Simpleks Yöntemi

Başlangıç Simpleks Tablo Mak. Z = 3x1 + x2 Zenb. = 3x1 + x2 + 0s1 – MY1- MY2 x1 + 2x2 ≥ 5 x1 + 2x2- s1+Y1 = 5 2x1 + x2 ≤ 6 2x1+ x2+ s2=6 x1 + x2 =3 x1+ x2 + Y2 = 3 x1, x2 ≥ 0 x1, x2, s1,s2, Y1,Y2 ≥ 0 Başlangıç Simpleks Tablo Cj 3 1 -M Değişken karışımı nicelik x1 x2 s1 s2 Y1 Y2 5 2 -1 6 Zj -8M -2M -3M M Cj – Zj 3+2M 1+3M

Birinci Simpleks Tablo İkinci Simpleks Tablo (Optimal) Cj 3 1 -M Değişken karışımı nicelik x1 x2 s1 s2 Y1 Y2 X2 5/2 1/2 -1/2 S2 7/2 3/2 Zj 5/2-M/2 1/2-M/2 -1/2-M/2 1/2+M/2 Cj – Zj 5/2+M/2 -1/2-3/2M İkinci Simpleks Tablo (Optimal) Cj 3 1 -M Değişken karışımı nicelik x1 x2 s1 s2 Y1 Y2 2 -1 -3 Zj 5 -2 Cj – Zj -M+2 -M-5

İki Aşamalı Yöntem

I.Aşama İçin Başlangıç Simpleks Tablo Zenk. = 3x1 + 2x2 x1 ≥ 4 x1 – s1 + Y1= 4 x1 + x2 = 10 x1 + x2 + Y2= 10 x1, x2 ≥ 0 Aşama 1: Zenk. = Y1 + Y2 x1 – s1 + Y1 = 4 x1 + x2 + Y2 = 10 x1, x2, s1, Y1, Y2 ≥ 0 I.Aşama İçin Başlangıç Simpleks Tablo Cj 1 Değişken karışımı nicelik x1 x2 s1 Y1 Y2 4 -1 10 Zj 14 2 Cj – Zj -2

I.Aşama İçin Birinci Simpleks Tablo Cj 1 Değişken karışımı nicelik x1 1 Değişken karışımı nicelik x1 x2 s1 Y1 Y2 4 -1 6 Zj Cj – Zj 2 I.Aşama İçin İkinci Simpleks Tablo (Optimal) Cj 1 Değişken karışımı nicelik x1 x2 s1 Y1 Y2 4 -1 6 Zj Cj – Zj

İkinci Aşama İçin Başlangıç Simpleks Tablo (Optimal) Aşama 2: Min. Z = 3x1 + 2x2 + 0s1 x1 – s1 = 4 x2 + s1 = 6 x1, x2, s1 ≥ 0 İkinci Aşama İçin Başlangıç Simpleks Tablo (Optimal) Cj 3 2 Değişken karışımı Nicelik X1 X2 S1 x1 4 1 -1 x2 6 Zj 24 Cj – Zj x1 = 4 x2 = 6 Z = 24

ULAŞTIRMA SORUNU

Dağıtım Merkezi Fabrika 1 2 3 4 Arz 5 6 10 8 15 Talep 12 30

Kuzey-Batı Yöntemi Dağıtım Merkezi Fabrika 1 2 3 4 Arz 2(5) 5 6 2(7) 1(3) 10 8(5) 4(4) 6(6) 15 Talep 12 8 30 Toplam Maliyet=(2*5)+(2*7)+(1*3)+(8*5)+(4*4)+(6*6)=119

Atlama Taşı Yöntemi 1 2 3 4 d12 = c12-c11+c21-c22 = 3-2+2-1 = 2 Dağıtım Merkezi Fabrika 1 2 3 4 Arz 2(5) 5 6 2(7) 1(3) 10 8(5) 4(4) 6(6) 15 Talep 12 8 30 d12 = c12-c11+c21-c22 = 3-2+2-1 = 2 d13 = c13-c11+c21-c22+c32-c33 = 5-2+2-1+8-4 = 8 d14 = c14-c11+c21-c22+c32-c34 = 6-2+2-1+8-6 = 7 d23 = c23-c33+c32-c22 = 3-4+8-1 = 6 d24 = c24-c34+c33-c22 = 5-6+8-1 = 6 d31 = c31-c21+c22-c32 = 3-2+1-8 = -6 x31=5 br.

Atlama Taşı Yöntemi 1 2 3 4 OPTİMAL ÇÖZÜM TOPLAM MALİYET 89 PB. Dağıtım Merkezi Fabrika 1 2 3 4 Arz 2(5) 5 6 2(2) 1(8) 10 3(5) 8 4(4) 6(6) 15 Talep 12 30 Toplam Maliyet=(2*5)+(2*2)+(1*8)+(3*5)+(4*4)+(6*6)=89 d12 = c12-c11+c21-c22 = 3-2+2-1 = 2 d13 = c13-c11+c31-c33 = 5-2+3-4 = 2 d14 = c14-c11+c31-c34 = 6-2+3-6 = 1 d23 = c23-c33+c31-c21 = 3-4+3-2 = 0 d24 = c24-c34+c31-c21 = 5-6+3-2 = 0 d32 = c32-c22+c21-c31 = 8-1+2-3 = 6 OPTİMAL ÇÖZÜM TOPLAM MALİYET 89 PB.

VAM Toplam Maliyet=(2*5)+(2*2)+(1*8)+(3*5)+(4*4)+(6*6)=89 Dağıtım Merkezi Fabrika 1 2 3 4 Arz CM 2**(5) 5 6 5 0 ---- 2***(2) 1*(8) 10 2 0 3 (5) 8 4(4) 6(6) 15 0 Talep 12 7 5 0 8 0 4 0 6 0 30 X22=8 X11=5 X21=2 X31= 5 X33= 4 X34= 6 Dağıtım Merkezi Fabrika 1 2 3 4 Arz 2(5) 5 6 2(2) 1(8) 10 3(5) 8 4(4) 6(6) 15 Talep 12 30 Toplam Maliyet=(2*5)+(2*2)+(1*8)+(3*5)+(4*4)+(6*6)=89

MODİ 1 2 3 4 OPTİMAL ÇÖZÜM TOPLAM MALİYET 89 PB. Dağıtım Merkezi Fabrika 1 2 3 4 Arz 2(5) 5 6 2(2) 1(8) 10 3(5) 8 4(4) 6(6) 15 Talep 12 30 Toplam Maliyet=89 Dolu hücreler için cij = Ui + Vj Boş hücreler için dij = cij – (Ui + Vj) v1=0 2=u1+v1 u1=2 d12 = 3-(2-1) = 2 2=u2+v1 u2=2 d13 = 5-(2+1) = 2 1=u2+v2 v2= -1 d14 = 6-(2+3) = 1 3=u3+v1 u3=3 d23 = 3-(2+1) = 0 4=u3+v3 v3=1 d24 = 5-(2+3) = 0 6=u3+v4 v4=3 d32 = 8-(3-1) = 6 OPTİMAL ÇÖZÜM TOPLAM MALİYET 89 PB.

OYUN KURAMI

Denge Noktası & Baskınlık 30* 28 18+ B2 24 25+ * 23 B3 20+ 26 27 * B4 27 B3, B4’e baskın A oyuncusu (maksimin): 20, 25, 18 A2 B oyuncusu (minimaks): 30, 25, 27 B2 Denge noktası (A2, B2) Oyun Değeri: 25

. Grafik Çözüm Yöntemi 1 x1 x2 A2, A3’e baskın ve B1, B3’e baskın. A’nın beklenen kazancı; B1’i oynadığında, 2x1+5x2≥V B2’yi oynadığında, 4x1+3x2≥V B4’ü oynadığında, 6x1+2x2≥V B1 B2 B3 B4 A1 2 4 3 6 A2 5 A3 1 x1 x2 x1+x2=1 x2 2 4 6 5 B2 B4 B1 . C A oyuncusu: Maksimin stratejisi V=7/2 x2=1/2 3 Çözüm C noktasında; (B1&B2 ortak çözümünden) V=7/2 x2=1/2 x1=1/2

. Grafik Çözüm Yöntemi 2 B1, B3’e baskın ve B2, B4’e baskın. B’nin beklenen kaybı; A1’i oynadığında, 5y1+9y2≤V A2’yi oynadığında, 8y1+2y2 ≤ V A3’ü oynadığında, 7y1+6y2 ≤ V y1 y2 B1 B2 B3 B4 A1 5 9 10 A2 8 2 4 A3 7 6 D V=33/5=6,6 y2 5 2 6 A3 A1 A2 . B oyuncusu: Minimaks stratejisi 2/5=y2 7 9 8 y1+y2=1 Çözüm D noktasında; (A1&A3 ortak çözümünden) V=33/5=6,6 y2=2/5=0,4 y1=3/5=0,6

Oyun Kuramı & Doğrusal Programlama A’nın amacının kazancını maksimize etmek olduğunu göz önünde bulundurarak doğrusal programlama modelini kurunuz. B1 B2 B3 A1 3 2 1 A2 -2 4 A3 5 Cj BAŞLANGIÇ TABLO 1 M Değ.Kar. Nicelik Q1 Q2 Q3 s1 s2 s3 Y1 Y2 Y3 3 -2 5 -1 2 O 4 Zj 3M 6M 4M 8M -M Cj - Zj 1-6M 1-4M 1-8M Cj OPTİMAL TABLO 1 M Değ.Kar. Nicelik Q1 Q2 Q3 s1 s2 s3 Y1 Y2 Y3 0,0556 -0,1667 0,3889 -0,2778 0,1667 -0,3889 0,2778 0,3333 -0,6667 0,6667 -0,3333 0,1389 0,0833 -0,0278 -0,1944 -0,0833 0,0278 0,1944 Zj 0,5278 -0,0834 -0,3056 -0,1389 0,0834 0,3056 Cj - Zj M-0,0834 M-0,3056 M-0,1389

stratejilerini oynama olasılıkları Cj OPTİMAL TABLO 1 M Değ.Kar. Nicelik Q1 Q2 Q3 s1 s2 s3 Y1 Y2 Y3 0,0556 -0,1667 0,3889 -0,2778 0,1667 -0,3889 0,2778 0,3333 -0,6667 0,6667 -0,3333 0,1389 0,0833 -0,0278 -0,1944 -0,0833 0,0278 0,1944 Zj 0,5278 -0,0834 -0,3056 -0,1389 0,0834 0,3056 Cj - Zj M-0,0834 M-0,3056 M-0,1389 A oyuncusunun stratejilerini oynama olasılıkları B oyuncusunun stratejilerini oynama olasılıkları

TAM SAYILI PROGRAMLAMA

* Grafiksel Çözüm Zenb = 3x1 + 4x2 -2x1 + 2x2 ≤ 5 2x1 + 2x2 ≤ 11 x1 ,x2 ≥ 0 ve tam sayı x2 x1 0 1 2 3 4 5 6 -5/2 6 5 4 3 2 1 Z=3x1+ 4x2 ● * 3/2, 4 (2,3) Z=18

Tam Sayılı Programlama Sorunlarının Kurulması A&A firması 4 yatırımı ele almaktadır. Yatırım1 $32.000, Yatırım2 $44.000, Yatırım3 $24.000 ve Yatırım4 $16.000’lık NBD’e sahiptir. Her yatırım başlangıçta belirli miktarda nakit çıkışı gerektirmektedir; Yatırım1 $10.000, Yatırım2 $14.000, Yatırım3 $8.000 ve Yatırım4 $6.000. Yatırım için firmanın elinde ise $28.000 bulunmaktadır. ● Firma en fazla iki tane yatırım yapabilir. ● Eğer firma Yatırım2’ye yatırım yaparsa Yatırım1’e de yapmak zorundadır. ● Eğer firma Yatırım2’ye yatırım yaparsa Yatırım4’e yatırım yapamaz. Yatırımlardan elde edilecek NBD’i maksimize edecek tamsayılı programlama modelini formüle ediniz.

1 eğer yatırım j yapılırsa 0 yapılmazsa xj (j=1,2,3,4) = Zenb = 32x1 + 44x2 + 24x3 + 16x4 10x1 + 14x2 + 8x3 + 6x4 ≤ 28 x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 2 x2 ≤ x1  x2 - x1 ≤ 0 x2 + x4 ≤ 1 xj = 0 veya 1 (j=1,2,3,4)

ÖRNEK 1 Dal-Sınır Yöntemi SİMAY A.Ş. dört ana dağıtım merkezinden (A,B,C,D), dört bayisine (1,2,3,4) mal göndermektedir. Her dağıtım merkezinden sadece bir bayiye mal gönderilebilmektedir. Aşağıdaki tabloda verilen dağıtım maliyetlerine göre toplam maliyeti minimize edecek şekilde hangi dağıtım merkezinden hangi bayiye mal gönderileceğini ve minimum toplam maliyeti dal-sınır yöntemini kullanarak belirleyiniz. Bayiler Dağıtım Merkezleri 1 2 3 4 A 6 B 10 16 C 8 18 D 12

Alt Sınır = 3+6+2+2=13 olursuz Üst Sınır = + ∞ Bayiler Dağıtım Merkezleri 1 2 3 4 A 6 B 10 16 C 8 18 D 12 Alt Sınır = 3+6+2+2=13 olursuz Üst Sınır = + ∞ 1.Aşama: A→1 3+12+6+2=23 (olurlu) Üst sınır B→1 10+6+2+2=20 (olursuz) (Budanır) C→1 8+6+2+2=18 (olursuz) Alt sınır D→1 16+6+2+2=26 (olursuz) (Budanır) 2.Aşama: C→1, A→2 8+6+6+4=24 (olursuz) (Budanır) B→2 8+16+2+2=28 (olursuz) (Budanır) D→2 8+12+2+2=24 (olursuz) Alt sınır > 23 Önceki aşamanın üst sınırından devam edilmelidir. A→1, B→2 3+16+10+2=31 (olursuz) (Budanır) C→2 3+18+6+4=31 (olursuz) (Budanır) D→2 3+12+6+2=23 (olurlu) Alt Sınır&Üst Sınır A→1, D→2, B→3 ve C→4’e atanmalıdır. Toplam Maliyet: 23

ÖRNEK 2 Dal-Sınır Yöntemi XYZW Holding aldığı 4 projeyi (1,2,3,4) 4 farklı şirketine (X,Y,Z,W) yaptıracaktır. Aşağıda verilen kazançlara göre en yüksek kazancı veren atamayı dal-sınır yöntemiyle gerçekleştiriniz. Proje Şirket 1 2 3 4 X 71 78 93 77 Y 69 87 74 Z 72 81 89 76 W 73 80 86

Proje Şirket 1 2 3 4 X 71 78 93 77 Y 69 87 74 Z 72 81 89 76 W 73 80 86 Üst Sınır = 73+81+93+78=325 olursuz Alt Sınır = 0 1.Aşama: X→1 71+81+89+78=319 (olursuz) (Budanır) Y→1 69+81+93+78=321 (olurlu) Alt sınır Z→1 72+80+93+78=323 (olursuz) (Budanır) W→1 73+81+93+77=324 (olursuz) Üst sınır 2.Aşama: W→1, X→2 73+78+89+76=316 (olursuz) (Budanır) Y→2 73+78+93+77=321 (olursuz) (Budanır) Z→2 73+81+93+77=324 (olursuz) Üst sınır Hiç olurlu çözüm olmadığından alt sınır halen 321’dir. 3.Aşama: W→1, Z→2, X→3 73+81+93+74=321 (olurlu) Alt Sınır &Üst Sınır Y→3 73+81+87+77=318 (olurlu) (Budanır) W→1, Z→2, X→3 ve Y→4’e atanmalıdır. Toplam Kazanç: 321

DİNAMİK PROGRAMLAMA EN KISA YOL PROBLEMİ

fn(s)=minimum [csj+fn-1(j)] 7 3 6 4 8 5 2 fn(s)=minimum [csj+fn-1(j)] f0(8)=0 n=1 s\j 8 j1(s) f1(s) 5 4+0 8 4 6 1+0 8 1 7 3+0 8 3 n=2 s\j 5 6 7 j2(s) f2(s) 2 3+4=7 6+1=7 ---- 5, 6 7 3 --- 8+1=9 5+3=8 7 8 4 --- --- 4+3=7 7 7 n=3 s\j 2 3 4 j3(s) f3(s) 1 5+7=12 3+8=11 4+7=11 3,4 11 EN KISA YOL (11BR.) 1→3→7→8 1→4→7→8