Ölçme Sonuçlarının Değerlendirilmesi Üçüncü Bölüm Ölçme Sonuçlarının Değerlendirilmesi

3.1. HATA GÖSTERİMLERİ Bu kesimde, ölçme sonucunu ifade ederken kullanılan hata teriminin farklı şekillerde gösterilmesi verilecektir.

3.1.1. Mutlak Hata Gösterimi Mutlak Hata genel anlamıyla, ölçülen bir niceliğin gerçek değeriyle ölçüm sonucu arasında ki farkın mutlak değeridir.

3.1.2 Bağıl Hata Gösterimi Bir ölçmenin bağıl hatası, mutlak hatanın, anlamlı rakamlarla yuvarlatılmış ortalama ölçme değerine oranı olarak tanımlanır.

Örnek:

Eğer bir ölçmenin bağıl hatası, % işaretiyle ifade edilirse Bağıl Hatanın % işareti ile ifade edilen şekline “yüzde hata” denir.

3.2 ÖLÇME ARAÇLARININ SINIFI VE DUYARLILIK HATASI Ölçme aracının duyarlılığı, ölçülen büyüklük için, ibrenin maksimum sapması halinde yapacağı yüzde hata olarak tanımlanır.

3.2.1 Mutlak ve Bağıl Duyarlılık Hataları Bir aletin duyarlılık hatası,

Ölçülen büyüklüğün bağıl duyarlılık hatası, mutlak duyarlılık hatasının ölçülen büyüklüğün değerine oranı olarak tanımlanır ve sonuç genellikle yüzde duyarlılık hatası şeklinde ifade edilir.

3.3 HATALARIN BİRLEŞTİRİLMESİ VE FONKSİYONLARDA Kİ HATALARIN DEĞERLENDİRİLMESİ Fiziki büyüklerin bazıları doğrudan ölçülemezler; fakat ölçülebilen büyüklüklerin fonksiyonu olarak hesaplanabilirler.

3.3.1 Mutlak Hataların Birleştirilmesi A=f(x,y,z) fonksiyonuyla verilen büyüklüklerden x,y ve z büyüklükleri doğrudan ölçülen bağımsız değişkenler olup, ∆x, ∆y, ∆z ortalama hatadır.

x büyüklüğü ∆x, y büyüklüğü ∆y ve z büyüklüğü ∆z hataları ile ölçülebiliyorsa, bunların hepsinin fonksiyona katkıları ile oluşan toplam mutlak hata, her birinin fonksiyona ayrı ayrı yükledikleri mutlak hataların toplamıdır.

3.3.2. Yüzde Hataların Birleştirilmesi Birleşik (toplam) yüzde hata aşağıda ki gibi tanımlanır. Bu ifadeyi şu şekilde yazabiliriz. Birleşik Yüzde = Hata Birleşik Mutlak Hata /Fonksiyonun Ortalama değeri

Hataların değerlendirilmesinde ve karşılaştırılmasında, çok defa mutlak hata yerine yüzde hata daha önemli ve daha anlamlıdır. Doğrudan yüzde hatayı veren pratik yol aşağıda verilmiştir. A=f(x,y,z) bağıntısı verilsin Önce her iki tarafın logaritması alınır. Elde edilen logaritmik terimlerden (-) işaretler (+) yapılır. Bu şekilde elde edilen ifadenin her iki tarafının diferansiyeli alınır.

Örnek: A=x/y ise ε(A)=? 1. adım : lnA=lnx-lny 2. adım : lnA=lnx+lny 3.adım : ∆A/A= ∆x/x+ ∆y/y Sonuç : ε(A)= ∆A/A= ∆x/x+ ∆y/y

3.4 DİRENÇ SERİLERİ VE TOLERANSLARI Renk kodları ile belirlenen direnç değerleri uluslar arası seviyeye (E serisi) göre 6 sınıfta toplanmaktadır. Bu serinin ilk üçüne ait tablo 3.1 de verilmiştir. Tablo 3.1 E6 1,0 1,5 2,2 3,3 4,7 6,8 E12 1,2 1,8 2,7 3,9 5,6 8,2 E24 1,1 1,3 1,6 2,0 2,4 3,0 3,6 4,3 5,1 6,2 7,5 9,1 Tablo 3.2 Dizisi Toleransı E6 ±%20 E12 ±%10 E24 ±%5 E48 ±%2 E96 ±%1 E192 ±%0,5

3.5 İSTATİSTİKSEL ÇÖZÜMLEME İstatistik, sayma ya da ölçmeler yoluyla örneklerden veri toplanması, verinin gruplandırılıp düzenlenmesi, analizi ve bulunan sonuçların değerlendirilip, örneklerin alındığı kitleler hakkında bilgi elde edilmesi ile uğraşan bir bilim dalı olarak kullanılmaktadır.

3.5 Merkezi Eğilim Ölçüleri Verinin bir merkezini gösteren parametrelere merkezi eğilim ölçüleri denir.

a)Aritmetik Ortalama:

b)Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: fi , xi ölçme sonucunun tekrarlama sayısı olmak üzere, ağırlıklı ortalama:

Örnek: l(cm)=2,45/2,76/2,57/2,58/2,72/2,57/2,58/2,72/2,62/2,57 la=(1x2,45+1x2,76+3x2,57+2x2,58+2x2,72+1x2,62)/(1+1+3+2+2+1) =2,614=2,61 cm

c)Geometrik Ortalama

d)Orta Değer Bir (x1, x2,…, xn) veri kümesinin orta değeri, ölçme sonuçlarının büyüklüklerine göre artan yada azalan sırada yazıldıktan sonra:

e)Mod Bir (x1, x2,…, xn) veri kümesinin modu, frekansı en büyük olan xi değeridir.

3.5.2 Saçılma Ölçüleri Veri değerlerinin bir merkez civarında saçılması konusunda bilgi veren parametrelere saçılım ölçüleri denir. Başlıca saçılma ölçüleri aşağıda sıralanmıştır.

a)Değer Bölgesi Bir {x1, x2,…, xn} veri kümesinin değer bölgesi R= xmax- xmin (3.13)

b)Ortalama Sapma Aritmetik ortalaması olan okumalardan i’yinci okumanın di sapması: Ortalama Sapma:

c)Standart Sapma ve Varyans Standart sapmanın karesine( ) varyans denir.

d)Ortalama Standart Sapma x’in standart hatasıdır. Böylece “n” kere ölçülen bir niceliğin değeri

3.5.3 Gauss veya Normal Dağılım Eğer ölçme x ile gösterilirse, Gauss dağılımı bu ölçmenin x ile x+dx arasında olma ihtimalini verir. Şekil 3.1 Gauss hata dağılımı eğrisi

3.5.4 Chauvenet Kriteri Ortalamadan aşırı sapan veri değerlerini atmak için kullanılır. Bu kritere göre, ortalamadan belli sapma elde etme ihtimali 1/2n den (n veri sayısı) az olan okuma atılabilir.

Tablo 3.3 Bir değerin atılması için kullanılan Chauvenet Kriteri Okuma Sayısı (n) Maksimum kabul edilebilir sapmanın standart sapmaya oranı (dmax/(standart sapma)) 2 1,15 3 1,38 4 1,54 5 1,65 6 1,73 7 1,80 10 1,96 15 2,13 25 2,33 50 2,57 100 2,81 300 3,14 500 3,29 1000 3,48

3.6 Grafiksel Analiz Bir fiziksel olay, bir deney içinde daha iyi anlaşılır ve deneysel verinin grafik gösteriminden, deney sonuçları hakkında daha çok ve daha kolay bilgi edinmek mümkündür.

3.6.1 Verinin Gruplandırılması ve Grafikle Gösterilmesi a)Çubuk Grafikler:

b)Çizgi Grafikler:

3.6.3 Lineer Korelasyon Analizi Değişkenlerin birbirlerini etkileyip etkilemedikleri “korelasyon” analizi ile incelenir. Eğer değişkenler arasında ilgi olduğu tespit edilirse, bu ilginin matematiksel ifadesi “regresyon” analizi ile bulunur. 2 değişkenli bir veri çifti (xi, yi; i=1,…,n) şeklinde gösterilir. Burada x kontrol edilebilen değişkendir ve giriş değişkeni adını alır;y bağımlı değişkeni temsil eder ve çıkış değişkeni adını alır.

Lineer korelasyon katsayısı r, iki değişken arasında ki lineer bağıntının bir ölçüsüdür ve ile hesaplanır. örnek kovaryansı temsil eder.

Bazı ara işlemlerden sonra “r” şu şekilde bulunur. r’nin daima -1 ile +1 arasında olacağı hesaplanmıştır. r=+1 ise tam pozitif korelasyon, r=-1 ise tam negatif korelasyon vardır. r=0 ise lineer korelasyon yoktur.

Karar Noktaları: Karar noktalarının değerleri “n” örnek sayısına bağlıdır. Tablo 3.5 de n’nin çeşitli değerlerine karşılık bulunan karar noktalarının değerleri verilmiştir.

Tablo 3.5 r*karar noktalarının değerleri Veri sayısı (n) |r*| 5 0,878 7 0,754 10 0,632 15 0,514 20 0,444 26 0,388 30 0,361 40 0,312 50 0,279 60 0,254 80 0,220 100 0,196

3.6.4 En Küçük Kareler Yöntemi ile Bilinmeyen Sabitlerin Bulunması x1, x2,…, xn şeklinde verilen ölçme takımının ortalama değerden sapmalarının karelerinin toplamı: dir. S’yi ortalama değerine göre minimize edilir.

İlgilenilen xi, yi veri çiftleri için y=ax+b şeklinde bir denklem arayalım. Bu durumda: toplamını en küçük yapmak için a ve b ye göre türevler alınıp sıfıra eşitlenir. denklem çifti elde edilir. Bu denklem takımı çözülürse;

3.6.5 Deneysel Olarak Elde Edilen Denklemin Güvenirliliğinin Sınanması xi ve yi veri çifti arasında ki bağıntı elde edildikten sonra, bağımsız değişkene ait değerler denklemde yerine konularak elde edilen bağımlı değişkenin değeri (ŷ) ile,deneyden elde edilen bağımlı değişkenin değeri (yi) karşılaştırılarak güvenirlik sınanır.

Eğer her nokta için elde edilen farkın, bağımlı değişkenin deneyden elde edilen değerine oranı %5 den az ise yada bütün bunların ortalaması %2 den az ise güvenilir bir sonuç elde edilmiştir.

Bazı durumlarda, veriye uydurulan eğrinin standart sapması hesaplanır. Deneysel olarak elde edilen denklemin veriye uyumunun ve güvenirliğinin diğer bir ölçüsü, ilişki (korelasyon) indisidir. “I” ile gösterilen bu indis şu şekilde hesaplanır.

Bu ifadeden, I’nın her zaman birden az olacağı görülmektedir. Eğer ; 0,94≤I ≤1,00 ise, elde edilen denklem veriye iyi uymaktadır ve denkleme güvenilebilir.