利率期限结构:动态模型 厦门大学金融系 陈蓉 2011/11/1
动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准 >> 利率期限结构:动态模型 动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准
为何需要动态模型? 普通的债券、利率远期、利率期货和利率互换, 由当前静态利率期限结构的信息即可定价 利率期权产品:还需要利率波动的信息 动态模型:DTSMs
动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进 >> 动态利率模型概述 动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进
动态利率模型的建模对象 无风险的瞬时即期利率 瞬时远期利率 Why? instantaneous spot rate or short rate 瞬时远期利率 Instantaneous forward rate Why? 只要瞬时利率的变化规律已知,就可以推知任意到期期限的即期利率的动态过程
利率期限结构与瞬时利率 贴现因子(零息票债券)与瞬时利率 即期利率与瞬时利率
利率期限结构与瞬时远期利率 贴现因子(零息票债券)与瞬时远期利率 即期利率与瞬时远期利率
动态利率模型的基本设定 瞬时利率在现实测度下的SDE 重要工具I:随机过程、SDE、漂移率、波动率、 布朗运动 不同动态利率模型的差异主要在于对漂移率和波 动率设定的不同 (1)是dt和dz的动态过程,dt为趋势项,dz为波动项 (2)一般的伊藤过程,漂移率是时间的函数,是可测函数即可,这样漂移率有可能是随机的也可能是确定的。随机又分为两种:单独的随机源和源自r的随机源。如果单独有随机源,则在短时间内,连漂移项都是随机的,会有方差;但如果是源自r的随机源,则在短时间内,漂移是确定的,短时间内的方差仅仅源于波动项。当然长期来看漂移项也会有方差;如果是确定的时间的函数或是常数,则漂移项是没有方差的。最常见的漂移项是后三种:常数、时间的确定函数、r和t的函数。人们往往通过变换将漂移项中的r去掉,这样简化随机过程的求解和分析。如果要让漂移率有自己的随机源,就需要引入漂移率的随机过程。 (3)波动率也是类似的情形,可能是常数、时间的确定函数、r和t的函数、随机波动率。 (4)这里不考虑随机波动率和随机漂移率的情形,这样唯一的随机源是dz r,就可以使得方差仅仅来源于波动项。
瞬时利率动态过程模拟
动态利率模型的分析框架 重要工具II:Itô-Doeblin引理 根据Itô-Doeblin引理,当瞬时利率服从伊藤过程时 ,无风险零息债券和即期利率的随机过程可以用 瞬时利率的漂移率、波动率参数和随机源dz(t)表 示
偏微分方程方法I Partial Differential Equation(PDE)方法,也称无 套利(no arbitrage)方法 通过构造无风险组合,而无风险组合在无套利条 件下只能获得无风险利率推导得到结论
偏微分方程方法II 用两个无风险债券构造组合W 选择权重W1、 W2使得
偏微分方程方法III 无套利思想 整理可得 由于债券是任意选取的,因此对于任意债券有 我们称之为瞬时利率的市场风险价格
偏微分方程方法IV PDE 对于任意其价格仅取决于瞬时利率和时间的可交 易证券,都满足上述风险价格公式和PDE 给定不同的边界条件,即可求解证券价格。 解析解 数值解:随机过程复杂或是产品设计复杂的情形 必须以无套利为前提
等价鞅测度法I 重要工具III:测度转换、等价测度、鞅、Girsanov theorem、资产定价基本定理 在无套利条件下,存在一个市场风险价格值使得 不同测度下的的风险源满足 则风险中性测度下的利率产品价格满足
等价鞅测度法II 如果该产品是可交易资产,则 新测度的特点 无论实际风险多大,利率产品价格对数的漂移率均为无风险利率:风险中性测度 只要波动率不是随机的,转换测度时波动率不变
等价鞅测度法III 新测度的另一个重要特点:鞅测度 可交易资产当前的价格等于该产品T时刻的价值在 风险中性测度下按无风险利率贴现至t时刻的期望 值。
PDE方法VS鞅方法 PDE方法:运用无套利条件构建PDE方程,求解后 用瞬时利率的参数来表示利率产品的价格 鞅方法:在市场风险价格存在的前提下,通过市 场风险价格实现风险中性测度的转换,利率产品 的定价通过求风险中性期望实现 一致性: 无套利=市场风险价格存在=风险中性测度存在 discounted Feynman-Kac theorem
Discount Feynman-Kac Theorem 如果随机变量X(t)满足伊藤过程 给定满足条件 的函数h(X)。定义 则f(x,t)满足以下偏微分方程 其边界条件为
动态利率模型与静态利率模型 建模目的 建模重点 复杂性和信息含量 估计参数需要的数据 静态:高拟合度、曲线的平滑、拟合灵活度和稳定度 动态:经济意义 复杂性和信息含量 估计参数需要的数据
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实用主义标准 名义利率是否非负 收益率曲线的静态特征:形状、长端水平等 利率动态特征: 简单快捷 均值回归 分布特征:肥尾、非对称 利率期限结构长短端变动不一致 利率波动率特征: 利率的波动率与利率水平有关 利率波动率期限结构形状 简单快捷
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传统分类 均衡模型与无套利模型 从单因子到多因子 均衡模型:参数的非时变性 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型等 无套利模型:无套利条件下得到的时变参数 Ho-Lee模型 Hull-White模型等 从单因子到多因子 Hull-White双因子模型 Longstaff-Schwartz模型
两个重要的动态利率模型框架 仿射模型 HJM模型 把收益率曲线表示成状态变量的线性函数,能获得债券和期权价格的解析解,易于在实务中进行校准,应用价值高 HJM模型 无套利模型的基本框架:从瞬时远期利率的随机过程出发,推导出利率期限结构所必须满足的无套利条件 LIBOR市场模型:应用最广泛
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Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式 >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式
Merton模型I 基本形式 Merton模型下的资产价格与利率期限结构
Merton模型II λ为常数时,现实测度下瞬时利率仍然服从Merton 模型, 基本性质 可能出现负利率 长期利率趋于负无穷 只能刻画开口向下的抛物线形状
Merton模型III 基本性质(续) 动态特征的缺陷 不存在均值回归特征,当T趋于无穷时,利率的均值和方差都将趋于无穷大 利率波动率特征不符合现实 单因子意味着利率期限结构的平移
Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式 >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式
Vasicek模型I 基本形式:均值回归模型 现实测度:
Vasicek模型II Vasicek模型下的资产价格与利率期限结构
Vasicek模型III 改善 均值回归 T趋于无穷时,长期利率收敛于 参数取值不同,得到不同的即期利率期限结构形状 短期利率波动率大于长期利率波动率
Vasicek模型IV 缺点 仍有可能出现负利率 长期利率应该是时变的,而非一个常数 利率期限结构形状不够丰富 无法刻画驼峰状的利率波动率;利率波动率与利率水平无关 单因子模型导致模型导出的债券价格相关性过高。
Vasicek模型拓展:Hull-White 单因子模型I 基本形式
Vasicek模型拓展:Hull-White 单因子模型II H-W模型下的资产价格与利率期限结构
Vasicek模型拓展:Hull-White 单因子模型III 基本性质 无套利 简单 但并未改善Vasicek模型的缺陷
Vasicek模型拓展:Hull-White 双因子模型I 基本形式 可以证明
Vasicek模型拓展:Hull-White 双因子模型II 基本性质 引入两个具有相关性的风险源:分别影响短期利率和长期利率 波动率期限结构形状更为复杂多变 参数估计与校准困难
Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式 >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式
CIR模型I 基本形式:均值回归模型 现实测度:
CIR模型II CIR模型下的零息债价格与利率期限结构
CIR模型III CIR模型下的零息债期权价格
CIR模型IV 均值回归 T趋于无穷时,长期利率收敛于 利率非负 即期利率波动率为 仍然是单因子模型
Longstaff-Schwartz模型I 状态变量所服从的随机过程 利率与波动率与状态变量的关系
L-S模型II 利率与波动率的动态过程
Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式 >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式
仿射模型的基本形式 瞬时利率 风险中性测度下状态向量所服从的过程 瞬时利率是状态向量的仿射函数;状态向量的漂 移率和方差率也是状态向量的仿射函数
仿射模型下的零息债价格与利率期限结构 仿射模型下零息票债券的价格 参数满足
仿射模型讨论 优势 不足 拓展:二次模型/更多的风险源/跳跃模型 给定瞬时利率的随机过程,不需要求解偏微分方程或公式,可以直接得到债券价格的解析解 不足 仿射模型采用线性形式,而对仿射模型定价误差的研究表明,仿射模型定价误差的存在可能是由于忽略了一些非线性因素。 拓展:二次模型/更多的风险源/跳跃模型