DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. 1

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Xt = b2Xt–1 + et, AR(1) süreci durağan bir zaman serisi örneğidir. Ancak burada sürecin, –1 < b2 < 1 koşulu ile et , 0 ortalamalı ve sabit varyanslı ile otokorelasyonsuz olması koşullarını sağlaması gerekmektedir 1

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. AR(1) sürecinin durağan bir zaman serisi örneği olduğu kolayca gösterilebilir. Eğer ilişki t dönemi için geçerliyse, bu ilişki aynı zamanda t-1 bir dönemi içinde geçerlidir. 1

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. İlk denklemde Xt–1 yerine ikinci denklemdeki eşitini yazalım . 1

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Bu gecikme alma ve yerine koyma sürecini devam ettirdiğimizde, X0 ve e1, ..., et yenileşim terimlerine göre Xt ‘yi elde ederiz. 5

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Her bir yenileşim teriminin beklenen değeri sıfırdır. Bu nedenle Xt ‘nin beklenen değeri b2tX0 eşit olur. Sonuçta bu değerde t artarken sıfıra yaklaşma eğilimi gösterir. Böylece E(Xt), nihayetinde t’den bağımsızdır. 5

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Şimdi, Xt’nin varyansının zamandan bağımsız olduğunu gösterelim. 7

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. b2tX0 ilave sabit olup varyansı etkilememektedir (varyans kuralı ). 8

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Yenileşim terimlerinin her biri diğerinden bağımsız olarak üretildiği varsayıldığından, anakitle kovaryansı 0’dır. 8

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Varyans terimlerinin kareleri alındığı için, b2 çarpımlarının kareleri alınmıştır (varyans kuralı). 8

Xt is stationary if E(Xt), , and the population DURAĞAN SÜREÇ Xt is stationary if E(Xt), , and the population covariance of Xt and Xt+s are independent of t b2’leri içeren terimlerimler geometrik dizi şeklindedir, bu nedenle kolaylıkla toplanabilir. 11

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Pay kısmındaki b22t terimi t arttıkça 0’a yaklaşır, bu nedenle varyansın zamandan bağımsız olduğunu göstermiş oluruz. 12

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Şimdi arasındaki Xt ve Xt+s anakitle kovaryansını inceleyelim. Xt ve yenileşim et+1, ..., et+s terimlerine göre Xt+s yazmakla işe başlayalım. Daha önce yağtığımız şekilde, gecikme ve yerine koyma işelemi ile bu işlem yapılır. 13

STATIONARY PROCESSES Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Xt , t zamanında sabitlenmiş olup bu yüzden t zamanındaki yenileşimlerinden bağımsızdır. Bundan dolayı Xt and Xt+s’ anakitle kovaryansı, Xt and b2sXt’ anakitle kovaryasına çevrilir. Böylece Xt’ anakitle varyansı ile b2s’nin çarpımına eşit olur. 14

STATIONARY PROCESSES Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Bu nedenle son olarak gösterilen ifadeye eşittir. Bu ifade t’den bağımsız olup, s’ye bağlıdır. Bu nedenle, sürecin durağanlığı için gerekli olan üç şarttın hepsi sağlanmalıdır. 14

DURAĞAN SÜREÇ Burada b2 = 0.7 ve yenileşim terimleri için tesadüfi sayıların kullanıldığı sürecin ürettiği serinin grafiği çizilmiştir. 16

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Şimdi denklemin sağ tarafında b1 sabiti olduğundaki durumu inceleyelim. Bu sürecinde durağan olduğunu göstereceğiz. 17

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. t zamanında geçerli olan süreç t – 1 zamanında da geçerlidir. 17

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. İlk denklemde, Xt–1’in yerine eşitini koyalım. Böylece, Xt–2, b1, ve t ve t – 1 zamanlarındaki yenileşimlere göre Xt ‘yi ifade etmiş oluyoruz. 17

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Yeterli sayıda gecikme ve yerine koyma işleminden sonra, X0, b1, 1’den ve t’ye kadar olan yenileşimlere göre Xt ‘yi ifade edebiliriz. 17

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Böylece son ifadeyi elde ederiz. 17

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Beklenen değeri aldığımızda, bütün yenileşim terimlerinin beklenen değeri sıfıra eşit olmaktadır. T çok büyük değerlere ulaştığında, b2t terimi 0’a yaklaşacaktır. Sonuçta zamanda bağımsız bir ifade elde etmiş olacağız. 22

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Xt ‘ye bir sabitin ilave edilmesi onun anakitle varyansını etkilemeyeceğinden dolayı zamandan bağımsız olacaktır. 23

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Xt and Xt+s anakitle kovaryansı, Xt and b2sXt arasındaki anakitle kovaryans ile Xt and (1 + ... + b2s)b1 arasındaki anakitle kovaryans toplamına eşit olacaktır. Son kısım (1 + ... + b2s)b1 sabit olduğunda kovaryansı 0’dır. 24

DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir Xt zaman serisi, E(Xt), ve Xt ile Xt+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Böylece, anakitle kovaryansı sürece b1 ‘in ilavesinden etkilenmemekte ve süreç zamandan bağımsız kalmaktadır. Böylece durağanlığın sağlanması için her üç şartta sağlanmış olmaktadır. 25

NONSTATIONARY PROCESSES In the last sequence, the process shown at the top was shown to be stationary. The expected value and variance of Xt were shown to be (asymptotically) independent of time and the covariance between Xt and Xt+s was also shown to be independent of time. 1

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk The condition –1 < b2 < 1 was crucial for stationarity. If b2 = 1, the series becomes a nonstationary process known as a random walk. 2

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk It will be assumed, as before, that the innovations e are generated independently from a fixed distribution with mean 0 and population variance se. 2 3

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk If the process starts at X0 at time 0, its value at time t is given by X0 plus the sum of the innovations in periods 1 to t. 4

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk If expectations are taken at time 0, the expected value at any future time t is fixed at X0 because the expected values of the future innovations are all 0. Thus E(Xt) is independent of t and the first condition for stationarity remains satisfied. 5

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk However, the condition that the variance of Xt be independent of time is not satisfied. 6

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk The variance of Xt is equal to the variance of X0 plus the sum of the innovations. X0 may be dropped from the expression because it is an additive constant (variance rule 4). 7

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk The variance of the sum of the innovations is equal to the sum of their individual variances. The covariances are all 0 because the innovations are assumed to be generated independently. 8

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk The variance of each innovation is equal to se , by assumption. Hence the population variance of Xt is directly proportional to t. Its distribution becomes wider and flatter, the further one looks into the future. 2 9

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk The chart shows a typical random walk. If it were a stationary process, there would be a tendency for the series to return to 0 periodically. Here there is no such tendency. 10

NONSTATIONARY PROCESSES A second process considered in the last sequence is shown above. The presence of the constant b1 on the right side gave the series a nonzero mean but did not lead to a violation of the conditions for stationarity. 11

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk with drift If b2 = 1, however, the series becomes a nonstationary process known as a random walk with drift. 12

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk with drift Xt is now equal to the sum of the innovations, as before, plus the constant b1 multiplied by t. 13

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk with drift As a consequence, the expected value of Xt becomes a function of t and the first condition for nonstationarity is violated. 14

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk with drift (The second condition for nonstationarity remains violated since the variance of the distribution of Xt is proportional to t. It is unaffected by the inclusion of the constant b1.) 15

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk with drift The chart shows a typical random walk. It was generated with b1 equal to 0.2. 16

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk with drift Stationary process Random walk The chart shows three series for comparison, all generated with the same set of random numbers. The middle series is a stationary autoregressive process, the first process considered in the last sequence, with b2 equal to 0.7. 17

NONSTATIONARY PROCESSES Random walk with drift Stationary process Random walk In the bottom series, a random walk, b 2 was changed to 1. The top series is the random walk with drift just discussed. 18

NONSTATIONARY PROCESSES Deterministic trend Random walks are not the only type of nonstationary process. Another common example of a nonstationary time series is one possessing a time trend. 19

NONSTATIONARY PROCESSES Deterministic trend It is nonstationary because the expected value of Xt is not independent of t. Its population variance is not even defined. 20

NONSTATIONARY PROCESSES Deterministic trend Random walk with drift Superficially, this model looks similar to the random walk with drift, when the latter is written in terms of its components from time 0. 21

NONSTATIONARY PROCESSES Deterministic trend Random walk with drift The difference is that, with a deterministic trend, the deviations from the trend are short-lived. Even if the shocks are autocorrelated, the series sticks to its trend in the long run. 22

NONSTATIONARY PROCESSES Deterministic trend Random walk with drift However, in the case of a random walk with drift, the divergence from the trend line is random walk and the variance around the trend increases without limit. 23

NONSTATIONARY PROCESSES Difference-stationarity If a nonstationary process can be transformed into a stationary one by differencing, it is said to be difference-stationary. A random walk, with or without drift, is an example. 24

NONSTATIONARY PROCESSES Difference-stationarity If we difference the series, the differenced series is just b1 + et. 25

NONSTATIONARY PROCESSES Difference-stationarity This is stationary because the expected value of DXt at time t, b1, and its variance, se2, are independent of time and the covariance between its value at time t and its value at time t + s is 0. 26

NONSTATIONARY PROCESSES Difference-stationarity Xt is I(1) A nonstationary time series that can be transformed into a stationary process by differencing once, as in this case, is described as integrated of order 1, I(1). 27

NONSTATIONARY PROCESSES Difference-stationarity Xt is I(1) If a time series can be made stationary by differencing twice, it is known as I(2), and so on. A stationary process, which by definition needs no differencing, is described as I(0). In practice most series are I(0), I(1), or, occasionally, I(2). 28

NONSTATIONARY PROCESSES Difference-stationarity Xt is I(1) The reason that the series is described as 'integrated' is that the shock in each time period is permanently incorporated in it. There is no tendency for the effects of the shocks to attenuate with time, as in a stationary process or in a model with a deterministic trend. 29

NONSTATIONARY PROCESSES Trend-stationarity A trend-stationary model is one that can be made stationary by removing a deterministic trend. In the case of the model shown, the de-trended series Xt is just the residuals from a regression on time. ~ 30

NONSTATIONARY PROCESSES Trend-stationarity The distinction between difference-stationarity and trend-stationarity is important for the analysis of time series. 31

NONSTATIONARY PROCESSES Trend-stationarity It used to be assumed that time series could be decomposed into trend and cyclical components, the former being determined by real factors, such as the growth of GDP, and the latter being determined by transitory factors, such as monetary policy. 32

NONSTATIONARY PROCESSES Trend-stationarity Typically the cyclical component was analyzed using detrended versions of the variables in the model. 33

NONSTATIONARY PROCESSES Deterministic trend Random walk with drift However this approach is inappropriate if the process is difference- stationary, for although detrending may remove any drift, it does not affect the increasing variance of the series, and so the detrended component remains nonstationary. 34

Sahte Regresyon Granger ve Newbold yaptıkları Monte Carlo denemesinde, rastsal yürüyüş gösteren ve birbirlerinden bağımsız Yt veXt değişkenlerini kullanarak Yt = b1 + b2Xt + ut modelini tahmin etmişlerdir.. 1

Sahte Regresyon Bir rastsal yürüyüş gösteren bir değişkenin bir diğeri üzerine regresyonundan I.Tip hata haricinde anlamlı sonuçlar üretmemelidir. 2

Sahte Regresyon ============================================================= Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 100 Included observations: 100 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.445060 0.369960 6.608987 0.0000 X 0.150445 0.037953 3.963954 0.0001 R-squared 0.138181 Mean dependent var 1.223467 Adjusted R-squared 0.129387 S.D. dependent var 2.193741 S.E. of regression 2.046907 Akaike info criteri 4.290334 Sum squared resid 410.6032 Schwarz criterion 4.342437 Log likelihood -212.5167 F-statistic 15.71293 Durbin-Watson stat 0.270222 Prob(F-statistic) 0.000140 Bir önceki sunuda üstteki rastsal yürüyüş gösteren değişkene göre altta yer alan değişkenin regresyon sonuçlarına ait çıktı yukarıda verilmiştir. 3

Sahte Regresyon ============================================================= Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 100 Included observations: 100 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.445060 0.369960 6.608987 0.0000 X 0.150445 0.037953 3.963954 0.0001 R-squared 0.138181 Mean dependent var 1.223467 Adjusted R-squared 0.129387 S.D. dependent var 2.193741 S.E. of regression 2.046907 Akaike info criteri 4.290334 Sum squared resid 410.6032 Schwarz criterion 4.342437 Log likelihood -212.5167 F-statistic 15.71293 Durbin-Watson stat 0.270222 Prob(F-statistic) 0.000140 Y, X’den bağımsız olarak üretildiğinden dolayı, gerçek eğim katsayısı 0, Ancak %1 önem düzeyinde eğim katsayısının anlamlı olarak sıfırdan farklı olduğu görünmektedir. 4

Sahte Regresyon ============================================================= Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 100 Included observations: 100 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.445060 0.369960 6.608987 0.0000 X 0.150445 0.037953 3.963954 0.0001 R-squared 0.138181 Mean dependent var 1.223467 Adjusted R-squared 0.129387 S.D. dependent var 2.193741 S.E. of regression 2.046907 Akaike info criteri 4.290334 Sum squared resid 410.6032 Schwarz criterion 4.342437 Log likelihood -212.5167 F-statistic 15.71293 Durbin-Watson stat 0.270222 Prob(F-statistic) 0.000140 %5 anlamlılık testi kullanıldığında, zamanın %5’inde I.tip hata ile karşılaşmayı bekliyoruz. Ne var ki, Granger ve Newbold 100 rastsal yürüyüş çifti ile yaptıkları denemeler neticesinde eğim katsayısının 0 olduğu sıfır hipotezini 77 kez ret etmişlerdir. 5

Sahte Regresyon ============================================================= Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 100 Included observations: 100 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.445060 0.369960 6.608987 0.0000 X 0.150445 0.037953 3.963954 0.0001 R-squared 0.138181 Mean dependent var 1.223467 Adjusted R-squared 0.129387 S.D. dependent var 2.193741 S.E. of regression 2.046907 Akaike info criteri 4.290334 Sum squared resid 410.6032 Schwarz criterion 4.342437 Log likelihood -212.5167 F-statistic 15.71293 Durbin-Watson stat 0.270222 Prob(F-statistic) 0.000140 %1 testi kullanarak yaptıklarında ise durum çok az farklıdır. Bu düzeyde sıfır hipotezi 100 denemeden 1’de ret edilmesi gerekirken, bu defa Granger ve Newbold 100 denemede sıfır hipotezini 70 kez ret etmişlerdir. 6

Sahte Regresyon Bunun nedeni şudur: sıfır hipotezi H0: b2 = 0 doğruysa, hata terimi regresyon modelinin şartlarını sağlamamaktadır. 7

Sahte Regresyon Eğer H0 doğruysa (ki zaten biz onun doğru olduğunu biliyoruz), bu durumda ut rastsal yürüyüş göstermektedir. Gerçektende, b1 = 0 olduğundan, hata terimi, Yt ile aynıdır. Sonuçta, Yt ‘nin Xt ‘ye göre regresyonundan elde edilen stndart hata ve t istatistikleri geçersi olacaktır. 8

Sahte Regresyon Bu Yt ‘nin durağan otoregresif süreç göstermesi durumunda da geçerli olacaktır. r ‘nun değeri bir den büyük olduğunda I.tip hatanın ortaya çıkış sayısı çok çarpıcı olmaktadır. Bu ise Granger ve Engel’in denemelerinde neden r = 1 tercih etmelerinin nedenidir. 9

Sahte Regresyon ============================================================= Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 100 Included observations: 100 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.445060 0.369960 6.608987 0.0000 X 0.150445 0.037953 3.963954 0.0001 R-squared 0.138181 Mean dependent var 1.223467 Adjusted R-squared 0.129387 S.D. dependent var 2.193741 S.E. of regression 2.046907 Akaike info criteri 4.290334 Sum squared resid 410.6032 Schwarz criterion 4.342437 Log likelihood -212.5167 F-statistic 15.71293 Durbin-Watson stat 0.270222 Prob(F-statistic) 0.000140 Tabi ki, eğer hata terimleri yüksek kuvvetli otokorelasyonlu ya da rastsal yürüyüşe sahipse, Durbin–Watson istatistiği, yukarıdaki çıktıdaki gibi, bir ikaz verir. 10

Sahte Regresyon ============================================================= Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 100 Included observations: 100 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.445060 0.369960 6.608987 0.0000 X 0.150445 0.037953 3.963954 0.0001 R-squared 0.138181 Mean dependent var 1.223467 Adjusted R-squared 0.129387 S.D. dependent var 2.193741 S.E. of regression 2.046907 Akaike info criteri 4.290334 Sum squared resid 410.6032 Schwarz criterion 4.342437 Log likelihood -212.5167 F-statistic 15.71293 Durbin-Watson stat 0.270222 Prob(F-statistic) 0.000140 Granger and Newbold‘un denemesinin temel noktası şunu göstermektir: modeldeki ilişkinin anlamı yok iken ve otokorelasyonlu olma durumu göz ardı edildiğinde, görünüşte anlamlı sonuçları elde etmenin kolaylığıdır. 11

Sahte Regresyon ============================================================= Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 100 Included observations: 100 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.445060 0.369960 6.608987 0.0000 X 0.150445 0.037953 3.963954 0.0001 R-squared 0.138181 Mean dependent var 1.223467 Adjusted R-squared 0.129387 S.D. dependent var 2.193741 S.E. of regression 2.046907 Akaike info criteri 4.290334 Sum squared resid 410.6032 Schwarz criterion 4.342437 Log likelihood -212.5167 F-statistic 15.71293 Durbin-Watson stat 0.270222 Prob(F-statistic) 0.000140 Durağandışı süreçler kuramı ve onların regresyon modellerinde kullanılması bu konudaki araştırmaları teşvik etmiştir. 12

Durağandışılığın Sınanması Otokorelasyon Foksiyonu k = 1, ... Bu sunda durağan dışılığın araştırılmasında iki yöntem tanımlanacaktır. İlki korelogramlara dayanan grafiksel yöntem, ikincisi ise birim kök sınamalarına dayanan çok teknik yöntemlerdir. 1

Durağandışılığın Sınanması Otokorelasyon Foksiyonu for k = 1, ... İlk önce grafisel yönyemi inceleyelim. Bir Xt serisinin otokorelasyon fonksiyonu, serinin 1’den k’ya kadar giden değerleri için t ve t + k zamanlarındaki değerleri arasındaki teorik ilişkiyi verir. will start with the graphical method. 2

Durağandışılığın Sınanması Otokorelasyon Foksiyonu for k = 1, ... AR(1) süreci için Otokorelasyon Foksiyonu Örneğin, AR(1) süreci için otokorelasyon katsayısı rk , b2k’ye eşittir. 3

Durağandışılığın Sınanması AR(1) süreci için korelogram Durağan sürecin otokorelasyon katsayıları k Artarken hızlıca sıfıra yaklaşma eğilimindedirler. Yukarıdaki şekil, b2 = 0.8 olan bir AR(1) sürecinin korelogramıdır. 4

Durağandışılığın Sınanması AR(1) süreci için korelogram Yüksek dereceden AR(p) süreçleri daha karmaşık yapılı davranış sergileyeceklerdir. Ancak süreç durağan ise, katsayılar er geç sıfıra doğru azalacaklardır. 5

Durağandışılığın Sınanması AR(1) süreci için korelogram Bir hareketli ortalama süreci yalnızca ilk q gecikme için sıfır olmayan ağırlığa sahip iken, bu noktadan sonra 0 ağırlığa sahiptir. 6

Durağandışılığın Sınanması Rastsal yürüyüş için korelogram Durağandışılığın bu durumunda, kuramsal otokorelasyon katsayıları tanımlı değildir, ama yinede örnek otokorelasyon katsayılarının beklenen değeri E(rk) için bir ifade elde edilebilir.Uzun bir zaman serisi için, bu katsayılar yavaşça azalır. 7

Durağandışılığın Sınanması Rastsal yürüyüş için korelogram 200 gözlemli rastsal yürüyüş süreci için korelogram 8

Durağandışılığın Sınanması Rastsal yürüyüş için korelogram Buradan hareketle zaman serisi üzerine çalışanlar, bir zaman serisinbin durağan olup olmadığını örnek korelogramında katsayıların azalışına bakarak karar verebilirler. 9

Durağandışılığın Sınanması Rastsal yürüyüş için korelogram Durağanm dışılığın korelogram kullanarak tanımlanmasında iki mesele vardır. İlki, yüksek değerli b2 sahip bir durağan AR(1) süreci yukarıdaki şekildeki gibi elde edilebilir. 10

Durağandışılığın Sınanması Rastsal yürüyüş için korelogram İkinci mesele ise, eğer seri yeterince uzun değilse, bir durağandışı sürecin kat sayıları oldukça hızlı azalabilir. Yalnızca 50 gözleme sahip rastsal yürüyüş serisine ait rk’nın beklenen değerleri yukarıdaki şekilde gösterilmiştir. 11

Durağandışılığın Sınanması Durağandışılığın araştırılmasında birim kök sınaması olarak daha resmi bir yöntem tanımlanmıştır. Bu yöntem izleyen sunularda açıklanmaya çalışılacaktır. 12

Durağandışılığın Sınanması Burada durağandışılığın araştırılmasında genişletilmiş Dickey-Fuller sınamasının mantığı ve talep modellerine uygulaması gösterilecektir. 13

Durağandışılığın Sınanması Yukarıdaki basit süreç ile işe başlayalım. Bir çok ekonomik seri için b2 ‘nin 1’den büyük olma olasılığını ortadan kaldırabilirsiniz. Keza benzer şekilde -1’den daha küçük olma olasılığını da kaldırabilirsiniz. b2 > 1 ya da b2 < -1 olma durumunda seri patlayandır. 14

Durağandışılığın Sınanması Uygulamalarda, b2 katsayısı ile ilgili olarak iki durumun söz konusu olduğu kabul edilmektedir:Bunlar b2 = 1 ve –1 < b2 < 1. Eğer b2 = 1 ise, t ile birlikte sürecin varyansı artacağından dolayı süreç durağan dışıdır. Eğer b2, 1 ile -1 arasında değer alıyorsa varyans sabit olur ve dolayısıyla seri durağandır. 15

Durağandışılığın Sınanması Sınama bu iki durumu birbirinden ayırmak için tasarlanmıştır. Sıfır hipotezi sürecin durağan dışı olduğunu öne sürer. Sıfır hipotezini tanımlamak üzere b2 katsayısının özel bir değerine ihtiyaç duymaktayız. Bu nedenle H0: b2 = 1 ifadesini kullanıyoruz. Bu karşılık alternatif hipotez ise H1: b2 < 1 şeklinde kurulmaktadır. 16

Durağandışılığın Sınanması Sınamayı uygulamadan önce modelin her iki tarafından Xt–1’i çıkartıp, yeniden yazalım. Sınamayı uygulamak için ilk önce Xt–1 göre DXt regresyonunu tahmin edip, eğim katsayısının sıfırdan farklı olup olmadığını sınayalım. 17

Durağandışılığın Sınanması Daha karmaşık dinamikliği dikkate alacak şekilde sınamayı genelleştirebiliriz. Örneğin Xt‘nin Xt–1 ile birlikte Xt–2’ye bağlı olduğunu kurgulayabiliriz. 18

Durağandışılığın Sınanması Durağandışılık için şart b2 + b3 = 1’e eşit iken durağanlık için ise b2 + b3 < 1’dir. (durağanlık için şart gerekli olup yeterli değildir. Burada diğer şartlar ile ilgilenilmeyecektir.) 19

Durağandışılığın Sınanması Yukarıda gösterildiği gibi, sıfır ve alternatif hipotezleri tekrar yazalım. 20

Durağandışılığın Sınanması Modeli t-sınaması ile sınanabilecek hale getirmek için şimdi bazı düzenlemeler yapalım. İlk önce, her iki taraftan Xt–1’i çıkartalım. 21

Durağandışılığın Sınanması Sonra eşitliğin sağ tarafına b3Xt–1’i ekleyip çıkartalım. 2

Durağandışılığın Sınanması Eşitliğin sağ tarafındaki ikinci ve üçüncü terimleri birleştirelim. 23

Durağandışılığın Sınanması b3 ortak çarpanını parantez dışına çıkartım ifadeyi yeniden düzenleyelim. 24

Durağandışılığın Sınanması Xt–1 ve DXt–1’ e göre DXt regresyonunu tahmin edip, Xt–1’in katsayısı için t sınamasını uygulayalım. Ancak, eğer sıfır hipotezi doğruysa, süreç durağan değildir ve geleneksel t kritik değerleri geçersiz olacaktır. Böylece sıfır hipotezi altında geçerli olan farklı kritik değerleri kullanmamız gerekecektir. 25

Durağandışılığın Sınanması Modele trend değişkeni ilave ederek katsayısına t-sınaması uygulayalım. Bu şekilde model deterministik durağandışılığı sınamak için genişletilmiş olacaktır. 26

Durağandışılığın Sınanması LGHOUS Şekildeki seri evile ilgili harcamaların talep fonksiyonudur. Serinin durağan olmadığı açıkca görülmektedir. Ancak yine de durağanlık testini uygulayacağız. 27

Durağandışılığın Sınanması LGHOUS E-views’de bu sınamanın uygulanacağı değişkenin üzerine gelip tıklıyoruz.Açılan pencerede “Unit Root Test “ seçeneğini tıklayarak sınamanın uygulamasına başlatıyoruz. 28

Durağandışılığın Sınanması Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on LGHOUS ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.691709 0.7378 Test critical values1% level -4.186481 5% level -3.518090 10% level -3.189732 Dependent Variable: D(LGHOUS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1961 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LGHOUS(-1) -0.034904 0.020632 -1.691709 0.0987 D(LGHOUS(-1)) 0.274772 0.149339 1.839923 0.0734 C 0.232945 0.117491 1.982662 0.0545 @TREND(1959) 0.000576 0.000672 0.855999 0.3972 Sunuda LGHOUS değişkeni için “Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test “ çıktısı vardır. Burada DX ile Xt–1, DXt–1 ve trend değişkeleri arasınsa regresyon elde edilmiştir. 29

Durağandışılığın Sınanması Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on LGHOUS ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.691709 0.7378 Test critical values1% level -4.186481 5% level -3.518090 10% level -3.189732 Dependent Variable: D(LGHOUS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1961 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LGHOUS(-1) -0.034904 0.020632 -1.691709 0.0987 D(LGHOUS(-1)) 0.274772 0.149339 1.839923 0.0734 C 0.232945 0.117491 1.982662 0.0545 @TREND(1959) 0.000576 0.000672 0.855999 0.3972 Bu çıktının anahtar öğesi Xt–1’in katsayısıdır, yani bu sunuda LGHOUS(–1) ve buna ait t istatistiğidir. Durağandışılık sıfır hipotezi altında katsayısının 0 olduğu söylenebilir. 30

TESTING FOR NONSTATIONARITY Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on LGHOUS ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.691709 0.7378 Test critical values1% level -4.186481 5% level -3.518090 10% level -3.189732 Dependent Variable: D(LGHOUS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1961 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LGHOUS(-1) -0.034904 0.020632 -1.691709 0.0987 D(LGHOUS(-1)) 0.274772 0.149339 1.839923 0.0734 C 0.232945 0.117491 1.982662 0.0545 @TREND(1959) 0.000576 0.000672 0.855999 0.3972 Çıktının üst kısmında t-istatistiği yeniden üretilmiştir. Bu Augmented Dickey–Fuller sınama istatistiği olarak tanımlanmaktadır. 31

Durağandışılığın Sınanması Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on LGHOUS ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.691709 0.7378 Test critical values1% level -4.186481 5% level -3.518090 10% level -3.189732 Dependent Variable: D(LGHOUS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1961 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LGHOUS(-1) -0.034904 0.020632 -1.691709 0.0987 D(LGHOUS(-1)) 0.274772 0.149339 1.839923 0.0734 C 0.232945 0.117491 1.982662 0.0545 @TREND(1959) 0.000576 0.000672 0.855999 0.3972 EViews paket programı bu kriritik değerleri hesaplamaktadır. Bu durumda, LGHOUS’ın durağandışı bir seri olduğunu iddia eden sıfır hipotezi reddedilemeyecektir. Sınama sonucu serinin durağanlığı hakkında grafik üzerinde vardığımız kanaati doğrulamaktadır. 32

Durağandışılığın Sınanması D(LGHOUS) Burada logaritması alınmış ev ile ilgili harcamalarının birinci fark serisinin grafiği vardır. Bu seri duranğan mı yoksa durağan dışı mıdır? 33

Durağandışılığın Sınanması D(LGHOUS) Logaritmalı bir serinin farkı her bir dönemdeki oransal değişmeyi gösterir. Ortalama büyüme oranının %5’den %2,5’a düştüğü görülmektedir. 34

Durağandışılığın Sınanması Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on DLGHOUS ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -4.518902 0.0042 Test critical values1% level -4.192337 5% level -3.520787 10% level -3.191277 Dependent Variable: D(DLGHOUS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1962 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. DLGHOUS(-1) -0.833121 0.184363 -4.518902 0.0001 D(DLGHOUS(-1)) 0.232715 0.161176 1.443855 0.1570 C 0.043288 0.010121 4.277022 0.0001 @TREND(1959) -0.000668 0.000181 -3.691100 0.0007 Kat sayı sıfırdan farklı olup, yüksek t-istatistiğine sahiptir. %1 önem düzeyinde durağandışılık sıfır hipotezi reddedilebilir. 35

Durağandışılığın Sınanması Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on DLGHOUS ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -4.518902 0.0042 Test critical values1% level -4.192337 5% level -3.520787 10% level -3.191277 Dependent Variable: D(DLGHOUS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1962 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. DLGHOUS(-1) -0.833121 0.184363 -4.518902 0.0001 D(DLGHOUS(-1)) 0.232715 0.161176 1.443855 0.1570 C 0.043288 0.010121 4.277022 0.0001 @TREND(1959) -0.000668 0.000181 -3.691100 0.0007 Böylece, LGHOUS bir kez fark alma ile durağan hale gelmektedir. Seri I(1) olup, kısaca 1.dereceden tümleşmiştir denir. 36

Durağandışılığın Sınanması LGDPI Logaritmalı gelir serisinin durağan olmadığı grafikten açıkca görülmektedir. 37

Durağandışılığın Sınanması Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on LGDPI ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.322310 0.4134 Test critical values1% level -4.186481 5% level -3.518090 10% level -3.189732 Dependent Variable: D(LGDPI) Method: Least Squares ple(adjusted): 1961 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LGDPI(-1) -0.120908 0.052064 -2.322310 0.0255 D(LGDPI(-1)) 0.107910 0.147515 0.731520 0.4688 C 0.947906 0.390441 2.427787 0.0199 @TREND(1959) 0.003580 0.001737 2.061228 0.0460 Katsayı küçük t istatistiğine sahiptir. Bu serinin durağandışı olduğunu göstermektedir. 38

Durağandışılığın Sınanması D(LGDPI) Şimdi ise logaritmalı gelirin birinci fark serisi verilmektedir. Bu seri durağan görülmektedir. 39

Durağandışılığın Sınanması Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on DLGDPI ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -4.125167 0.0119 Test critical values1% level -4.192337 5% level -3.520787 10% level -3.191277 Dependent Variable: D(DLGDPI) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1962 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. DLGDPI(-1) -0.892399 0.216330 -4.125167 0.0002 D(DLGDPI(-1)) -0.045015 0.158840 -0.283400 0.7784 C 0.041368 0.011109 3.723927 0.0006 @TREND(1959) -0.000453 0.000225 -2.007941 0.0518 Katsayı sıfırdan farklıdır. t istatistiği %5önem düzeyinde anlamlıdır. Ancak %1’de ise anlamlı değildir. 40

Durağandışılığın Sınanması Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on DLGDPI ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -4.125167 0.0119 Test critical values1% level -4.192337 5% level -3.520787 10% level -3.191277 Dependent Variable: D(DLGDPI) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1962 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. DLGDPI(-1) -0.892399 0.216330 -4.125167 0.0002 D(DLGDPI(-1)) -0.045015 0.158840 -0.283400 0.7784 C 0.041368 0.011109 3.723927 0.0006 @TREND(1959) -0.000453 0.000225 -2.007941 0.0518 ADF ve benzer sınamalar ile ilgili problemlerden biriside şudur: Bu sınamalar gücüne göre zayıf gönmektedir. Genellikle, doğru olmadığına dair iyi bir neden olmasına rağmen durağandışılık sıfır hipotezini ret edilememektedir. 41

Durağandışılığın Sınanması Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on DLGDPI ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -4.125167 0.0119 Test critical values1% level -4.192337 5% level -3.520787 10% level -3.191277 Dependent Variable: D(DLGDPI) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1962 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. DLGDPI(-1) -0.892399 0.216330 -4.125167 0.0002 D(DLGDPI(-1)) -0.045015 0.158840 -0.283400 0.7784 C 0.041368 0.011109 3.723927 0.0006 @TREND(1959) -0.000453 0.000225 -2.007941 0.0518 Bu durumda, katsayının değerinin büyüklüğü, -0,89, serinin durağan olduğunu kabul etmek için yeterli görünmektedir. 42

Durağandışılığın Sınanması LGPRHOUS Son olarak, logaritmalı fiyat indeksi serisine bakalım. Büyük ölçek kullanmamıza rağmen oldukça düz görünmektedir. O zaman bu seri durağan mı yoksa değil midir? 43

Durağandışılığın Sınanması LGPRHOUS Bunu başlangıçta söylemek çok zordur. Çünkü yüksek dereceli otokorelasyonlu durağan süreç ya da rast yürüş süreci olabilir. 44

Durağandışılığın Sınanması Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on LGPRHOUS ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.420016 0.8408 Test critical values1% level -4.186481 5% level -3.518090 10% level -3.189732 Dependent Variable: D(LGPRHOUS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1961 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LGPRHOUS(-1) -0.048259 0.033985 -1.420016 0.1635 D(LGPRHOUS(-1)) 0.504742 0.140567 3.590749 0.0009 C 0.209124 0.150738 1.387337 0.1732 @TREND(1959) 0.000410 0.000189 2.170909 0.0361 Katsayı sıfıra yakın ve t-istatistiği küçüktür. Durağandışılık sıfır hipotezini ret edemeyiz. 45

Durağandışılığın Sınanması D(LGPRHOUS) Serinin ilk farkları alındığında durağan görünmektedir. 46

Durağandışılığın Sınanması Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on DLPRHOUS ============================================================ Augmented Dickey-Fuller test statistic -4.611691 0.0033 Test critical values1% level -4.192337 5% level -3.520787 10% level -3.191277 Dependent Variable: D(DLPRHOUS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1962 2003 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. DLPRHOUS(-1) -0.720856 0.156311 -4.611691 0.0000 D(DLPRHOUS(-1)) 0.349962 0.153860 2.274546 0.0287 C -0.007368 0.004294 -1.716005 0.0943 @TREND(1959) 0.000407 0.000174 2.335997 0.0249 Burumda, %1 önem düzeyinde durağandışılık sıfır hipotezini ret edebiliriz. 47

EŞTÜMLEŞME X veY aralarında Y =f(X) şeklinde doğrusal ilişki olan durağandışı seriler olsun. Bu ilişki doğru ise Y ve X’in doğrusal fonksiyonu arasındaki sapma sınırlı olmalıdır. 1

EŞTÜMLEŞME Daha teknik olarak açıklarsak, Y ve X’in doğrusal fonksiyonu arasındaki farklılığı ifade eden hata terimi durağan bir seri olmalıdır. Eğer bu durum söz konusu ise, Y ve X’in eştümleşmiş oldukları söylenebilir. 2

COINTEGRATION Sonuçta, Y ve X ‘in her ikisi I(1) olurken, modelin doğru tanımlanmış olması koşuluyla u’nun I(0) olmasını beklemekteyiz. İlişkideki bütün değişkenlerin eştümleşmesi için gereken, hepsinin aynı dereceden tümleşmiş olma zorunluluğudur. 3

EŞTÜMLEŞME Eştümleşme sınamasını uygulamak için EKKY’yı kullanarak ilişki tahmin edilir ve buradan artıklar elde edilir. Eğer hata terimi durağan ise iki değişken arasında eş tümleşmenin varlığına karar verilir. Hata teriminin durağanlığı ise birim kök sınaması ile araştırılır. 4

EŞTÜMLEŞME ============================================================ Dependent Variable: LGFOOD Method: Least Squares Sample: 1959 2003 Included observations: 45 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.236158 0.388193 5.760428 0.0000 LGDPI 0.500184 0.008793 56.88557 0.0000 LGPRFOOD -0.074681 0.072864 -1.024941 0.3113 R-squared 0.992009 Mean dependent var 6.021331 Adjusted R-squared 0.991628 S.D. dependent var 0.222787 S.E. of regression 0.020384 Akaike info criter-4.883747 Sum squared resid 0.017452 Schwarz criterion -4.763303 Log likelihood 112.8843 F-statistic 2606.860 Durbin-Watson stat 0.478540 Prob(F-statistic) 0.000000 Gıda harcamaları modeli eştümleşmiştir.Birim kök sınamaları sonucunda LGFOOD, LGDPI, ve LGPRFOOD değişkenlerinin hepsinin I(1) olduğu görülmektedir. Yukarıdaki EKK çıktısı sınama için uygundur. 5

EŞTÜMLEŞME Residuals Gıda harcamaları modelinin artıklarını grafiği verilmiştir. Bunlar durağan görünmektedir. Gerçekten durağan iseler bu değişkenler arasında eştümleşme ilişkisi bulunmaktadır. 6

EŞTÜMLEŞME Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on ZFOOD ============================================================ t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.608869 0.0103 Test critical values1% level -2.619851 5% level -1.948686 10% level -1.612036 Dependent Variable: D(ZFOOD) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ZFOOD(-1) -0.293440 0.112478 -2.608869 0.0126 D(ZFOOD(-1)) 0.312003 0.158279 1.971221 0.0555 Artıklar ZFOOD adıyla depolanmıştır. Bunların durağandışılığı sınanırken kurulan modelde sabit terim ile trend değişkenine ihtiyaç yoktur. 7

EŞTÜMLEŞME Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on ZFOOD ============================================================ t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.608869 0.0103 Test critical values1% level -2.619851 5% level -1.948686 10% level -1.612036 Dependent Variable: D(ZFOOD) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ZFOOD(-1) -0.293440 0.112478 -2.608869 0.0126 D(ZFOOD(-1)) 0.312003 0.158279 1.971221 0.0555 En küçük kareler kat sayıları artık kareler toplamının en küçüklenmesi sonucu seçildiği gerçeği karşısında, artık zaman serisi karışıklık terimi serisinden çok daha durağan görünecektir. 8

Asymptotic Critical Values of the EŞTÜMLEŞME Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on ZFOOD ============================================================ t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.608869 0.0103 Test critical values1% level -2.619851 5% level -1.948686 10% level -1.612036 Dependent Variable: D(ZFOOD) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ZFOOD(-1) -0.293440 0.112478 -2.608869 0.0126 D(ZFOOD(-1)) 0.312003 0.158279 1.971221 0.0555 Asymptotic Critical Values of the Dickey-Fuller Statistic for a Cointegrating Relationship with Two Variables Regression equation contains: 5% 1% Constant, but no trend –3.34 –3.90 Constant and trend –3.78 –4.32 Bu durumu dikkate aldığımızda, sınama istatistiğinin kritik değerleri, durağandışı zaman serisinin standart sınamasından bile daha yüksektir. İki değişkenli eştümleşme durumundaki asimptotik kritik değerleri tablo olarak gösterilmiştir. 9

Asymptotic Critical Values of the COINTEGRATION Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on ZFOOD ============================================================ t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.608869 0.0103 Test critical values1% level -2.619851 5% level -1.948686 10% level -1.612036 Dependent Variable: D(ZFOOD) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ZFOOD(-1) -0.293440 0.112478 -2.608869 0.0126 D(ZFOOD(-1)) 0.312003 0.158279 1.971221 0.0555 Asymptotic Critical Values of the Dickey-Fuller Statistic for a Cointegrating Relationship with Two Variables Regression equation contains: 5% 1% Constant, but no trend –3.34 –3.90 Constant and trend –3.78 –4.32 Ana modelin ( LGFOOD ile LGDPI ve LGPRFOOD değişkenleri arasındaki regresyon) bir sabit terimi var iken trend değişkeni yoktur. 10

Asymptotic Critical Values of the EŞTÜMLEŞME Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on ZFOOD ============================================================ t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.608869 0.0103 Test critical values1% level -2.619851 5% level -1.948686 10% level -1.612036 Dependent Variable: D(ZFOOD) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ZFOOD(-1) -0.293440 0.112478 -2.608869 0.0126 D(ZFOOD(-1)) 0.312003 0.158279 1.971221 0.0555 Asymptotic Critical Values of the Dickey-Fuller Statistic for a Cointegrating Relationship with Two Variables Regression equation contains: 5% 1% Constant, but no trend –3.34 –3.90 Constant and trend –3.78 –4.32 Sıfır hipotezini ret edememekteyiz. Gecikmeli değişken katsayısı –0.29 sıfıra yakın olmamasına rağmen t istatistiği %5 önem düzeyinde durağan dışılığı reddetme imkanı verecek kadar büyük değildir. 11

EŞTÜMLEŞME Residuals Ancak bu durum testin gücünün düşük olmasından kaynaklanabilir. Çünkü artıkların grafiğine bakınca çok da durağan dışı görünmüyor. 12

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Trendden Arındırma Eskiden, çalışıldığı döneme uygunluğu oldukça iyi olan makro ekonomik modeller zayıf öngörü üretme eğilimindeydiler. Bunun sonucu olarak sahte ilişkilerden kaçınmak üzere yeni model kurma arayışları başladı. 1

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Trendden Arındırma Bu arayışların sonucu olarak ortaya çıkan yöntemlerden üç tanesini inceleyelim. Bunlar Birbirleriyle ilişkili değişkenlerin trenden arındırılması, Bu değişkenlerin farkının alınması ve hata düzeltme modelleri kurulmasıdır. 2

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Trendden Arındırma Değişkenlerde deterministik trend varsa trendden arındırma işlemi ile sahte ilişkiden kaçınılabilir. Bunun için her bir değişken için zamana göre regresyon uygulayarak ya da modelde trend değişkeni kullanarak trende arındırma işlemi gerçekleştirilir. 3

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Trendden Arındırma Ancak Xt rastsal yürüyüş gösteriyor ise problem vardır. Eğer değişkenler trend-durağan değilde fark durağan iseler, bu durumda trenden arındırma uygun bir yöntem olmayacaktır. Eğer uygulanmakta ısrar edilirse, bu durumda büyük olasılıkla yanlış sonuçlar elde edilecektir. Zaten ekonomik zaman serilerinin çoğu fark durağan seri özelliği göstermektedir. 4

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Trendden Arındırma Ancak Xt rastsal yürüyüş gösteriyor ise problem vardır. Özellikle, rastsal yürüyüş gösteren Xt yukarıdaki denklemdeki gibi zamana göre regresyonu uygulanırsa, verilen bir anlamlılık düzeyinde sıfır hipotezi H0: a2 = 0 reddedilmesi gerekirken reddedilemeyecektir. 5

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Trendden Arındırma Ancak Xt rastsal yürüyüş gösteriyor ise problem vardır. Gerçi a2 EKK tahmincisi tutarlı olup, büyük örneklerde 0 yaklaşma eğilimindedir ve standart hatası aşağı doğru sapmalıdır. Sonuç olarak, mevcut olmadığında bile sonlu örneklerde deterministik trend saptanacaktır. 6

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Trendden Arındırma Ancak Xt rastsal yürüyüş gösteriyor ise problem vardır. Bununda ötesi, Eğer seri fark durağan ise trenden arındırma işlemi ile durağan yapılamaz. Rastsal yürüyüş durumunda serinin ortalamasında var olmayan trendin çıkartılması onun varyansındaki trendi değiştiremeyecektir ve sonuçta seri durağan dışı kalacaktır. 7

FITTING MODELS WITH NONSTATIONARY TIME SERIES Trendden Arındırma Ancak Xt rastsal yürüyüş gösteriyor ise problem vardır. Kayan rastsal yürüyüş durumunda, trenden arındırma kaymayı engelleyecek ancak varyanstaki trend kalacaktır. 8

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Trendden Arındırma Ancak Xt rastsal yürüyüş gösteriyor ise problem vardır. Böylece, Eğer Xt ,kayan ya da değil, rastsal yürüyüş gösteriyorsa, sahte regresyon meselesi trenden arındırma ile çözülemeyecektir. Bu nedenle bu durumlarda uygun yöntem olmayacaktır. 9

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Fark Alma Eskiden yapılan zaman serileri çalışmalarında, Bir modeldeki hata teriminin kuvvetli pozitif otokorelasyon AR(1) gösterdiğinde, yaygın olarak kullanılan çözüm değikenlerin farklarına regresyon uygulaması yapmaktır. 10

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Fark Alma Fark alma işlemi ile otokorelasyonun üstesinden gelinmekteydi. Ancak r 1’e yakın ise civarında ise, ortaya çıkan zayıf negatif otokorelasyonun nispeten zararsız olduğu düşünülmekteydi. 11

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Fark Alma O zamanlardaki araştırıcılar yöntemin sahte regresyonun etkili çözümü olduğunu bilmiyorlardı. Eğer hem Yt hem de Xt değişkenleri, I(1) süreçlerinde ilişkisiz ise, farkı alınmış olarak modelde yer aldıklarında aralarında her hangi bir ilişki yok ise bu ortaya çıkacaktır. 12

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Fark Alma Problem Sadece kısa dönem dinamikleri Fark alma işlemindeki temel noksanlık uzun dönem ilişkisinin araştırılmasını engellemesidir. 13

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Fark Alma Problem Sadece kısa dönem dinamikleri Denge: DY = DX = 0 dengesindeki bu değerler ikinci denklemde yerine konursa denge ilişkisi elde edilmeyecektir. 14

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Hata düzeltme modeli kısa dönem dinamikleri ile uzun dönem eştümleşme ilişkisini birleştirerek bu problemi aşmanın bir yoludur. 15

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) İki I(1) , Yt ve Xt arasındaki ilişki ADL(1,1) modeli ile ifade edildiğini varsayalım. 16

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Yukarıda gösterilen denge ilişki elimizdedir. Bu bir eştümleşme ilişkisidir. 17

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) ADL(1,1) ilişkisinin bu ilişkiyi kapsaması için yeniden düzenleme yapalım. İlk önce eşitliğin her iki tarafından Yt–1’i çıkartalım. 18

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Sonra eşitliğin sağ tarafına b3Xt–1’i ekleyip çıkartalım. 19

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Eşitliği yukarıdaki gibi tekrar düzenleyelim. Terim terim bu düzenlemeyi inceleyelim. İlk önce sabit b1’den başlayalım. 20

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Sonra, Yt–1’i içeren terime. 21

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Şimdi, sonraki iki terime. 22

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Son olarak, son iki terime. 23

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Sonuçta elde ettiğimiz model şunu ifade etmektedir: Her hangi bir dönemde Y’deki değişme X’deki değişme ve Yt–1 ile eştümleşme ilişkisinden elde edilen öngörü değeri arasındaki fark tarafından idare edilmektedir. 24

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Büyük parantez içersindeki ifade hata düzeltme mekanizmasını gösterir. Bu terimin etkisi Yt ve onun eştümleşme düzeyi farka indirgenmektedir. Düzeltmenin büyüklüğü farkla orantılıdır. 25

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Bu şekilde ADL(1,1) modelinin yeniden düzenlenmesindeki amaç standart EKK uygulaması ile modeli tahmin etmektir. Dikat edilirse Yt ve Xt ‘nin her ikisi I(1) olmasına rağmen, regresyon denklemindeki terimlerin hepsi I(0) olmaktadır. 26

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Burada b parametreleri bilinmemekte ve eştümleşme terimi gözlenememektedir. 27

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Bu problemi aşmanın bir yolu, Engle–Granger iki aşamalı yöntemi olarak bilinen, eştümleşme regresyonundan tahmin edilen parametre değerlerini kullanarak eştümleşme terimini hesaplamaktır. 28

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma Hata Düzeltme Modelleri ADL(1,1) Tahmin denklemindeki katsayıların tahmincileri, şayet gerçek değerler kullanılmışsa ayni asimptotik özelliklere sahip oldukları gösterilmiştir. 29

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma ============================================================ Dependent Variable: DLGFOOD Method: Least Squares Sample(adjusted): 1960 2003 Included observations: 44 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. ZFOOD(-1) -0.148063 0.105268 -1.406533 0.1671 DLGDPI 0.493715 0.050948 9.690642 0.0000 DLPRFOOD -0.353901 0.115387 -3.067086 0.0038 R-squared 0.343031 Mean dependent var 0.018243 Adjusted R-squared 0.310984 S.D. dependent var 0.015405 S.E. of regression 0.012787 Akaike info criter-5.815054 Sum squared resid 0.006704 Schwarz criterion -5.693405 Log likelihood 130.9312 Durbin-Watson stat 1.526946 Yukarıda iki aşamalı Engle–Granger yöntemi kullanılarak gıda talep fonksiyonu için hata düzeltme modeli sonucunun E-views çıktısı yer almaktadır. Ancak bu çıktıda statik logaritikmik model eştümleşme ilişkisi olarak varsayılmıştır. 30

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma ============================================================ Dependent Variable: DLGFOOD Method: Least Squares Sample(adjusted): 1960 2003 Included observations: 44 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. ZFOOD(-1) -0.148063 0.105268 -1.406533 0.1671 DLGDPI 0.493715 0.050948 9.690642 0.0000 DLPRFOOD -0.353901 0.115387 -3.067086 0.0038 R-squared 0.343031 Mean dependent var 0.018243 Adjusted R-squared 0.310984 S.D. dependent var 0.015405 S.E. of regression 0.012787 Akaike info criter-5.815054 Sum squared resid 0.006704 Schwarz criterion -5.693405 Log likelihood 130.9312 Durbin-Watson stat 1.526946 Çıktıda, DLGFOOD, DLGDPI, ve DLPRFOOD kısaltmaları logaritmalı gıda, logaritmalı kullanılabilir kişisel gelir ve logaritmalı gıda fiyat endeksi değişkenlerinin birinci farkını göstermektedir. 31

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma ============================================================ Dependent Variable: DLGFOOD Method: Least Squares Sample(adjusted): 1960 2003 Included observations: 44 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. ZFOOD(-1) -0.148063 0.105268 -1.406533 0.1671 DLGDPI 0.493715 0.050948 9.690642 0.0000 DLPRFOOD -0.353901 0.115387 -3.067086 0.0038 R-squared 0.343031 Mean dependent var 0.018243 Adjusted R-squared 0.310984 S.D. dependent var 0.015405 S.E. of regression 0.012787 Akaike info criter-5.815054 Sum squared resid 0.006704 Schwarz criterion -5.693405 Log likelihood 130.9312 Durbin-Watson stat 1.526946 ZFOOD(–1),eştümleşme regresyonundan elde edilen gecikmeli artıklar, eştümleşme terimidir. 32

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma ============================================================ Dependent Variable: DLGFOOD Method: Least Squares Sample(adjusted): 1960 2003 Included observations: 44 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. ZFOOD(-1) -0.148063 0.105268 -1.406533 0.1671 DLGDPI 0.493715 0.050948 9.690642 0.0000 DLPRFOOD -0.353901 0.115387 -3.067086 0.0038 R-squared 0.343031 Mean dependent var 0.018243 Adjusted R-squared 0.310984 S.D. dependent var 0.015405 S.E. of regression 0.012787 Akaike info criter-5.815054 Sum squared resid 0.006704 Schwarz criterion -5.693405 Log likelihood 130.9312 Durbin-Watson stat 1.526946 DLGDPI ve DLPRFOOD katsayıları kısa dönem gelir ve fiyat elastikiyeleridir. Beklendiği üzere her ikisi de oldukça düşüktür. 33

Durağan Olmayan Zaman Serileri ile Model Kurma ============================================================ Dependent Variable: DLGFOOD Method: Least Squares Sample(adjusted): 1960 2003 Included observations: 44 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. ZFOOD(-1) -0.148063 0.105268 -1.406533 0.1671 DLGDPI 0.493715 0.050948 9.690642 0.0000 DLPRFOOD -0.353901 0.115387 -3.067086 0.0038 R-squared 0.343031 Mean dependent var 0.018243 Adjusted R-squared 0.310984 S.D. dependent var 0.015405 S.E. of regression 0.012787 Akaike info criter-5.815054 Sum squared resid 0.006704 Schwarz criterion -5.693405 Log likelihood 130.9312 Durbin-Watson stat 1.526946 Eştümleşme terimi katsayısıbir yıl içersinde telafi edilecek dengesizlik hatasının (ya da dengeden uzaklaşmanın) %15 civarında olduğunu gösterir. 34

Copyright Christopher Dougherty 2002–2006 Copyright Christopher Dougherty 2002–2006. This slideshow may be freely copied for personal use. 22.08.06