KÜMELER

KÜMELER Küme Nedir İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Buradaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan varlıklar demektir. Kümeler genellikle büyük harflerle isimlendirilir ve gösterilirler. 

KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI Kümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman denir. Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.

1-Lİste Yöntemİ Kümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Örnek: A = { 1, 2, 3 } - A kümesinin eleman sayısı 3'tür. B = { 123 } - B kümesinin eleman sayısı 1'dir. Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123'tür.

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ Kümeler, Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması yöntemi olmak üzere 3 şekilde gösterilir. 1-Liste Yöntemi 2-Ortak Özellik Yöntemi 3-Venn Şeması Yöntemi

2-Ortak Özellİk Yöntemİ Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. A = {x : (x in özeliği)} Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur. Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

Örneğin; A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme; A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir. K = { 0, 1, 2, 3 } ise bu küme; K = { x | xϵN ve x < 4 } olarak gösterilebilir.

3- Venn ŞemasI Yöntemİ Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

Aşağıda A = {aralık, ocak, şubat} kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir. Şema ile gösterilirken her elemanın başına nokta konulur ve kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır.

EŞİT KÜME-DENK KÜme Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. A = { 1, 2, 3 } , B = { 1, 2, 3 } ve C = { a, b, c } olsun. A kümesi ile B kümesi eşittir. Sembolle A=B A kümesi ile C kümesi denktir. Sembolle C≡D

BOŞ KÜMe Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da Ø sembolü ile gösterilir.

EVRENSEL KÜME Belirli bir alandaki tüm elemanları içeren kümeye evrensel küme denir. Genellikle ‘E’ harfi ile gösterilir. Örneğin; K = { a, b, c } ise bu kümenin evrensel kümesi E = { a, b, c, d } olabilir. A = { 1, 7, 9 } ve B = { 11, 13 } olsun. Bu kümelerin evrensel kümesi Tek Sayılar veya Sayılar olabilir.

ALT KÜME A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise AϹB biçiminde gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. BↃA biçiminde gösterilir. C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C₵D biçiminde gösterilir.

Alt Kümenin Özelikleri ** Her küme kendisinin alt kümesidir. AϹA ** Boş küme her kümenin alt kümesidir. ØϹA ** AϹB ve BϹA ise A = B dir. ** AϹB ve BϹC ise AϹC dir. ** n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2 𝑛 dir. ** n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 2 𝑛 -1 dir.

KÜMELERDE İŞLEMLER 1-Kümelerde Kesişim A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A ∩ B biçiminde gösterilir.

2-Kümelerde Birleşim A kümesindeki ve B kümesindeki bütün elemanların oluşturduğu kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A ᴜ B  biçiminde gösterilir.

Birleşimin Özellikleri. A ᴜ Ø = A. A ᴜ A = A. A ᴜ B = B ᴜ A Birleşimin Özellikleri ** A ᴜ Ø = A ** A ᴜ A = A ** A ᴜ B = B ᴜ A ** A ᴜ (B ᴜ C) = (A ᴜ B) ᴜ C ** A Ϲ B ise, A ᴜ B = B ** A ᴜ B = Ø ise, A = Ø ve B = Ø dir.

3-İki Kümenin Farkı A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine, A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

A = { 1, 2, 3 } ve E ={Rakamlar} olsun. A kümesinin tümleyeni 4-Bir Kümenin Tümleyeni A kümesinin dışındaki elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. A' şeklinde gösterilir. Örneğin; A = { 1, 2, 3 } ve E ={Rakamlar} olsun. A kümesinin tümleyeni A' = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olur. Not: A ᴜ A' = E

Küme Belirtir Boyu 1.50 m'den uzun öğrenciler Uçan hayvanlar P harfi ile başlayan günler

Küme Belirtmez Çalışkan öğrenciler Uzun boylu insanlar Bazı hayvanlar Birkaç gün

Örneğin; A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun. Pazartesi A kümesinin elemanıdır. Salı A kümesinin elemanı değildir. s(A)=3 , A kümesinin eleman sayısı 3'tür.