SONLU ELEMANLAR DERS 3

MİNİMUM TOPLAM POTANSİYEL ENERJİ FORMÜLASYONU Dış kuvvetler bir yapıda deformasyona neden olur. Deformasyon sırasında dış kuvvetlerin yaptığı iş malzemede şekil değiştirme enerjisi diye adlandırılan elastik enerji olarak depo edilir.

Elastik davranış lineer bir yay şeklinde modellenebilir. F F y’ y’ l y l Yüksüz durum y dy y’ x dz dx z y

Bu eleman dy’ kadar uzatılırsa malzeme içerisinde depo edilen enerji: Burada V elemanın hacmidir.

n eleman ve m düğümden oluşan bir yapıda toplam potansiyel enerji  toplam şekil değiştirme enerjisi ile dış kuvvetler tarafından yapılan işin farkına eşittir. Minimum toplam potansiyel enerji prensibine göre, stabil bir sistemde toplam potansiyel enerji minimumdur. O halde bu noktada türev sıfıra eşit olmalıdır.

ÖRNEK-1 F kuvveti altındaki yandaki yay direngenliğine (yay sabitine) bağlı olarak x kadar uzamaktadır. Statikten yaya uygulanan kuvvetin yayın iç kuvvetine eşit olduğu rahatlıkla görülebilir. k Yay tarafından depolanan elastik enerji= x Dış kuvvetin yaptığı iş= Sistemin toplam potansiyel enerjisi= F Stabil durumda toplam potansiyel enerji minimumdur. O halde türevi sıfırdır.

ÖRNEK-2 P=12 N 8 cm 2 cm Yandaki sistemde, çubuğun ağırlığı 8 N olduğuna göre, yaydaki çökme miktarını bulunuz. A G B C k=20 N/cm Bu problemi ilk önce statik denklemlerle çözelim: +

Şimdi bu problemi minimum toplam enerji yaklaşımı ile çözelim: Sistemde elastik enerji yayda depo edilir. Bu enerji: P=12 N 8 cm 2 cm A G B C xG x xc Dış kuvvetlerin yaptığı iş: Sistemin toplam potansiyel enerjisi= Stabil durumda toplam potansiyel enerji minimumdur. O halde türevi sıfırdır.

ÖRNEK-3 w1 Yanda boyutları verilen değişken kesitli çubuk üst kenarından sabitlenmiş olup alt kenarından P kuvveti ile yüklenmektedir. Elastisite modülü E olan bir malzemeden üretilmiş olan bu çubuğun uzunluğu boyunca farklı noktalarda ne kadar deplasman yaptığını bulunuz. Çözümde çubuğun ağırlığını ihmal ediniz. L y w2 P Daha önce direk formülasyonla çözdüğümüz bu örneği minimum potansiyel enerji yöntemi ile çözelim:

Herhangi bir eleman için strain enerji yazılırsa: V Herhangi bir eleman için dış kuvvetlerin yaptığı iş

KESİN ÇÖZÜM (σort)A(y) L y dy du P P

Statik bağıntılarından:

ANSYS ÇÖZÜMÜ

YER DEĞİŞTİRMELER

GERİLMELER

ÇÖZÜMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI y Kesin Çözüm (in) Direk Formülasyon Minimum Enerji ANSYS 2.5 0.001027 0.001026 0.011026 5 0.002213 0.002210 0.002209 7.5 0.003615 0.003608 10 0.005333 0.005317