VERİ ZARFLAMA ANALİZİ Prof.Dr.Aydın ULUCAN

VERİ ZARFLAMA ANALİZİ DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (DEA) Benzer girdiler kullanarak, benzer çıktılar üreten birimlerin göreli etkinliklerinin ölçülmesi işletme yöneticilerinin önemli problemlerinden biridir. Veri Zarflama Analizi, çok sayıda girdi/çıktı olması durumunda etkinlik ölçülmesinde kullanılabilecek doğrusal programlama tabanlı bir tekniktir.

Which Unit is most productive? DMU labor hrs. #cust. 1 100 150 2 75 140 3 120 160 4 100 140 5 40 50 DMU = decision making unit

DEA (Charnes, Coopers & Rhodes ‘78) A multiple-input, multiple-output productivity measurement tool Basic intuition (DMU = decision making unit) #cust. DMU labor hrs. #cust. #cust/hr. 1 100 150 1.50 2 75 140 1.87 3 120 160 1.33 4 100 140 1.40 5 40 50 1.25 200 x slope = 1.87 x x DMU’s 1,3,4,5 are dominated by DMU 2. x 100 x labor hrs. 50 100

CCR Efficient Frontier Output 6 C F 5 G 4 E 3 B 2 D 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Input

BCC Efficient Frontier Output 6 C F 5 G 4 E 3 B 2 D 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Input

Why DEA? Regression can accommodate Multiple inputs or outputs but not both Regression requires a functional relationship between in/outputs Regression provides only average relationships not best practice

Extending to multiple outputs ... Ex: Consider 8 M.D.’s working at Shouldice Hospital for the same 160 hrs. in a month. Each performs exams and surgeries. Which ones are most “productive”? Note: There is some “efficient” trade-off between the number of surgeries and exams that any one M.D. can do in a month, but what is it?

Scatter plot of outputs: Efficient M.D.’s: These two M.D.’s (#1 and #6) define the most efficient trade-off between the two outputs. #6 efficient frontier #1 These points are dominated by #1 and #6. “Pareto-Koopman efficiency” along the frontier - cannot increase an output (or decrease an input) without compensating decrease in other outputs (or increase in other inputs).

How bad are the inefficient M.D.s and where are the gaps? #5 Performance “gap” 73.4% of distance to frontier Efficiency score = 73.4%

“Nearest” efficient points define a reference set and a linear combination of the reference set inputs and outputs defines a hypothetical composite unit (HCU) Reference set for #5 is {1,6} #6 #5 #1 HCU

DEA summary so far: DEA uses an efficient frontier to define multiple I/O productivity Frontier defines the (observed) efficient trade-off among inputs and outputs within a set of DMUs. Relative distance to the frontier defines efficiency “Nearest point” on frontier defines an efficient comparison unit (hypothetical comparison unit (HCU)) Differences in inputs and output between DMU and HCU define productivity “gaps” (improvement potential) How do we do this analysis systematically?

Productivity Conceptually ... Productivity = Outputs Inputs Reality if more complex ... Inputs Outputs Technology + Decision Making equipment #type A cust. facility space #type B cust. server labor quality index mgmt. labor $ oper. profit

Operating Units Differ Mix of customers served Availability and cost of inputs Facility configuration Processes/practices used Examples bank branches, retail stores, clinics, schools, etc. Questions: How do we compare productivity of a diverse set of operating units serving a diverse set of markets? What are the “best practice” and under-performing units? What are the trade-offs among inputs and outputs? Where are the improvement opportunities and how big are they?

Some approaches Operating ratios e.g. Labor-hrs/transaction, $sales/sq.-ft. Good for highly standardized operations Problem: Does not reflect varying mix of inputs and outputs found in more diverse operations Financial approach: Convert everything to $$$! Problems? Some inputs/outputs cannot be valued in $ (non-profit) Profitability is not the same as operating efficiency (e.g. variances in margins and local costs matter as well) $Inputs $Outputs

Profitability vs. effeciency Profitability is a function of 3 elements … Input prices (costs) Output prices Technical efficiency (How much input is required to generate the firms output.) Improving operations requires understanding technical efficiency not just overall profitability.

DEA’de bir karar-biriminin göreli etkinliği toplam ağırlıklı çıktılarının toplam ağırlıklı girdilerine oranı olarak tanımlanmaktadır. Bir birim için ağırlıklı çıktılar toplamının ağırlıklı girdiler toplamına oranı aşağıda matematiksel formda gösterilmektedir.

Her bir birim için etkinlik maksimize edilir Her bir birim için etkinlik maksimize edilir. Modelin kısıtları ise bu ağırlıklar diğer karar-birimlerine de uygulandığında hiç bir karar- biriminin etkinliğinin biri (%100’ü) geçmemesini sağlayan kısıtlardır.

Doğrusal Eşdeğeri

Örnek Bir banka Ankara’daki 6 şubesinin göreli etkinliklerini ölçmek istemektedir. Banka yönetimi şubelerin yaptıkları işlemleri üç grupta toplamış ve bunları şubelerin çıktı göstergeleri olarak belirlemiştir. Şubelerin operasyonel girdileri ise kira giderleri, personel harcamaları ve malzeme harcamaları olarak belirlenmiştir. Bu şubelerin ürettikleri çıktı ve kullandıkları girdi miktarları tablo’da görülmektedir. Yönetim etkin çalışan ve çalışmayan şubelerini belirlemek istemektedir.

Veri ve Karar Değişkenleri   Çıktılar Girdiler Şube Ç1 Ç2 Ç3 K P M 1 484 4,139 60 140 43 88 2 384 1,686 49 17 38 3 209 1,059 66 37 14 30 4 157 879 27 47 9 5 46 371 19 33 20 6 272 667 35 51 8 Karar değişkenleri: a1 = Şubenin etkinlik skorunda çıktı 1’in ağırlığı a2 = Şubenin etkinlik skorunda çıktı 2’nin ağırlığı a3 = Şubenin etkinlik skorunda çıktı 3’ün ağırlığı b1 = Şubenin etkinlik skorunda girdi 1’in ağırlığı b2 = Şubenin etkinlik skorunda girdi 2’nin ağırlığı b3 = Şubenin etkinlik skorunda girdi 3’ün ağırlığı

Amaç Fonksiyonu: Problemin amacı etkinlik skoru hesaplanan şubenin toplam ağırlıklı çıktısını maksimize etmektir. Aşağıda şube 1 için kurulacak modelin amaç fonksiyonu görülmektedir. Maks. 484 a1 + 4139 a2 + 60 a3 Not: Bizim örneğimizde 6 şube için 6 ayrı model kurulacaktır. Örneğin şube 2 için amaç fonksiyonu Maks. 384 a1 + 1686 a2 + 140 a3 olarak elde edilecektir.

Problemin Kısıtları: Problemdeki ilk kısıt grubu modeli kurulan şubenin ağırlıkları ile diğer şubelerin 1’den (%100) daha yüksek bir etkinliğe sahip olmamasını sağlayan kısıtlardır. Bu grupta şube sayısı kadar kısıt hazırlanacaktır. 484 a1 + 4139 a2 + 60 a3 – 140 b1 – 43 b2 – 88 b3  0 384 a1 + 1686 a2 + 140 a3 – 49 b1 – 17 b2 – 38 b3  0 209 a1 + 1059 a2 + 66 a3 – 37 b1 – 14 b2 – 30 b3  0 157 a1 + 879 a2 + 27 a3 – 47 b1 – 9 b2 – 28 b3  0 46 a1 + 371 a2 + 19 a3 – 33 b1 – 5 b2 – 20 b3  0 272 a1 + 667 a2 + 35 a3 – 51 b1 – 8 b2 – 19 b3  0   Modeldeki diğer kısıt ise etkinlik skoru hesaplanan şubenin ağırlıklı girdi toplamını 1’e eşitleyen aşağıdaki kısıttır. 140 b1 + 43 b2 + 88 b3 = 1

Matematiksel Model: Maks. 484 a1 + 4139 a2 + 60 a3 Kısıtlar 484 a1 + 4139 a2 + 60 a3 – 140 b1 – 43 b2 – 88 b3  0 384 a1+ 1686 a2 + 140 a3 – 49 b1 – 17 b2 – 38 b3  0 209 a1+ 1059 a2 + 66 a3 – 37 b1 – 14 b2 – 30 b3  0 157 a1+ 879 a2 + 27 a3 – 47 b1 – 9 b2 – 28 b3  0 46 a1+ 371 a2 + 19 a3 – 33 b1 – 5 b2 – 20 b3  0 272 a1+ 667 a2 + 35 a3 – 51 b1 – 8 b2 – 19 b3  0   140 b1 + 43 b2 + 88 b3 = 1 a1, a2, a3, b1, b2, b3  0 Not: Şube 1 için yukarıda oluşturulan model diğer şubeler için kurulurken, sadece koyu renkle gösterilen rakamlar o şubenin çıktı ve girdi değerleri ile değiştirilecektir.

Excel’de Modelleme ve Solver ile Çözüm:   B C D E F G H I J K 2 3 Çıktılar Girdiler Ağırlıklı 4 Şube C1 C2 C3 P M Çıktı Girdi Fark 5 1 484 4,139 60 140 43 88 9.29 9.33 -0.04 6 384 1,686 49 17 38 3.78 0.00 7 209 1,059 66 37 14 30 2.38 3.09 -0.71 8 157 879 27 47 9 1.97 2.02 -0.05 46 371 19 33 20 0.83 1.00 -0.17 10 272 667 35 51 1.50 1.80 -0.31 11 12 Ağırlıklar 0.22 13 15 0.832 16 Hücre Formül I5: =SUMPRODUCT($C$12:$E$12;C5:E5) I5:I10 aralığına kopyalanacak J5: =SUMPRODUCT($F$12:$H$12;F5:H5) J5:J10 aralığına kopyalanacak K5: =I5-J5 K5:K10 aralığına kopyalanacak C15: =Index(I5:I10;C14) C16: =Index(J5:J10;C14)

Çözüm: Tüm şubeler için model çözüldüğünde, şubelerin etkinlik skorları sırasıyla, 1, 1, 0.84, 0.98, 0.83 ve 1 olarak hesaplanır. Buna göre 1, 2 ve 6. şubeler etkin, 3, 4 ve 5. şubeler ise etkin olmayan şekilde bulunmuştur. Etkin olmayan şubeler kullandıkları girdi miktarlarını azaltarak ve/veya ürettikleri çıktı miktarlarını arttırarak etkin hale gelebilirler.

CCR Modelleri ile toplam etkinlik bulunurken, BCC modelleri ise teknik etkinliği hesaplar. Toplam Etkinlik Skoru(CCR) = Teknik Etkinlik Skoru (BCC) * Ölçek Etkinliği

Excel Modeli (Örnek)

Primal-Dual Relation s.t. x1 <= 4 2x2 <= 12 3x1 + 2x2 <=18 max 3x1 + 5x2 s.t. x1 <= 4 2x2 <= 12 3x1 + 2x2 <=18 x1, x2 >= 0 min 4y1 + 12y2 + 18y3 y1 + 3y3 >= 3 2y2 + 2y3 >= 5 y1, y2, y3 >= 0

Primal – Dual Relations

Maximize Outputs

Modeling Return to Scale

ÖRNEK OLAY H.D. Sherman ve F. Gold, “Bank Branch Operating Efficiency : Evaluation with Data Envelopment Analysis,” Journal Banking and Finance, Vol.9, pp.297-315, 1985.   Şube Sayısı : 14 Girdi : Kira, Personel-Saat, Malzeme Çıktı : 4 Tip

Sonuçlar

Örnek, (Türk Bankacılık Verisi ile)