Öğretmenin; Adı Soyadı : :MATRİSLER Öğretmenin; Adı Soyadı :

Tanım: m,n  N+ için (i=1,2,3. ,m; j=1,2,3 Tanım: m,n  N+ için (i=1,2,3...,m; j=1,2,3...,n) olmak üzere, aij reel sayılarından oluşturulan; a11 a12 ... a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n . . . . ai1 ai2 ... aij ... ain am1 am2 ... amj ..amn j. sütun i. satır tablosuna, m x n biçiminde matris denir. 1

A matrisindeki her sayıya,matrisin elemanı yada bileşeni ve aij elemanındaki i sayısına indis, j sayısına da ikinci indis denir. aij elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütunun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisine kısaca A= [aij]m x n şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin sayısını, n de sütun sayısını gösterir. 2 A matrisinin, ai1 ai2 ... aij ... ain elemanlarına i.satır elemanları; ai1 ai2 ... aij ... ain elemanlarına da j.sütun elemanları denir.

Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her satırına, satır matrisi denir. B1 = [a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi) B2 = [a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi) . . . . Bm = [am1 am2 ... amn] (m.satır matrisi) A= [aij]m x n = şeklinde gösterilir. A matrisi satır matrisine bağlı olarak, 3

Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir. A1 :1.satır matrisi A2 : 2.satır matrisi ... An : n.satır matrisi A matrisi sütun matrisine bağlı olarak , A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir. 4

Kare Matris Tanım: n x n tipindeki A= [aij]m x n matrisine, n. basamaktan kare matris denir. Örneğin; matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir. 5

Sıfır Matrisi Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir. Örneğin; matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir. 6

Asal Köşegen , Yedek Köşegen Tanım : A= [aij]n x n kare matrisine a11,a22,a33,...,ann elemanlarının oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an1,a(n-1)2,...,a1n terimlerinin oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir. Örneğin; Yedek köşegen Asal köşegen a11,a22,a33 : asal köşegen a31,a22,a13 : yedek köşegen 7

Köşegen Matris Tanım: A= [aij]n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir. Örneğin; matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir. 8

Skalar Matris Tanım: A= [aij]n x n köşegen matrisinde a11 = a22 = a33 ...= ann = k ise,(k  R) bu matrise, skalar matris denir. Örneğin; matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir. 9

Birim Matris Örneğin; Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir. n x n tipindeki bir birim matris In ile gösterilir. (asal köşegen) matrisi , 4.sıradan bir birim matrisidir. I4 ile gösterilir. 10

İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrisler denir.  (i, j)  M x N için, aij = bij  [aij]m x n = [bij]m x n ÖRNEK: = ú û ù ê ë é 2 4 y x B ve A + 5 3 b a 11 olmak üzere, A = B ise kaçtır ?

12 ú û ù ê ë é + 5 2 3 b a 4 y x bulunur. matrislerinin = eşitliğinden, ÇÖZÜM : A = B  5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan 5a = 22 5b = 2  52b = 22  5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer x/y de yerine yazılırsa; bulunur. 12

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ Tanım: A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n matrisleri verilmiş olsun. A + B = [aij]m x n + [bij]m x n= A= [aij+ bij]m x n matrisine, A ve B matrislerinin toplamı denir. O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır. ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır? ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre; m+1 = n+1  p-2 = 2  m = n  p = 4 3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3  k = 2 m =n 2 , p = 4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir. 13

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. A = [aij]m x n , B = [bij]m x n C = [cij]m x n matrisleri için; A+(B+C) = [aij]m x n + ( [bij]m x n + [cij]m x n ) = [aij]m x n + [bij + cij]m x n = [aij+ (bij + cij)]m x n = [(aij+ bij) + cij]m x n = [aij + bij ]m x n + [cij]m x n = (aij]m x n + [ [bij]m x n ) + [cij]m x n = (A+B) + C olur. 16

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 3. Sıfır matrisi toplama işleminin etkisiz elemanıdır. A = [aij]m x n ve O = [O]m x n matrisleri için; A+O = [aij]m x n + [O]m x n = [aij+ O]m x n = [aij]m x n = A O + A = [O]m x n + [aij]m x n = [O + aij]m x n = [aij]m x n = A dır. 17

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 4.. A = [aij]m x n matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi, -A = [aij]m x n matrisidir. A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrisleri için; A+(-A) = [aij]m x n + [-aij]m x n = [aij - aij]m x n = [0ij]m x n A+(-A) = [-aij]m x n + [aij]m x n = [- aij+aij]m x n = [0ij]m x n dir. 18

İki Matrisin Farkı Tanım: A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrislerinin farkı, A - B = A +(-B) = [aij]m x n + [-bij]m x n = [aij - bij]m x n dir. 19

MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun. k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir. C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına skalar denir. ÖRNEK: matrisi ve k = 2 sayısı için, k . A matrisini bul. ÇÖZÜM: bulunur. = 2. 20

MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B  B . A 2. A  O ve B  O olduğu halde, A . B = O olabilir. Örneğin; ve olup; dır. 23

MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 3. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde yutan elemandır. 4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır. 24

MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]p x r olmak üzere ; A.(B .C) = (A .B) . C dir. 6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır. a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği; A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]n x p olmak üzere ; A.(B +C) = A .B + A . C dir. 25

MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği; A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler, (A +B) C . = A .C + B . C olur. 7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir. 26

MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ Tanım: n.sıradan bir A matrisi için, A.B=B.A=In koşulunu sağlayan n. sıradan B kare matrisi varsa, B matrisine, A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir. A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir. A. A-1 = A-1.A = In Örnek: matrisinin çarpma işlemine göre tersi matrisini bulalım. 29

30 A -1= ÇÖZÜM: olsun. A. A-1 = A-1.A = I2 olduğundan yazalım: elde edilir. Matrislerin eşitliğinden, bulunur. O halde, A-1 = 30

ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERS MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ 1. k  R-0 olmak üzere, n.sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa (k.A)=1/k.A-1dir. n. sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, A-1 ve B-1 ise; (A.B)-1 = A-1 . B-1 dir. 3. ise, dır. Eğer, ad - bc = 0 ise ,A-1 yoktur. 31

BİR MATRİSİN TRANSPOROZU (DEVRİĞİ) Tanım: A= [aij]m x n matrisinin sütunları ya da satırları sütun haline getirmekle elde edilen A = [aij]m x n matrisine,A matrisinin transporozu denir ve AT veya Ad ile gösterilir. Örneğin; matrisinin transporozu, 32

35 Teorem: A tersi olan bir matris ise, (AT)-1 =(A-1)T dir. Örnek: Çözüm: 35

Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun; 1. AT = A ise, A matrisine, simetrik matris denir. 2. AT = -A ise, A matrisine, antisimetrik matris denir. 3. AT = A-1 ise, A matrisine, ortogonal matris denir. 36

37 Örnek: matrislerinin hangisinin simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim. Çözüm: simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir. matrisi, antisimetrikmatristir. Çünkü, AT = -A dır. 37 Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır.

Sunum sona ermiştir. Arz ederim