Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 6.HAFTA İÇERİĞİ -Orta Nokta Yöntemi -Simpson Yöntemi

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Orta Nokta Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Bu yöntemde a ve b kapalı aralığında [a,b] integral hesaplamanın yamuk yöntemine göre en önemli üstünlüğü verilen aralık sayısı için daha az fonksiyona ihtiyaç duymasıdır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Orta Nokta Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER Bu yöntem dikdörtgen yöntemine benzer . Her bir aralık tam orta noktadan geçen yükseklik ile dikdörtgen hale getirir. Dikdörtgen için kenar uzunluğu f(xi) yerine xi ile xi+1 arasındaki orta noktadan çizilen fonksiyon değeri f(xi+h/2) kullanılır. y f(xn-1+h/2) y=f(x) f(x1+h/2) f(xo+h/2) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi S0 S1 … Sn-2 Sn-1 xo x1 x2 … xn x a b xo+h/2 x1+h/2 xn-1+h/2

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER y f(xn-1+h/2) y=f(x) f(x1+h/2) f(xo+h/2) BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. S0 S1 … Sn-1 . Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü xo x1 x2 … xn x a b xo+h/2 x1+h/2 Xn-1+h/2

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER Yakınsama ve Iraksama İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyon hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fks. iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. Grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. integralini n= 6 için orta nokta yöntemini kullanarak bulunuz. I. Adım xo=1 ve xn=2 , Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. y y=e-x-x y f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x x a) x b) b

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yakınsama ve Iraksama İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyon hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fks. iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. Grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. II. Adım i xi 1 1.1667 2 1.3333 3 1.5 4 1.6667 5 1.8333 6 xi+h/2 f(xi+h/2) 1.0833 4.02568 1.25 4.2025 1.4166 4.50521 1.5833 4.90583 1.75 5.38903 1.9162 5.94582 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. y y=e-x-x y f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x x a) x b) b

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi III. Adım x y y1=x y2 = g(x) Kök xo Iraksak x y Yakınsak y1=x y2 = g(x) Kök xo x1 x2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ise Yakınsama ve ıraksama şartı y1 = x  y|1 = 1 (Eğim) y2= g(x)  | g|(xo) | < 1 ise yakınsak | g|(xo) | > 1 ise ıraksak Burada y2= g(x) fks.nun eğiminin mutlak değeri y1 = x fks.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır. Mutlak hata Bağıl hata

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Örnek SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır integralini n=6 için orta nokta yöntemini kullanarak hesaplayınız I. Adım : xo=1 ve xn=8 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır II. Adım : k xk 1 2.16667 2 3.33334 3 4.50001 4 5.66668 5 6.83335 6 8.00002 x+h/2 f(x+h/2) 1.58333 0.65069 2.75000 0.44970 3.91667 0.32260 5.08334 0.24561 6.25001 0.19614 7.41668 0.16234 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır III. Adım Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Simpson Kuralları SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Yamuk kuralında hataları azaltmak için aralık sayısı artırılır. Hataları azaltmanın diğer bir yolu ise noktaları bir doğru şeklinde birleştirmek yerine daha yüksek dereceli polinomlar kullanmaktır. Örneğin, x=a ve x=b noktaları arasında bir nokta daha varsa bu üç noktadan geçen polinom çizilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x y y=f(x) c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 h h yakınsaktır a b x

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Simpson Kuralları SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Ya da x=a ve x=b arasında eşit aralıklı iki nokta varsa bu noktalardan geçen 3. dereceden bir polinom çizilebilir. y y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x h h h a b x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x Hem 2. dereceden hem de 3. dereceden polinomlar altında kalan alanları veren formüllere SİMPSON Kuralları denilir. y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Simpson 1/3 Yöntemi DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER yo x b y=f(x) a y2 y1 -h h f(x)=ax2+bx+c şeklinde verilmiş olsun. x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ‘in integralini bulmaya çalışalım a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) elde edilir (1) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Burada denklemlerin katsayısı bilinmediğinden I eşitliğini yo, y1 ve y2 cinsinden bulmaya çalışalım f(x)=f(-h)=yo=ah2-bh+c f(x)=f(0)=y1=c f(x)=f(h)=y2=ah2+bh+c yo+y2=2ah2+2c c yerine y1 yazılırsa 2ah2+2y1=yo+y2 2ah2=yo-2y1+y2 (2) x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. (2) denklemini (1)’de yerine yazılırsa; Alan ifadesi: a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x . Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. Toplam Alan: a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Bu yöntemde verilen n çift sayı olmalıdır. Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. integralini n= 8 için simpson yöntemini kullanarak bulunuz. y x y=f(x) aı a b I. Adım Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü xo=2 ve xn=12 , a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. II. Adım k xk f(xk) 2 9.0000 1 3.25 16.813 4.50 27.750 3 5.75 41.813 4 7.00 59.000 5 8.25 79.313 6 9.50 102.75 7 10.75 129.31 8 12.00 159.00 y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. III. Adım y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. integralini n= 4 için simpson yöntemini kullanarak bulunuz. I. Adım xo=0 ve xn=1 , y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü II. Adım k xk f(xk) 1 0.25 0.245493472 2 0.50 0.452006578 3 0.75 0.571641326 4 1.00 0.595009923 xo a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x1 x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. x2 x3 x4

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. III. Adım y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.