SONLU ELEMANLAR DERS 8

İKİ BOYUTLU ELEMANLAR Bu bölümün amacı iki boyutlu elemanlar ve özellikleri ile birlikte iki boyutlu şekil fonksiyonları kavramını tanımlamaktır. Dörtgen ve üçgen elemanlarla alakalı doğal koordinatlarda sunulacaktır. Dikdörtgen şeklindeki elemanlar, ikinci dereceden dörtgen şeklindeki elemanlar ve üçgen şeklindeki elemanlar için şekil fonksiyonları türetilecektir.

DİKDÖRTGEN ŞEKLİNDEKİ ELEMANLAR (RECTANGULAR ELEMENTS) Tn Ti Yandaki şekilde bir kanadın üst yüzeyindeki iki boyutlu sıcaklık dağılımı dikdörtgen şeklindeki elemanlar kullanılarak tanımlanmıştır. Tm Y T Tj n m i j X

Yandaki X ve Y koordinatlarına bağlı olarak elmandaki sıcaklık dağılımı verilmektedir. Burada X, Y global koordinatlar olurken x,y lokal koordinatlardır. Keyfi olarak seçilmiş bu elemandaki sıcaklık dağılımını aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. Tn Tm Ti T Tj y m n Y w i x j l X Bu dağılım elemanın kenarları boyunca lineer iç kısımlarda ise nonlineerdir.

katsayılarını bulmak için lokal koordinatlar kullanılır katsayılarını bulmak için lokal koordinatlar kullanılır. Sınır şartları kullanılırsa: dır. Buradan:

Buradaki şekil fonksiyonları Lokal Koordinatlarda Bulunan bu katsayılar genel fonksiyonda yerine yazılır ve sıcaklık değerlerine göre parantezler düzenlenirse aşağıdaki yapı elde edilir. Buradaki şekil fonksiyonları

Doğal Koordinatlarda y  (x=0, y=w) (=-1,=1) (x=l, y=w) (=1,=1) n m w (0,0)  i j (x=l, y=0) (=1,=-1) (x=0, y=0) (=-1,=-1) x l 5. Derste üzerinde durduğumuz gibi doğal koordinatlar lokal koordinatların boyutsuz halidir. Ayrıca çoğu sonlu elemanlar programları Gauss un numerik integrasyon ifadelerini kullanır. Bu integrallerin limitleri -1 ile +1 arasındadır ki bu daha öncede bahsettiğimiz doğal koordinatlar sınırlarına uyar.

veya – işaretleri parantez içine alırsak şekil fonksiyonları aşağıdaki gibi bulunur:

İKİNCİ DERECEDEN DÖRTGEN ELAMANLAR (QUADRATIC QUADRILATERAL ELEMENTS) o n o m m (-1,1) (1,1)  p l l p (0,0)  (1,-1) Y (-1,-1) i i k j j k X

LİNEER ÜÇGEN ELAMANLAR (LINEER TRIANGULAR ELEMENTS) Tk Üçgen elemanlar eğrisel yüzeyleri oluşturmada dikdörtgen şeklindeki elemanlara göre daha uygundur. Tj T Ti Y k j i X

Düğümlerin koordinatlarını yerine yazarsak: Tj Tk T Yandaki X ve Y koordinatlarına bağlı olarak elmandaki sıcaklık dağılımı verilmektedir. Üçgen eleman için sıcaklık dağılımı aşağıdaki gibi verilebilir. Ti Y (Xj, Yj) (Xi, Yi) (Xk, Yk) X Düğümlerin koordinatlarını yerine yazarsak:

Bu denklemlerin çözülmesi ile

Üçgen elemanlarda doğal koordinatlar için alanlar kullanılabilir. Doğal Koordinatlarda =1 =0 j Üçgen elemanlarda doğal koordinatlar için alanlar kullanılabilir. =0 A1 A2 k P A3 =1 =1 i =0

İKİNİ DERCEDEN ÜÇGEN ELAMANLAR (QUADRATIC TRIANGULAR ELEMENTS) =0 k k =1 =1/2 m n =1/2 m n =1 =0 İ j j l İ l =1 =1/2 =0