KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER Bir kukla değişkenli modeller (Varyans Analiz Modelleri) Kukla değişkenlerin diğer kantitatif değişkenlerle alındığı modeller (Kovaryans Analizi Modeller) Kukla değişkenlerin karşılıklı olarak birbirini etkilemeleri Mevsim dalgalanmalarının ölçülmesinde kukla değişkenler

Bir Kukla Değişkenli Modeller (Varyans Analiz Modelleri) Meslek lisesi ve devlet lisesine giden N tane öğrenci olduğu ve bunların yıllık okul harcamalarına ait verilerin olduğu varsayılsın. Birleştirilmiş Denklem Yıllık Okul Harcaması = b1 + b2 ML + u ML = 0 Devlet Lisesi Yıllık Okul Harcaması = b1 ML= 1 Meslek Lisesi Yıllık Okul Harcaması = b1 + b2

Yıllık Okul Harcaması = b1 + b2 ML + u Meslek Lisesi Devlet Lisesi ML = 0 Devlet Lisesi ML= 1 Meslek Lisesi Yıllık Okul Harcaması = b1 + b2 ML + u

BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER KUKLA DEĞİŞKENLERİN DİĞER KANTİTATİF DEĞİŞKENLERLE ALINDIĞI MODELLER (KOVARYANS ANALİZİ MODELLER) BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER Harcama:Okul harcaması N:Öğrenci sayısı Bu kukla değişkenlerin açıklayıcı değişken olarak regresyon denkleminde nasıl yer aldıkları incelenecektir.

Meslek lisesi ve devlet lisesine giden N tane öğrenci olduğu ve bunların yıllık okul harcamalarına ait verilerin olduğu varsayılsın. Meslek lisesindeki öğrenciler belirli meslek dallarında yetenek sahibi olmaya çalışırken her meslek grubuna özgü gerekli olan araç ve gereçlerin temini için devlet lisesinde okuyan öğrencilere göre yıl içerisinde daha fazla harcama yapmaları gerekmektedir. Her iki lisede okuyan öğrencilerin harcamaları arasındaki farkı görmek için birinci yol iki grup içinde ayrı ayrı regresyon denklemi oluşturmaktır. Bununla birlikte iki ayrı regresyon denklemi kurmanın bazı sakıncaları olmaktadır. Bu sakıncalardan bir tanesi; büyük bir anakütle ile çalışmak yerine ayrı ayrı küçük örneklemler ile çalışmak katsayı tahminlerinin doğruluğu üzerinde ters etki olmasına neden olacaktır.

b1' b1 OCC = 0 Devlet Lisesi Harcama = b1 + b2N + u OCC = 1 Meslek Lisesi Harcama= b1' + b2N + u İki lise harcamaları arasındaki fark için diğer bir yol ise ; meslek lisesi harcama denkleminin sabit terimi b1' in devlet lisesinden daha büyük olduğunu varsayan bir hipotez kurmaktır. Aslında, bu varsayım ile her iki lise için yıllık marjinal maliyetlerin aynı fakat sabit maliyetlerin farklı olduğu varsayımı yapılmaktadır. Marjinal maliyet varsayımı görünüşte makul gözükmese de, bu varsayım anlatımı kolaylaştırmak için yapılmaktadır.

d İki sabit terim arasındaki fark olarak tanımlanabilir: d = b1' - b1. Devlet Lisesi Harcama = b1 + b2N + u Meslek Lisesi Harcama = b1' + b2N + u d İki sabit terim arasındaki fark olarak tanımlanabilir: d = b1' - b1.

d = b1' - b1 idi. b1' = b1 + d olacaktır ve meslek lisesine ait harcama fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir: OCC = 0 Devlet Lisesi Harcama = b1 + b2N + u OCC = 1 Meslek Lisesi Harcama = b1 + d + b2N + u Artık iki harcama fonksiyonunu birleştirip kukla değişken ML oluşturulabilir. ML öğrenci devlet lisesine gidiyor ise 0 değerini, meslek lisesine gidiyor ise 1 değerini almaktadır. Birleştirilmiş Denklem Harcama = b1 + d ML + b2N + u ML = 0 Devlet Lisesi Harcama = b1 + b2N + u ML= 1 Meslek Lisesi Harcama = b1 + d + b2N + u

b1+d d b1 Her zaman kukla değişkenler sadece iki değer alırlar; 0 yada 1. Eğer ML 0 değerini alır ise harcama fonksiyonu devlet lisesine giden öğrencilerin harcama fonksiyonu olmakta, yada eğer ML 1 değerini alırsa harcama fonksiyonu meslek lisesine giden öğrencilerin harcama fonksiyonu olmaktadır. Birleştirilmiş Denklem Harcama = b1 + d ML + b2N + u ML = 0 Devlet Lisesi Harcama = b1 + b2N + u ML= 1 Meslek Lisesi Harcama = b1 + d + b2N + u

100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 500 1000 1500 N Harcama Meslek Lisesi Devlet Bu aşamada bir şehirdeki 74 lise için gerçek veri setini kullanarak regresyon denklemi oluşturulabilir.

BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER Okul Okul Tipi Okul Harcaması N ML 1 Meslek 345,000 623 1 2 Meslek 537,000 653 1 3 Devlet 170,000 400 0 4 Meslek 526.000 663 1 5 Devlet 100,000 563 0 6 Devlet 28,000 236 0 7 Devlet 160,000 307 0 8 Meslek 45,000 173 1 9 Meslek 120,000 146 1 10 Meslek 61,000 99 1 Tablo ilk 10 okulun verilerini göstermektedir. Yıllık harcama yuan olarak ölçülmüştür. Bir yuan yaklaşık olarak 20 U.S centine eşittir. N okullardaki öğrenci sayısıdır. ML okul tipini gösteren kukla değişkendir.

BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER . reg Harcama N ML Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 2, 71) = 56.86 Model | 9.0582e+11 2 4.5291e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.6553e+11 71 7.9652e+09 R-squared = 0.6156 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6048 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 89248 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 331.4493 39.75844 8.337 0.000 252.1732 410.7254 ML | 133259.1 20827.59 6.398 0.000 91730.06 174788.1 _cons | -33612.55 23573.47 -1.426 0.158 -80616.71 13391.61 Her ne kadar ML kukla değişken olsa da yeni bir açıklayıcı değişkenmiş gibi düşünülerek; Harcama değişkeni , N ve ML değişkenleri üzerine regresyona tabi tutulmaktadır. Katsayı yorumları: Regresyon sonuçları eşitlik şeklinde yeniden yazılabilir. ML değişkenine 0 ve 1 değerleri verilerek yeni eşitlikler türetilebilir.

BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER Devlet Lisesi (ML = 0) ^ Harcama = -34,000 + 133,000ML + 331N ^ Harcama = -34,000 + 331N Eğer ML=0 olursa, devlet lisesine ait eşitlik elde edilir. Buradan yıllık marjinal harcamanın öğrenci başına 331 yuan olduğu ve sabit harcamanın da -34,000 Yuan olduğu ifade edilebilir. Kukla değişkenin katsayısı d ile tahminlenmektedir. Meslek lisesindeki öğrenciler için extra yıllık sabit harcamayı ifade etmektedir.

BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER Devlet Lisesi (ML= 0) Meslek Lisesi (ML = 1) ^ Harcama = -34,000 + 133,000ML + 331N ^ Harcama = -34,000 + 331N ^ Harcama = -34,000 + 133,000 + 331N = 99,000 + 331N Eğer ML yerine 1 değeri konulursa, meslek lisesi öğrencileri için yıllık sabit harcamayı 99,000 yuan olarak hesaplayabiliriz. Meslek lisesindeki öğrencinin marjinal harcaması ise devlet okulundaki öğrenci ile aynıdır.

BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER Dağılma diyagramı regresyon sonuçlarından elde edilen iki harcama fonksiyonunu göstermektedir.

BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER . reg Harcama N ML Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 2, 71) = 56.86 Model | 9.0582e+11 2 4.5291e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.6553e+11 71 7.9652e+09 R-squared = 0.6156 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6048 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 89248 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 331.4493 39.75844 8.337 0.000 252.1732 410.7254 ML | 133259.1 20827.59 6.398 0.000 91730.06 174788.1 _cons | -33612.55 23573.47 -1.426 0.158 -80616.71 13391.61 Kukla değişkeninin katsayısını test etmek için; H0: d = 0 ve H1: d ≠ 0 hipotezleri t testi yardımı ile test edilebilir. Bir başka ifadeyle, H0 hipotezi iki okul türü arasında sabit harcamalar bakımından fark olmadığını ifade etmektedir. ML’nin katsayısının prob değeri 0.05 önem düzeyinden küçük olduğu için H0 hipotezi reddedilebilmektedir. Yani iki okul türünün sabit harcamaları arasında fark vardır.

BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER reg Harcama N ML Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 2, 71) = 56.86 Model | 9.0582e+11 2 4.5291e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.6553e+11 71 7.9652e+09 R-squared = 0.6156 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6048 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 89248 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 331.4493 39.75844 8.337 0.000 252.1732 410.7254 ML| 133259.1 20827.59 6.398 0.000 91730.06 174788.1 _cons | -33612.55 23573.47 -1.426 0.158 -80616.71 13391.61 Benzer şekilde diğer katsayılar içinde t-testi yapabiliriz. İlk olarak N ele alınırsa; N ‘in katsayısının da istatistiksel olarak anlamlı olduğu söylenebilir. Bu da bize marjinal harcamaların istatistiksel olarak sıfırdan oldukça farklı olduğunu göstermektedir.

BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER . reg Harcama N ML Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 2, 71) = 56.86 Model | 9.0582e+11 2 4.5291e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.6553e+11 71 7.9652e+09 R-squared = 0.6156 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6048 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 89248 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 331.4493 39.75844 8.337 0.000 252.1732 410.7254 ML | 133259.1 20827.59 6.398 0.000 91730.06 174788.1 _cons | -33612.55 23573.47 -1.426 0.158 -80616.71 13391.61 b1 = 0 yani sabit terim için t istatistiğine baktığımızda bu katsayının anlamsız olduğu görülmektedir.

Harcama = b1 + dTTEK + dNNİT + dTİTİC + b2N + u BİRDEN FAZLA KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER Harcama = b1 + dTTEK + dNNİT + dTİTİC + b2N + u Harcama:Okul harcaması Sadece bir Di kukla değişkenli modellerin yanında, D sayısı iki, üç, hatta yirmiye kadar olan modeller de söz konusu olmaktadır. Daha önce devlet lisesi ve meslek liseleri arasındaki harcama fonksiyonu arasındaki farkı belirtmek için kukla değişken kullanmıştık. Şangay’da iki tip devlet okulu bulunmaktadır. Bunlardan bir tanesi olağan akademik eğitimin verildiği genel liseler, diğeri ise akademik eğitim ile birlikte ticaret eğitimi veren ticaret liseleridir.

Harcama = b1 + dTTEK + dNNİT + dTİTİC + b2N + u Ticaret okullarının öğretim programı genel liselerden çok az bir farklılık göstermekte, sadece genel liselere göre birkaç ticaret eğitimleri bulunmaktadır. Aynı şekilde iki tip meslek lisesi bulunmaktadır. Teknik eğitim okulları(TEK) ve Nitelikli (NİT) öğrenci yetiştiren liselerdir. Sonuçta kalitatif değişkenimiz dört gruba sahiptir. Uygulamada; bir kategori temel sınıf olarak seçilmektedir ve buna bağlı olarak diğer kukla değişkenler tanımlanmaktadır. Genellikle, kategoriler içerisinde en basit ve normal olan kategori temel sınıf olarak seçilmektedir.

Harcama = b1 + dTTEK + dNNİT + dTİTİC + b2N + u Şangay örneğinde genel liseleri temel sınıf olarak seçmek en uygundur. Çünkü genel liseler sayıca çok olan liselerdir ve diğer liseler genel liselerin birer varyasyonlarıdır. Dolayısıyla okul tiplerine bağlı olarak üç tane kukla değişken tanımlayabiliriz. TEK : teknik eğitim okulları için kukla değişken; eğer öğrenci teknik okula gidiyorsa 1, diğer durumda 0 değerini alan kukla değişken. Benzer şekilde NİT ve TİC kukla değişkenleri sırasıyla nitelikli öğrenci yetiştiren ve ticaret eğitimi veren okullar için birer kukla değişkenlerdir. Her bir kukla değişkenin katsayı değeri bulunmaktadır ve bu katsayılar temel kategoriye göre her bir okul için ayrı ayrı ekstra harcama maliyetlerini ifade etmektedir. Dikkat edilirse temel kategori (referans kategori) modelde yer almamaktadır ve çıkarılmış kategori olarak ifade edilir.

Harcama = b1 + dTTEK + dNNİT + dTİTİC + b2N + u Genel Lise Harcama = b1 + b2N + u (TEK = NİT = TİC = 0) Eğer gözlem genel lise ile ilgili ise; diğer kukla değişkenler sıfır değerini almakta ve regresyon modeli en basit duruma indirgenmektedir.

Harcama = b1 + dTTEK + dNNİT + dTİTİC + b2N + u Genel Lise Harcama = b1 + b2N + u (TEK = NİT = TİC = 0) Teknik Lise Harcama = (b1 + dT) + b2N + u (TEK = 1; NİT= TİC = 0) Eğer gözlem teknik lise ile ilgili ise; TEK değişkeni 1 değerini, diğer kukla değişkenlerde 0 değerini almaktadır. Regresyon denklemi ise yukarıda gösterildiği gibi olmaktadır.

Harcama = b1 + dTTEK + dNNİT + dTİTİC + b2N + u Genel Lise Harcama = b1 + b2N + u (TEK = NİT = TİC = 0) Teknik Lise Harcama = (b1 + dT) + b2N + u (TEK = 1; NİT = TİC = 0) Nitelikli Öğr. Yet. Lİsesi Harcama = (b1 + dN) + b2N + u (NİT= 1; TEK = TİC = 0) Ticaret Lisesi Harcama = (b1 + dTİ) + b2N + u (TİC = 1; TEK = NİT = 0) Benzer şekilde gözlem nitelikli öğrenci yetiştiren lisesi yada Ticaret lisesi ise, regresyon denklemleri yukarıda gösterildiği gibi oluşturulmaktadır.

Harcama N b1+dT b1+dN b1+dTİ b1 Nitelikli Ticaret dN dTİ dT Teknik Genel Yukarıdaki diyagram modeli grafiksel olarak göstermektedir. d katsayısı; teknik, nitelikli ve ticaret lisesi için genel liseye göre ekstra gider harcamalarını ifade etmektedir.

Harcama N b1+dT b1+dN b1+dTİ b1 Nitelikli Ticaret dN dTİ dT Teknik Genel Dikkat edilecek olurda d katsayıların büyüklülüğü ve işaretleri için önceden bir varsayımda bulunulmamaktadır. Örnek verilerinden tahminlenecektir.

Okul Tip Harcama N TEK NİT TİC 1 Teknik 345,000 623 1 0 0 2 Teknik 537,000 653 1 0 0 3 Genel 170,000 400 0 0 0 4 Nitelikli 526.000 663 0 1 0 5 Genel 100,000 563 0 0 0 6 Ticaret 28,000 236 0 0 1 7 Ticaret 160,000 307 0 0 1 8 Teknik 45,000 173 1 0 0 9 Teknik 120,000 146 1 0 0 10 Nitelikli 61,000 99 0 1 0 Yukarıdaki tabloda 74 liseden 10 tanesine ait veriler gösterilmektedir. Her bir kukla değişken TEK, NİT ve TİC kukla değişkenleri okul tiplerine göre oluşturulmuştur.

Dağılma diyagramı yeni okulların verilerini göstermektedir.

. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 342.6335 40.2195 8.519 0.000 262.3978 422.8692 TEK | 154110.9 26760.41 5.759 0.000 100725.3 207496.4 NİT | 143362.4 27852.8 5.147 0.000 87797.57 198927.2 TİC | 53228.64 31061.65 1.714 0.091 -8737.646 115194.9 _cons | -54893.09 26673.08 -2.058 0.043 -108104.4 -1681.748 Verilere ait regresyon sonuçları tabloda gösterilmiştir. N in katsayısı her bir öğrenci için marjinal harcamayı ifade etmektedir ve yaklaşık 343 yuandır.

. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama| Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 342.6335 40.2195 8.519 0.000 262.3978 422.8692 TEK | 154110.9 26760.41 5.759 0.000 100725.3 207496.4 NİT | 143362.4 27852.8 5.147 0.000 87797.57 198927.2 TİC | 53228.64 31061.65 1.714 0.091 -8737.646 115194.9 _cons | -54893.09 26673.08 -2.058 0.043 -108104.4 -1681.748 TEK, NİT ve TİC değişkenlerinin katsayıları 154,000, 143,000, ve 53,000 sırasıyla genel liselere göre ilave yıllık sabit harcamaları ifade etmektedir.

. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 342.6335 40.2195 8.519 0.000 262.3978 422.8692 TEK | 154110.9 26760.41 5.759 0.000 100725.3 207496.4 NİT | 143362.4 27852.8 5.147 0.000 87797.57 198927.2 TİC | 53228.64 31061.65 1.714 0.091 -8737.646 115194.9 _cons | -54893.09 26673.08 -2.058 0.043 -108104.4 -1681.748 Sabit terim genel liselerde sabit harcamaların -55000 yuan olduğunu söylemektedir.

Harcama = -55,000 + 154,000TEK + 143,000NİT+ 53,000TİC + 343N ^ En üsteki regresyon sonuçlarını göstermektedir. Her bir okul için harcama fonksiyonları ayrı ayrı gösterilecektir.

Harcama= -55,000 + 154,000TECH + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N Genel Lise Harcama = -55,000 + 343N (TEK= NİT = TİC = 0) ^ ^ Öğrenci başına yıllık marjinal harcama 343 yuandır. Öğrenci başına yıllık sabit harcamalar her bir okul için -55,000 yuan olarak tahmin edilmiştir.

Harcama = -55,000 + 154,000TEK + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N Genel Lise Harcama = -55,000 + 343N (TEK= NİT = TİC = 0) Teknik Lise Harcama = -55,000 + 154,000 + 343N (TEK = 1; NİT = TİC = 0) = 99,000 + 343N ^ ^ ^ Genel liseye göre teknik lisenin ekstra yıllık sabit harcaması 154,000 yuan olarak tahminlenmiştir.

Harcama = -55,000 + 154,000TEK + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N Genel Lise Harcama = -55,000 + 343N (TEK= NİT = TİC = 0) Teknik Lise Harcama = -55,000 + 154,000 + 343N (TEK = 1; NİT = TİC = 0) = 99,000 + 343N Nitelikli Lisesi Harcama = -55,000 + 143,000 + 343N (NİT = 1; TEK = TİC = 0) = 88,000 + 343N Ticaret Lisesi Harcama = -55,000 + 53,000 + 343N (TİC = 1; TEK = NİT = 0) = -2,000 + 343N ^ ^ ^ ^ ^ Benzer şekilde nitelikli öğrenci yetiştiren ve ticaret okulunun genel liseye göre yıllık ekstra harcaması 143,000 and 53,000 yuandır.

Harcama = -55,000 + 154,000TECH + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N Genel Lise Harcama = -55,000 + 343N (TEK = NİT = TİC = 0) Teknik Lise Harcama = -55,000 + 154,000 + 343N (TEK = 1; NİT = TİC = 0) = 99,000 + 343N Nitelikli Lisesi Harcama = -55,000 + 143,000 + 343N (NİT = 1; TEK = TİC = 0) = 88,000 + 343N Ticaret Lisesi Harcama = -55,000 + 53,000 + 343N (TİC = 1; TEK = NİT = 0) = -2,000 + 343N ^ ^ ^ ^ ^ Dikkat edilirse öğrenci başına yıllık marjinal harcama 343 yuan olarak tahmin edilmiştir.

Dört harcama grafiği şekilde gösterilmiştir. Teknik Lise Ticaret Lisesi Genel Lise Nitelikli Dört harcama grafiği şekilde gösterilmiştir.

. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 342.6335 40.2195 8.519 0.000 262.3978 422.8692 TEK | 154110.9 26760.41 5.759 0.000 100725.3 207496.4 NİT | 143362.4 27852.8 5.147 0.000 87797.57 198927.2 TİC | 53228.64 31061.65 1.714 0.091 -8737.646 115194.9 _cons | -54893.09 26673.08 -2.058 0.043 -108104.4 -1681.748 Bütün katsayılar için t-testi yapabiliriz. N değişkenin katsayısı için t istatistiği 8.52 ve bu da bize beklenildiği gibi marjinal harcamaların istatistiksel olarak sıfırdan oldukça farklı olduğunu göstermektedir.

. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 342.6335 40.2195 8.519 0.000 262.3978 422.8692 TEK| 154110.9 26760.41 5.759 0.000 100725.3 207496.4 NİT | 143362.4 27852.8 5.147 0.000 87797.57 198927.2 TİC | 53228.64 31061.65 1.714 0.091 -8737.646 115194.9 _cons | -54893.09 26673.08 -2.058 0.043 -108104.4 -1681.748 Ayrıca teknik lise t-istatistiği katsayısı da istatistiksel olarak anlamlıdır. Bunun anlamı ise teknik lise yıllık sabit harcamalarının genel liselerin sabit harcamalarından oldukça büyük olduğunu göstermektedir.

. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 342.6335 40.2195 8.519 0.000 262.3978 422.8692 TEK | 154110.9 26760.41 5.759 0.000 100725.3 207496.4 NİT | 143362.4 27852.8 5.147 0.000 87797.57 198927.2 TİC | 53228.64 31061.65 1.714 0.091 -8737.646 115194.9 _cons | -54893.09 26673.08 -2.058 0.043 -108104.4 -1681.748 Benzer şekilde vasıflı NİT lerin t istatistiği 5.15 olarak bulunmuştur.

. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 342.6335 40.2195 8.519 0.000 262.3978 422.8692 TEK | 154110.9 26760.41 5.759 0.000 100725.3 207496.4 NİT | 143362.4 27852.8 5.147 0.000 87797.57 198927.2 TİC | 53228.64 31061.65 1.714 0.091 -8737.646 115194.9 _cons | -54893.09 26673.08 -2.058 0.043 -108104.4 -1681.748 ------------------------------------------------------------------------------ Bununla birlikte Ticaret lisesinin t istatistiği sadece 1.71 dir ve bu da ticaret lisesi sabit harcamalarının genel lise sabit harcamalarında yeterince farklı olmadığını göstermektedir. Bu sonuç çok şaşırtıcı değil, çünkü ticaret lisesi genel liselerden çok farklı bir eğitime sahip değil.

. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 342.6335 40.2195 8.519 0.000 262.3978 422.8692 TEK | 154110.9 26760.41 5.759 0.000 100725.3 207496.4 NİT | 143362.4 27852.8 5.147 0.000 87797.57 198927.2 TİC | 53228.64 31061.65 1.714 0.091 -8737.646 115194.9 _cons | -54893.09 26673.08 -2.058 0.043 -108104.4 -1681.748 ------------------------------------------------------------------------------ Son olarak kukla değişkenlerin ortak açıklayıcısı gücünü test etmek için F testi yapabiliriz. H0: dT = dN = dTİ = 0 olarak tanımlanabilir. Alternatif hipotez ise en az bir d sıfırdan farklıdır şeklinde kurulmaktadır.

Kukla değişkenli modelinde hata kareler toplamı 5.41×1011. . reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama| Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 342.6335 40.2195 8.519 0.000 262.3978 422.8692 TEK | 154110.9 26760.41 5.759 0.000 100725.3 207496.4 NİT | 143362.4 27852.8 5.147 0.000 87797.57 198927.2 TİC | 53228.64 31061.65 1.714 0.091 -8737.646 115194.9 _cons | -54893.09 26673.08 -2.058 0.043 -108104.4 -1681.748 Kukla değişkenli modelinde hata kareler toplamı 5.41×1011.

Kukla değişkensiz modelin hata kareler toplamı 8.92×1011. . reg Harcama N Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 1, 72) = 46.82 Model | 5.7974e+11 1 5.7974e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 8.9160e+11 72 1.2383e+10 R-squared = 0.3940 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3856 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 1.1e+05 ------------------------------------------------------------------------------ Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- N | 339.0432 49.55144 6.842 0.000 240.2642 437.8222 _cons | 23953.3 27167.96 0.882 0.381 -30205.04 78111.65 Kukla değişkensiz modelin hata kareler toplamı 8.92×1011.

. reg Harcama N Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 1, 72) = 46.82 Model | 5.7974e+11 1 5.7974e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 8.9160e+11 72 1.2383e+10 R-squared = 0.3940 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3856 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 1.1e+05 . reg Harcama N TEK NİT TİC ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 Değişkenlerin katsayılarına 0 sınırlaması konan genel F testi uygulanabilir.

. reg Harcama N Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 1, 72) = 46.82 Model | 5.7974e+11 1 5.7974e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 8.9160e+11 72 1.2383e+10 R-squared = 0.3940 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3856 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 1.1e+05 . reg Harcama N TEK NİT TİC ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 f1 = c =3 f2 =n-k=74-5=69 F istatistiğinin payında hesaplanan RSS modeldeki kukla değişken sayısına bölünmektedir. Bir başka ifadeyle, modele eklenen yeni değişken sayısına bölünmektedir.

H0 hipotezi redddilebilir . reg Harcama N Source | SS df MS Number of obs = 74 ---------+------------------------------ F( 1, 72) = 46.82 Model | 5.7974e+11 1 5.7974e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 8.9160e+11 72 1.2383e+10 R-squared = 0.3940 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3856 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 1.1e+05 . reg Harcama N TEK NİT TİC ---------+------------------------------ F( 4, 69) = 29.63 Model | 9.2996e+11 4 2.3249e+11 Prob > F = 0.0000 Residual | 5.4138e+11 69 7.8461e+09 R-squared = 0.6320 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6107 Total | 1.4713e+12 73 2.0155e+10 Root MSE = 88578 H0 hipotezi redddilebilir

KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLERDE KANTİTATİF DEĞİŞKEN SAYISININ İKİ SINIF İÇİN FARKLI OLMASI DURUMU 1.HAL: Sabit Terimlerin Farklı Eğimlerin Eşit olması ≠ = 48

KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLERDE KANTİTATİF DEĞİŞKEN SAYISININ İKİ SINIF İÇİN FARKLI OLMASI DURUMU 2.HAL: Sabit Terimlerin Eşit, Eğimlerin Farklı Olması Hali = ≠ 49

) b2 + b3 b3 b1 Yi Xi 50

KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLERDE KANTİTATİF DEĞİŞKEN SAYISININ İKİ SINIF İÇİN FARKLI OLMASI DURUMU 3.HAL: Sabit Terim ve Eğimin İki Sınıf İçin Farklı Olması ≠ ≠ 51

Yi Xi ) b4 b3+b4 b1 b1+b2 52

İKİ SINIF MODELLERİNİN FARKLILIĞININ KUKLA DEĞİŞKEN YÖNTEMİ İLE TESTİ Eğim farkı Sabit terim farkı t testi ne bakılır. b3 katsayısı anlamsız ve b2 anlamlı ise 1.durum (sabit terim farklı eğimler aynı) -b2 katsayısı anlamsız b3 anlamlı ise 2. durum (sabit terim aynı eğimler farklı) her iki katsayı da anlamlı ise 3. durum (iki fonk. birbirinden farklıdır denir) 2. Chow Testi 53

İKİ SINIF MODELLERİNİN FARKLILIĞININ KUKLA DEĞİŞKEN YÖNTEMİ İLE TESTİ Uygulama: Yıllık Sigara Tüketimi Cinsiyet (Di) (Erkek = 1, Kadın = 0) Yıllık Gelir (Xi) 25 1 400 20 260 19 270 24 360 240 22 310 21 280 18 200 320 54

İKİ SINIF MODELLERİNİN FARKLILIĞININ KUKLA DEĞİŞKEN YÖNTEMİ İLE TESTİ Dependent Variable: Y Method: Least Squares Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 14.94231 2.598383 5.750619 0.0012 Di -3.786344 3.350850 -1.129965 0.3016 Xi 0.017308 0.010508 1.647020 0.1507 DiX 0.017555 0.012245 1.433624 0.2017 R-squared 0.955060 Mean dependent var 21.00000 Adjusted R-squared 0.932591 S.D. dependent var 2.260777 S.E. of regression 0.586972 Akaike info criterion 2.061496 Sum squared resid 2.067219 Schwarz criterion 2.182530 Log likelihood -6.307482 F-statistic 42.50422 Durbin-Watson stat 1.943502 Prob(F-statistic) 0.000195 Eğim Farkı Sabit Terim Farkı 55

Sonuç olarak İki sınıf tüketim fonksiyonlarının aynı olduğunu söyleyebiliriz.

BİR MODELDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KARŞILIKLI OLARAK BİRBİRİNİ ETKİLEMELERİ PROBLEMİ Şehirde Oturan bir Erkeğin Tüketim Farkı Erkeğin Tüketim Farkı Şehirde Oturanların Tüketim Farkı 57

b4 katsayısının t istatistiğine bakılır b4 katsayısının t istatistiğine bakılır. Şayet anlamlıysa iki kukla değişkenin modelde birlikte yer alması, bunların bireysel etkilerini azaltabilir veya arttırabilir. Bu durumda bu katsayının modelde yer almaması da spesifikasyon hatalarına yol açabilir.

Üçer Aylar Karlar (Milyon Dolar) Şatışlar 1965-I 10503 114862 II 12092 MEVSİM DALGALANMALARININ ETKİSİNİN ARINDIRILMASINDA KUKLA DEĞİŞKENLERDEN FAYDALANMA Üçer Aylar Karlar (Milyon Dolar) Şatışlar 1965-I 10503 114862 II 12092 123968 III 10834 121454 IV 12201 131917 1966-I 12245 129911 14001 140976 12213 137828 12820 145465 D2 1 D3 1 D4 1 59

Dependent Variable: Kar MEVSİM DALGALANMALARININ ETKİSİNİN ARINDIRILMASINDA KUKLA DEĞİŞKENLERDEN FAYDALANMA Dependent Variable: Kar Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 6688.363 1711.366 3.908201 0.0009 D2 1322.892 638.4745 2.071957 0.0521 D3 -217.8054 632.2552 -0.344490 0.7343 D4 183.8564 654.2925 0.281000 0.7817 Satış 0.038246 0.011481 3.331281 0.0035 R2=0.525494 İstatistiki olarak anlamsız 60

MEVSİM DALGALANMALARININ ETKİSİNİN ARINDIRILMASINDA KUKLA DEĞİŞKENLERDEN FAYDALANMA Dependent Variable: Kar Sample: 1965:1 1970:4 VariableCoefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 6515.581 1623.083 4.014323 0.0006 D2 1331.352 493.0214 2.700395 0.0134 Satış 0.039310 0.010575 3.717315 0.0013 R2 = 0.515460 Mevsim dalgalanmalarının etkisinde 61

EŞİK DEĞER ETKİLERİ* *62-81 arası slaytlar, Mustafa SEVÜKTEKİN, Ekonometriye Giriş, 563-576

Kukla değişkenler arasında nitelik, kategorik, vasıf, özellik, ortaya çıkış ya da gerçekleşme farklılıkları söz konusudur. Gerçek hayatta herhangi bir kukla değişkenin vasıfları veya özellikleri arasındaki geçiş noktaları olarak tanımlanan eşik değerler her zaman kesin sınırlarla belirlenemeyebilir. Bu konuda uygulanabilecek bir yaklaşım, bağımlı değişkenin açıklayıcı değişkenlere göre dağılım diyagramından açıklayıcı değişkenin belli bir spesifik değerinden sonra kesin bir değişimin görülüp görülmediğini incelemektir. Ya da geleneksel uygulamalar yardımıyla benzer gözlemler ile eşik değerler saptanmaya çalışılır. Düzeyler arasındaki farklılıklar eşik değerlerle tanımlanabilir ve kukla değişkenler ile gösterilebilir.

Parçalı Kesikli (Spline) Fonksiyonlar Genelde farklı parçaların birleştirilmesiyle oluşan kesikli yapıdaki fonksiyonlara parçalı kesikli (spline) fonksiyon denir. Parçalar farklı eğimli doğru parçaları olabilecekleri gibi, doğrusal olmayan fonksiyonlar da olabilir Fonksiyon, parçalarının birleşme noktasında kırılma gösterir. Bu kırılma noktaları eşik değerler olarak nitelendirilir. Bireylerin değişen yaşlarının ve eğitim düzeylerinin gelire olan etkileri incelenmiş ve özellikle eğitim düzeyi ile ilgili eşik değerlerden yararlanılmıştır. Eğitim düzeyi ile yaşlar arasında başka bir eşik değer tanımı yapılabilir. Eğitim düzeyi ile ilişkilendirilen yaş eşik değerleri; 20 yaş için lisans öncesi eğitimin, 25 yaş için lisans eğitiminin tamamlandığı şeklinde oluşturulur. Bu tanım yardımı ile kabaca bireyler için gelirin zaman profili çıkarılabilir.

Gelir Yaş Eğitim LÖ L YL DO 700 16 1 900 17 850 18 1350 19 1300 1200 20 1100 1450 1700 21 1750 2400 22 23 2650 2000 24 2900 3500 25 2 3200 2850 28 2300 3700 29 31 4000 33 3 4200 34 3450 36 38 5000 42 3750 44 4300 45

biçiminde elde edilir . (1) Buna göre önce belirlenen yaş eşikleri için tahminler üç yaş grubuna ayrılarak tahmin edilmiştir; Yaş ≤ 20 için Gelir1 = -1614 + 146 Yaş1 20 < Yaş ≤ 25 için Gelir2 = -4559 + 301 Yaş2 Yaş > 25 için Gelir3 = 719 + 82.9 Yaş3 biçiminde elde edilir . (1) Gelir1 = 20 yaşından küçük gelir ve yaş değişkenlerine ait gözlemler kullanılarak elde edilmiştir. Gelir2 = 20 – 25 yaş arasındaki gelir ve yaş değişkenlerine ait gözlemler kullanılarak elde edilmiştir. Gelir3 = 25 yaşından büyük gelir ve yaş değişkenlerine ait gözlemler kullanılarak elde edilmiştir.

Şekil 1

D1 = 1, eğer yaş > y1* ise (2) Yukarıda tanımlanan eşik değerle 20 ve 25 yaş sınırları aynı zamanda birer dönme noktaları olarak da adlandırılır. Daha sonra bu dönme noktaları kukla değişken gibi tanımlanacak olursa: D1 = 1, eğer yaş > y1* ise (2) D2 = 1, eğer yaş > y2* ise y1* ve y2* eşik değerlerdir; y1* = 20 ve y2* = 25 dir.

D1 D2 Yas1 Yas2 1 2 3 4 5 8 9 11 6 13 14 16 18 22 17 24 19 25 20

Denklem (2) eşik değerleri açısından ifade edilecek olursa; D1 = 1, eğer yaş > 20 ise (3) D2 = 1, eğer yaş > 25 ise şeklinde yazılır. Denklem (1)’e kukla değişkenler dahil ederek aşağıdaki (4) nolu denklem tahmin edilmiştir: Gelir = β0 + β1 Yaş + α1 D1 + γ1 D1 Yaş + α2 D2 + γ2 D2 Yaş + u (4) Gelir = -1614 + 146 Yaş – 2945 D1 + 155 D1 Yaş + 5278 D2 – 218 D2 Yaş (5)

Şekil 2

Birinci eşik değer öncesi grup için yani, lisans eğitimi olmayan bireyler için gelir ve yaş ilişkisi; (Yaş ≤ 20) = -1614 + 146 Yaş (6) Lisans eğitimi alan bireyler için gelir ve yaş ilişkisi; (20 < Yaş ≤ 25) = -4559 + 301 Yaş (7) ve lisansüstü (yüksek lisans + doktora) eğitimi alan bireyler için gelir ve yaş ilişkisi; (Yaş > 25) = 719 + 83 Yaş (8) Dikkat edilecek olursa denklem (1)’de elde edilen sonuçlar ve denklem (5)’de elde edilen sonuçlar aynıdır.

Parçalı Sürekli (Piecewise) Fonksiyonlar Ekonomik modellerin birçoğunda herhangi bir açıklayıcı değişken ya da değişkenlerde küçük bir değişme olduğunda bağımlı değişken üzerindeki etkinin ölçülmesi gerekir. Dolayısıyla bir ekonomik modelde özellikle niteliksel veya kukla değişken kullanıldığında regresyon modelinin hem sabit, hem eğim, hem de her ikisinde bir kayma ve değişme hesaplanmak istendiğinde temel model yapısı yeniden gözden geçirilmelidir.

Daha ayrıntılı analiz için kesikli parçalardan oluşan bir model sürekli olarak tahmin edilmek istenirse bazı kısıtlamalarla bu sağlanabilir. Örnekte bazı kısıtlamalar ile eğitimdeki değişmelere izin verilebilir. Aşağıda gelir ve yaş ilişkisinin grafiği verilmiştir.

Şekil 3

Şekilde tire çizgili fonksiyonlar üç parçalı ve eğimleri birbirinden farklı olan ve farklı yaş grubundaki kişilere ilişkin gelir fonksiyonlarıdır. Bu fonksiyonların tahminleri denklem (1) ve şekil 1’de verilmiştir. Bu parçalı fonksiyonların spline fonksiyon tahmini denklem (5) ve regresyon doğrusu şekil 2’de verilmiştir. Gelir = -1614 + 146 Yaş – 2945 D1 + 155 D1 Yaş + 5278 D2 – 218 D2 Yaş (5) Farklı yaş grupları açısından regresyon doğruları süreksiz (kesikli) bir yapı gösterse de, yaşın gelir üzerindeki etkisine ilişkin gerçek doğru model, yapısal kırılmalı (eşik değerli) sürekli bir modeldir.

Eğer yaşın bir fonksiyonu olarak gelir açıklanmak istenirse, eğitim düzeylerine bağlı olarak bazı eşik değerler dikkate alındığında yapısal kırılmalar ortaya çıkacaktır. Bu durumda fonksiyonda kırılmadan kaynaklanan kesiklilik (veya süreksizlik) söz konusu olur. Yani gelir düzeyinde yıldan yıla kaymalar yaşanabilir.

Dolayısıyla fonksiyon üç düz doğrudan oluşan bir parçalı (piecewise) doğrusal modeldir. Parçalı doğrusal modeller oldukça büyük modeller setinin veya spline olarak adlandırılan ilişkilerin özel bir halidir. Spline fonksiyonlar ayrı ayrı fonksiyonlardır, fakat her bir parçayı gösteren eğri sürekli bir fonksiyondur ve düz bir doğru şart değildir.

Örnekte yaş değişkeni için aşağıdaki gibi tanımlamalar yapılabilir: Yaş1 = Yaş Yaş2 = Yaş – 20, Eğer yaş > 20 ise değilse 0 Yaş3 = Yaş – 25, Eğer yaş > 25 ise

Gelir = β0 + β1 Yaş1 + γ1 D1 Yaş2 + γ2 D2 Yaş3 + u (6) ve denklem (4) bu tanımlamalar ile yeniden yazılırsa; Gelir = β0 + β1 Yaş1 + γ1 D1 Yaş2 + γ2 D2 Yaş3 + u (6) denklemi elde edilir. Denklem (6) tahmin edilerek; Gelir = -2003 +169 Yaş + 141 D1 Yaş2 – 236 D2 Yaş3 (7) sonucu elde edilir. Buna göre parçalı doğrusal modeli aşağıda şekil 4’de görülmektedir. Kırılma (eşik) noktalarında fonksiyonun farkı şekil 2 ile karşılaştırılabilir.

Şekil 4

ZAMAN SERİSİ VE ÇAPRAZ-KESİT VERİLERİNİN BİRARAYA GETİRİLMESİNDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KULLANIMI UYGULAMA: 1935-1954 yıllarına arasında General Motor, Westinghouse ve General Electric firmalarna ait yatırım (Y), firmanın değeri (X2 ) ve sermaye stoğu (X3) verilerine ait tablo aşağıda verilmiştir. 82

ZAMAN SERİSİ VE ÇAPRAZ-KESİT VERİLERİNİN BİRARAYA GETİRİLMESİNDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KULLANIMI Firmaların yatırımları arasında fark olup olmadığını inceleyebilmek için de kukla değişkenlerden yararlanabiliriz. Firmaların ilk üç yıllarına ait veriler ile oluşturulan yeni tablo aşağıdaki gibidir. Yıllar Y X2 X3 Di Firma 1935 317.6 3078.5 2.8 1 GM 1936 391.8 4661.7 52.6 1937 410.6 5387.1 156.9 12.93 191.5 1.8 WE 25.90 516.0 0.8 35.05 729.0 7.4 33.1 1170.6 97.8 GE 45.0 2015.8 104.4 77.2 2803.3 118.0 83

ZAMAN SERİSİ VE ÇAPRAZ-KESİT VERİLERİNİN BİRARAYA GETİRİLMESİNDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KULLANIMI GM yatırımlarının diğer firma yatırımlarından sabit terim kadar farklı olduğunu ifade etmektedir.

ZAMAN SERİSİ VE ÇAPRAZ-KESİT VERİLERİNİN BİRARAYA GETİRİLMESİNDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KULLANIMI Dependent Variable: Y Method: Least Squares Included observations: 60 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -61.80754 23.79039 -2.598004 0.0120 X2 0.038311 0.016752 2.286884 0.0260 X3 0.347303 0.032048 10.83683 0.0000 Di 278.5911 51.74338 5.384091 0.0000 R-squared 0.924866 Mean dependent var 251.067 Adjusted R-squared 0.920841 S.D. dependent var 311.6501 S.E. of regression 87.68352 Akaike info criterion 11.84969 Sum squared resid 430550.4 Schwarz criterion 11.9893 Log likelihood -351.4906 F-statistic 229.7778 Durbin-Watson stat 0.502776 Prob(F-statistic) 0.000000 GM yatırımları, diğer firma yatırımlarından farklı ve fazladır. İstatistiki olarak anlamlı 85

ÖRNEKLER 86

Yi = Öğretim Üyelerinin Yıllık Maaşları Di = 1 Öğretim Üyesi Erkekse Örnek: Özel bir üniversitede öğretim üyelerinin yıllık maaşları ile cinsiyetleri arasında önce varyans daha sonra tecrübe değişkeni eklenerek kovaryans modeli oluşturulacaktır: Yi = a + b Di +ui Yi = Öğretim Üyelerinin Yıllık Maaşları Di = 1 Öğretim Üyesi Erkekse = 0 Diğer Durumlar (yani Kadın Öğretim Üyesi) Varyans Analiz Modelleri (ANOVA) Kadın Öğretim Üyelerinin Ortalama Maaşları: E( Yi|Di = 0 ) = a Erkek Öğretim Üyelerinin Ortalama Maaşları : E ( Yi|Di = 1) = a + b

3.280 21.280 18.00 Yi = 18 + 3.28 Di (0.32) (0.44) t (57.74)(7.44) , R2=0.8737

E ( Yi|Xi,Di = 1) = (a1 + a2 )+bXi Yi = a1 + a2 Di + b Xi + ui Yi = Öğretim Üyelerinin Yıllık Maaşları Xi = Öğretim Üyesinin Yıl olarak Tecrübesi Di = 1 Öğretim Üyesi Erkekse = 0 Diğer Durumlar (yani Kadın Öğretim Üyesi) Kadın Öğretim Üyelerinin Ortalama Maaşları : E( Yi|Xi,Di = 0 ) = a1+bXi Erkek Öğretim Üyelerinin Ortalama Maaşları : E ( Yi|Xi,Di = 1) = (a1 + a2 )+bXi

Maaş Cinsiyet Tecrübe 22 1 16 19 12 18 21.7 15 18.5 10 21 11 20.5 13 17 8 17.5 9 21.2 14

Y Y= (a1 + a2 )+bXi Yıllık Maaş Y=a1+bXi Erkek Kadın a2 a1 X Tecrübe (yıl olarak) Y X Y= (a1 + a2 )+bXi  Y=a1+bXi Erkek  Kadın a2 Di = 1 Öğretim Üyesi Erkekse = 0 Öğretim Üyesi Kadınsa a1 Yi = 15.051 + 2.239 Di + 0.289 Xi s(b) (0.95) (0.44) (0.09) p (0.000) (0.002) (0.020) , R2=0.949

DATA7-19 1960-1988 yılları arasında Türkiye’deki Sigara Tüketimi Q Yetişkinlerin sigara tüketim miktarı(kg), Range 1.86 - 2.723. Y GNP(1968) TL, Range 2560 - 5723. P Türkiye’deki sigara fiyatları Range 1.361 - 3.968. ED1 Kayıtlı ortaokul ve lise mezunu nüfus oranı(12-17 yaş) Range 0.112 - 0.451. ED2 Kayıtlı üniversite mezunu oranı (20-24) Range 0.026 - 0.095. D82 = 1 , 1982 ve sonrası D86 = 1 , 1986 ve sonrası 92

Included observations: 29 Dependent Variable: Q Sample: 1960 1988 Included observations: 29 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. P -0.097291 0.079389 -1.225493 0.2340 ED2 -5.547295 2.679248 -2.07046 0.0509 ED1 -2.994166 2.708828 -1.105336 0.2815 D86 -0.262700 0.090825 -2.89238 0.0087 D82 -0.288739 0.083649 -3.451774 0.0024 Y 0.000762 0.000190 4.009205 0.0006 C 5.1139345 0.34132 0.101585 0.9200 Katsayılar istatistiki olarak anlamsız 93

Included observations: 29 Dependent Variable: Q Method: Least Squares Sample: 1960 1988 Included observations: 29 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ED2 -6.455259 2.724204 -2.369595 0.0266 D86 -0.351822 0.078985 -4.454297 0.0002 D82 -0.269429 0.084743 -3.179385 0.0042 Y 0.000672 0.000170 3.945228 0.0006 C 58.18878 33.26618 1.749187 0.0936 94

DATA7-2 Belirli bir şirkette çalışan 49 kişinin istihdam durumu ve ücretleri WAGE = Aylık Ücret (Range 981 - 3833) EDUC = 8 yıllık eğitimden sonraki sahip olunan eğitim seviyesi(Range 1 - 11) EXPER =Şirkette çalışma süresi(Range 1 - 23) AGE = Yaş (25 - 64) GENDER = 1, Erkek ise; 0 kadın ise RACE = 1, beyaz ise; 0 diğerleri CLERICAL = 1 büro memuru ise, 0 diğerleri MAINT = 1 bakım işlerinde çalışıyor ise; 0 diğerleri CRAFTS =1,usta ise; 0 diğerleri Temel sınıf Profesyonel meslek grupları. 95

Dependent Variable: WAGE Method: Least Squares Included observations: 49 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1637.202 263.6726 6.209224 0.0000 EDUC 49.33178 27.99678 1.762052 0.0855 EXPER 27.29509 9.488883 2.876533 0.0064 GENDER 473.6966 152.4818 3.106578 0.0034 RACE 207.0888 130.4491 1.587506 0.1201 CLERICAL-946.7380 174.6505 -5.420758 0.0000 MAINT -1053.424 203.4297 -5.178320 0.0000 CRAFTS -708.8822 176.0507 -4.026580 0.0002 R-squared 0.737516 Mean dependent var 1820.204 Adjusted R-squared 0.692702 S.D. dependent var 648.2687 S.E. of regression 359.3643 Akaike info criterion 14.75483 Sum squared resid 5294850. Schwarz criterion 15.06370 Log likelihood -353.4934 F-statistic 16.45717 Durbin-Watson stat 2.107977 Prob(F-statistic) 0.000000 96

DATA 7-9 1985 yılında koleje giriş yapan öğrencilerin ilk yıl başarılarını göstermekte colgpa = 1986 sonbaharındaki ortalamaları (Range 0.85 - 3.97) hsgpa = Lise GPA (Range 2.29 - 4.5) vsat = Sözel derecesi (Range 200 - 700) msat = Sayısal derecesi (Range 330 - 770) dsci = 1 Bilim dalı için, 0 diğerleri dsoc = 1 Sosyal bilim dallı için, 0 diğerleri dhum = 1 Beşeri bilimdalı için 0 diğerleri darts = 1 Sanat dalı için, 0 diğerleri dcam = 1 Öğrenci kampüste yaşıyorsa, 0 diğerleri dpub = 1 Genel lise mezunu ise, 0 diğerleri 97

Dependent Variable: COLGPA Method: Least Squares Sample: 1 427 Included observations: 427 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.367296 0.224302 1.637506 0.1023 HSGPA 0.405914 0.063418 6.400630 0.0000 VSAT 0.000726 0.000290 2.503907 0.0127 MSAT 0.001086 0.000303 3.586609 0.0004 DSCI -0.027323 0.057319 -0.476673 0.6338 DSOC 0.056148 0.072778 0.771494 0.4409 DHUM -0.004059 0.141771 -0.028632 0.9772 DARTS 0.228650 0.188921 1.210294 0.2269 DCAM -0.040705 0.052162 -0.780362 0.4356 DPUB 0.029403 0.063040 0.466416 0.6412 Katsayılar istatistiki olarak anlamsız 98

Dependent Variable: COLGPA Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.423249 0.219749 1.926053 0.0548 HSGPA 0.398349 0.060586 6.574882 0.0000 VSAT 0.000737 0.000281 2.627361 0.0089 MSAT 0.001015 0.000294 3.457749 0.0006 99