İSMAİL EKSİKLİ Öğr. No: 140440059

2. DERECEDEN DENKLEMLER a,b,c sabit birer gerçel(reel) sayı ve a≠0 olmak üzere ; ax2+ bx + c=0 biçimindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

İkinci derece denklemin köklerinin varlığı araştırılırken; Δ = b2 - 4ac ifadesine bakılır. Bu değere ikinci derece denklemin DİSKRİMİNANTI (Delta) denir.

Şimdi diskriminantın durumlarını inceleyelim  > 0 ise birbirinden farklı iki kök vardır. Bu kökler; 𝐱 𝟏,𝟐 = −𝐛∓ ∆ 𝟐𝐚 ile bulunur.  = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır. 𝐱 𝟏,𝟐 = −𝐛∓ ∆ 𝟐𝐚 ile bulunur.  < 0 ise denklemin reel sayılarda çözümü yoktur.  

3x2-10x+3=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Örnek: 3x2-10x+3=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Δ=b2-4ac eşitliğinden; Δ=(-10)2-4.3.3=100-36=64 bulunur. Δ>0 olduğundan iki kök vardır. Bu kökler;   𝒙 𝟏 = −𝒃∓ ∆ 𝟐𝒂 = 𝟏𝟎∓ 𝟔𝟒 𝟐.𝟑 = 𝟏𝟎∓𝟖 𝟔   𝒙 𝟏 = 𝟏𝟖 𝟔 =𝟑 ve 𝒙 𝟐 = 𝟐 𝟔 = 𝟏 𝟑 bulunur.

2.DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER Bu tür denklemlerde değişken değiştirerek denklem düzenlenir.Konuyu örneklerle izah edelim. Örnek: x4-5x2+4=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: x2=u dönüşümü yapılırsa denklem, u2-5u+4=0 haline dönüşür. u2-5u+4=0  (u-4)(u-1)=0 Öyleyse; x2=4 ve x2=1 olacağından x= 2 ve x= 1 bulunur.  

 u=6 ve u=-4 bulunur. Öyleyse; x2-5x=6 ve x2-5x=-4 olacağından Örnek: (x2-5x)2 -2.(x2-5x) -24=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım Çözüm: x2-5x=u dönüşümü yapılırsa; u2 -2u -24=0 olur ki;  (u-6)(u+4)=0  u=6 ve u=-4 bulunur. Öyleyse; x2-5x=6 ve x2-5x=-4 olacağından x2-5x-6=0  (x-6)(x+1)=0  x=6 ve x=-1 olur. x2-5x+4=0  (x-4)(x-1)=0  x=4 ve x=1 olur.  

u2+u-6=0  (u+3)(u-2)=0  u=-3 ve u=2 olur. Örnek: 4m+2m-6=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: 2m=u dönüşümü yapılırsa denklem, u2+u-6=0 haline dönüşür. u2+u-6=0  (u+3)(u-2)=0  u=-3 ve u=2 olur. Öyleyse; 2m=-3  çözüm yoktur. ve 2m=2  m=1 olacağından Ç=1 ’dir.  

KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR 2.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri , x1 ve x2 olmak üzere; 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 =− 𝒃 𝒂 𝒙 𝟏 . 𝒙 𝟐 = 𝒄 𝒂 ile bulunur.

x1.x2= 𝒄 𝒂 olduğundan x1.x2=8 ‘dir. Örnek: x2 - 6x +8 = 0 denkleminin kökler toplamını ve çarpımını bulunuz. Çözüm: a=1 , b=-6 , c=8 olmak üzere; x1+x2= − 𝒃 𝒂 olduğundan x1+x2= 6   x1.x2= 𝒄 𝒂 olduğundan x1.x2=8 ‘dir.

KÖKLERİ VE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR 3.DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ VE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR a 𝒙 𝟑 + b 𝒙 𝟐 +cx +d = 0 (a≠𝟎) üçüncü dereceden denkleminin kökleri, x1, x2 ve x3 olmak üzere; 𝐱 𝟏 + 𝐱 𝟐 + 𝐱 𝟑 =− 𝐛 𝐚 𝐱 𝟏 . 𝐱 𝟐 + 𝐱 𝟏 . 𝐱 𝟑 + 𝐱 𝟐 . 𝐱 𝟑 = 𝐜 𝐚 𝐱 𝟏 . 𝐱 𝟐 . 𝐱 𝟑 =− 𝐝 𝐚 ile bulunur.

x2 - (x1+x2)+x1.x2=0 , x2 - x - 6 = 0 ile bulunur. KÖKLERİ VERİLEN BİR DENKLEMİN KURULUŞU İkinci dereceden bir denkleminin kökleri, x1 ve x2 olmak üzere, denklem; x2 - (x1+x2)+x1.x2=0 biçimindedir. Örnek: Kökleri -2 ve 3 olan ikinci derece denklemi bulunuz. Çözüm: x1+x2= (-2)+3=1 x1.x2= (-2).3=-6 bulunur. x2 - (x1+x2)+x1.x2=0 , x2 - x - 6 = 0 ile bulunur.  

bulunuz. x1+x2= (-4).5=-20 bulunur. x2 - (x1+x2)+x1.x2=0 Örnek: Kökleri -4 ve 5 olan ikinci derece denklemi bulunuz. Çözüm: x1+x2= (-4)+5=1 x1+x2= (-4).5=-20 bulunur. x2 - (x1+x2)+x1.x2=0 x2 - (1)x+(-20)=0 x2 - x - 20= 0 ile bulunur.

Örnek : x2-4x+3=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Δ=b2-4ac eşitliğinden; Δ=(-4)2-4.1.3=16-12=4 bulunur. Δ>0 olduğundan iki kök vardır. Bu kökler;   𝒙 𝟏 = −𝒃∓ ∆ 𝟐𝒂 = 𝟒∓ 𝟒 𝟐.𝟏 = 𝟒∓𝟐 𝟐   𝒙 𝟏 = 𝟔 𝟐 =𝟑 ve 𝒙 𝟐 = 𝟐 𝟐 =𝟏 ile bulunur.

bulunuz. x1+x2= (-5).(-2)=10 bulunur. x2 - (x1+x2)+x1.x2=0 Örnek: Kökleri -5 ve -2 olan ikinci derece denklemi bulunuz. Çözüm: x1+x2= (-5)+(-2)=-7 x1+x2= (-5).(-2)=10 bulunur. x2 - (x1+x2)+x1.x2=0 x2 - (-7)x+10=0 x2 +7x +10 = 0 ile bulunur.