (0,0) Düzgün x-bölgesi olarak 1 1 Düzgün y-bölgesi olarak D

Düzgün Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller. Düzgün bölgeler üzerinde çift katlı integral, dikdörtgensel bölgeler üzerinde tanımlandığı gibi ardışık (tek katlı) integraller olarak tanımlanır. İki değişkenli bir fonksiyonun x y (0,0) y=m(x) y=n(x) a b D biçiminde verilmiş düzgün x-bölgesi üzerinde integrali ardışık integraller olarak Bu tanımda, köşeli parantez içindeki integralin sınırları x değiş-kenine bağlı ifadeler veya sabitler olup integral hesaplanınca sadece x değişkenine bağlı veya sabit bir ifade elde edilir. eşitliği ile tanımlanır. Elde edilen bu ifadenin x değişkenine göre [a,b] kapalı aralığı üzerinde integrali, f fonksiyonunun D bölgesi üzerinde integralidir. Her dikdörtgensel bölgenin bir düzgün x-bölgesi olduğunu belirtmiştik. Eğer D bölgesi bir dikdörtgensel bölge ise, daha önce verilen tanım yeni tanım ile çakışır.

Bundan böyle, dikdörtgensel bölgeler için yaptığımız gibi, düzgün x-bölgeleri için de köşeli parantezi yazmadan Düzgün y-bölgeleri üzerinde çift katlı integral hesaplanırken önce x değiş-kenine göre, sonra y değişkenine göre integral hesaplanacağını unutmamalıyız. yazacağız. Örnek.

Örnek. x = y2 parabolünün sağında ve y = x - 2 doğrusunun solunda bulunan noktaların oluşturduğu D bölgesi için integralini hesaplayalım. Daha önce görüldüğü üzere, D bölgesi bir düzgün y-bölgesidir. y x= y+2 x (0,0) x= y2 -1 2 D (4,2) (1,-1) ■

Daha önce bazı örneklerde görüldüğü üzere hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olan bölgeler vardır. Bu tür bölgeler üzerinde bazı fonksiyonların integ-rali hesaplanırken bölgenin düzgün x-bölgesi veya düzgün y-bölgesi olarak düşünülmesi önem kazanır. Çünkü, bazı durumlarda düzgün x-bölgesi gösterimi kullanıldığında analitik olarak hesaplanamayan integraller, düzgün y-bölgesi göste-rimine geçilince kolayca hesaplanabilmektedir. Benzer şekilde, düzgün y-bölgesi gösterimi kullanıldığında analitik olarak hesaplanamayan integraller, düzgün x-bölgesi gösterimine geçilince kolayca hesaplanabilmektedir. Bir gösterimden diğer gösterime geçmek, çift katlı integralde integral sırasını değiştirmeye karşılık gelmektedir. Şimdi bu hususun ayrıntıları ve örnekleri verilecektir.

Hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olan dikdörtgensel bölgeler üzerinde önce hangi değişkene göre hesap yapılırsa yapılsın, ardışık integralin değerinin değişmediğini görmüş ve dikdörtgensel bölgeler üzerinde çift katlı integral tanımını bu gözleme dayandırmıştık. İntegral Sırasının Değiştirilmesi. Düzlemde dikdörtgensel olmayan bazı bölgelerin de hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olduğunu görmüştük. Bu tür bölgeler üzerinde bir çift katlı integral, söz konusu bölge düzgün x-bölgesi olarak düşünülse de, düzgün y-bölgesi olarak düşünülse de aynı değere sahiptir. Kanıtlanabilir ki, uygun koşullarda eğer ise dir.

Düzgün x-bölgesi olarak Örnek. Aşağıdaki şekilde gösterilen D bölgesi hem düzgün x-bölgesi, hem de düzgün y-bölgesidir. y x (0,0) 1 D integralini her iki gösterim için ayrı ayrı hesaplayalım ve integralin değe-rinin değişmediğini görelim. Düzgün x-bölgesi olarak Düzgün y-bölgesi olarak

integralini hesaplayalım. Örnek. D, y-ekseninin sağında, y = x doğrusunun yukarısında ve y = 1 doğrusunun aşağısında kalan noktaların oluşturduğu bölge olmak üzere y x (0,0) 1 D integralini hesaplayalım. D bölgesi yandaki şekilde gösterilmiş olup hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesidir. Düzgün x-bölgesi olarak nin y ye göre ters türevi olan bir fonksiyon bulunamayacağından bu integrali yazıldığı biçimiy-le hesaplamak mümkün değildir. Düzgün y-bölgesi olarak olur ve integral olarak bulunur.

D bir düzgün x-bölgesi dir ve Örnek. Bu integralin verildiği biçimiyle hesaplanması mümkün değildir. Çünkü, notlarımızın kapsamı dahilinde nin x e göre ters türevi olan bir fonksiyon yoktur. O halde, integral sırasını değiştirmeyi düşünmeliyiz. Verilen integralin integrasyon bölgesi bir düzgün y-bölgesidir: y x (0,0) 1 D D bölgesinin düzgün x-bölgesi olup olmadığını görmek için bir şekil çizmek yararlı olacaktır. Yandaki şekilde görül-düğü gibi D bir düzgün x-bölgesi dir ve

Düzgün Olmayan Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegral. Düzgün olmayan bölgelerin çoğu düzgün bölgelerin birleşimi olarak ifade edilebilir. Eğer bir bölge düzgün bölgelerin birleşimi ise ve birleşimi oluşturan düzgün parçaların sınır noktaları dışında ortak noktası yoksa, o bölge üzerinde bir fonksiyonun (çift katlı) integrali ayrı ayrı düzgün parçalar üzerindeki integrallerin toplamıdır. Düzgün Olmayan Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegral. Örneğin, şekilde görüldüğü gibi, D1 ve D2 sınır noktaları dışında ortak noktaları bu-lunmayan iki düzgün bölge ve D = D1  D2 ise, x y (0,0) c d D1 D2 a b olarak tanımlanır.

Önce, tarif edilen integrasyon bölgesinin şekli Örnek. D, y = 2x – 4 doğrusunun ve y = – x +2 doğrusunun yukarısında, y = x doğrusunun aşağısında kalan noktaların oluşturduğu bölge olmak üzere Önce, tarif edilen integrasyon bölgesinin şekli y x (0,0) 2 D1 4 D2 1 y x 4 4 2 D Şekilde görüldüğü gibi, D bölgesi düşey bir doğru parçası ile her ikisi de düzgün x-bölgesi olan iki parçaya ayrıla-bilir: (0,0)

y x (0,0) 2 D1 4 D2 1

Çift Katlı İntegral İle Alan ve Hacim Hesabı. x y (0,0) y=m(x) y=n(x) a b D D bölgesinin alanı x y (0,0) y=4x-x2 4 y=x Örnek. y = x doğrusu ile y = 4x - x2 parabolü arasında kalan bölgenin alanı D 3 x = 4x - x2  x = 0 veya x = 3.

Örnek. y = x + 1 doğrusu ile xy = 2 eğrisinin alt tarafında ve y = 1 doğrusunun yukarısında kalan bölgenin alanı. x y (0,0) x=2/y y=x+1 (x=y-1) 1 2 1 x(x+1)=2  x=-2 veya x=1 D y=1 2

formülü ile belirlenir. Düzlemde bir D bölgesi üzerinde tanımlı, negatif değer almayan iki değişkenli bir f fonksiyonu için f nin grafiği ile D bölgesi arasında kalan hacim formülü ile belirlenir. x y (1,1,0) ( ,0 ) (1,-1,0) (-1,1,0) z Örnek. yüzeyi ile dikdörtgensel bölgesi arasın-da kalan hacim

Köşeleri (0,0), (2,0) ve (0,1) noktaları olan D üçgeni ile z = 15x3y yüzeyi arasında kalan hacmi bulalım. Örnek. x y (0,0) x=-2y+2 (y=-(1/2)x+1) D (0,1) (2,0)