Yrd. Doç. Dr. Mustafa AKKOL HOŞGELDİNİZ ! Yrd. Doç. Dr. Mustafa AKKOL www.baskent.edu.tr/~akkol alkol@baskent.edu.tr 0532 246 45 85 DERSLER ÖDEVLER SINAVLAR DERS PROGRAMI DUYURULAR YOKLAMALAR

DERS 1 DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ VE MATRİSLER Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol ax+by=h şeklindeki denklemlere doğrusal denklem, şeklindeki denklem gruplarına iki bilinmeyenli iki denklemli bir doğrusal denklem sistemi denir. ax+by=h cx+dy=k Daha çok bilinmeyenli daha çok denklemli doğrusal denklem sistemleri de tabiî ki vardır. a,b,c,d reel sayılarına bu denklem sisteminin katsayıları, x, y sembollerine değişkinler, h ve k sayılarına da sağ taraf sabitleri denir. ax+by=h cx+dy=k denklem sisteminin bir çözümü diye her iki denklemi de sağlayan ( xo,yo) ikilisine denir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri: Örnek: 2x+y=8 x+3y=9 denklem sisteminin bir çözümü her iki denklemi de sağlayan ( 3,2) ikilisidir. 2.3+2=8 3+3.2=9 Gerçekten olur. Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri: 1. Yerine Koyma Yöntemi: Bu yöntemde değişkenlerden biri denklemlerden birinden diğer değişken cinsinden çekilerek öteki denklemde yerine yazılır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: 3x-y=3 x+2y=8 denklem sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: 3x-y=3 x+2y=8 y=3x-3 x+2(3x-3)=8 x+6x-6=8 7x=14 x=2 y=3x-3 y=3.2-3=3 Çözüm Kümesi: Ç={(2,3)} Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: 2x+y=8 x+3y=9 denklem sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: 2x+y=8 x+3y=9 y=8-2x x+3(8-2x)=9 x+24-6x=9 -5x=-15 x=3 y=8-2x y=8-3.2=2 Çözüm Kümesi: Ç={(3,2)} Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol denklem sisteminde her denklen bir doğru denklemidir. Sistemin çözümü olarak bulunan (3,2) ikilisi bu doğruların kesim noktasıdır. 2x+y=8 x+3y=9 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: 5x+y=4 2x-3y=5 denklem sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: 5x+y=4 2x-3y=5 y=4-5x 2x-3(4-5x)=5 2x-12+15x=5 17x=17 y=4-5.1=-1 x=1 y=4-5x Çözüm Kümesi: Ç={(1,-1)} Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Denklem sisteminin çözümü olan ikilinin verilen doğruların kesim noktası olduğunu gösterelim. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: x+2y = -2 2x+4y = 8 denklem sistem sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: x+2y = -2 2x+4y = 8 x = -2-2y 2(-2-2y)+4y = 8 -4-4y+4y = 8 -4 = 8 Çözüm Kümesi: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Denklem sisteminde verilen doğruları çizelim. Doğrular paraleldir. Dolaysıyla kesişmezler. Çözüm kümesi boş kümedir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: x+2y = 4 2x+4y = 8 denklem sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: x+2y = 4 2x+4y = 8 x = 4-2y 2(4-2y)+4y = 8 8-4y+4y = 8 8 = 8 Çözüm Kümesi: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Denklem sisteminde verilen doğruları çizelim. Doğrular çakışık olduğundan tüm noktaları ortaktır. Çözüm kümesi reel sayılar kümesidir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 2. Yoketme Yöntemi: Tanım: Çözüm kümeleri eşit olan denklem sistemlerine denk denklem sistemleri denir. Örnek: x-2y = -1 3x-y = 7 2x+y = 8 x+3y = 9 Sistemlerinin çözüm kümeleri Ç1 = Ç2 ={(3,2)} olduğundan bu denklem sistemleri denktirler. Yoketme yönteminin amacı verilen denklemi aynı çözüme sahip, ancak çözümü daha kolay olan bir denkleme dönüştürmektir. Bunun için aşağıdaki işlemler yapılır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 1. Denklemlerin sırasını değiştirmek 2. Denklemlerden birini sıfırdan farklı bir k sayısı ile çarpmak. 3. Denklemlerden birinin belli bir katını diğer denklemlerden birine eklemek. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Doğrusal denklem sistemlerinde, denklem sayısı bilinmeyen sayısından fazla ise bilinmeyen sayısı kadar denklem seçilerek çözülür. Bulunan çözüm diğer denklemleri de sağlıyorsa bulunan çözüm verilen denklem sisteminin çözümüdür. Bu durum denklem sistemindeki doğruların ortak bir noktada kesiştiklerini gösteriniz. Aksi halde denklem sisteminin çözümü yoktur. Bu durum denklem sistemindeki doğruların ortak bir noktada kesişmediklerini gösteriniz Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: doğrusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: İlk iki denklemi alalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: doğrusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: İlk iki denklemi alalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol MATRİSLER: Tanım: Şeklinde m tane satır, n tane sütundan oluşan tabloya mxn tipinde bir matris denir. Burada m matrisin satır sayısını, n sütun sayısını gösterir. i=1,2,3,…,m ve j= 1,2,3,…,n olmak üzere aij i inci satır j inci sütun elemanını gösterir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol A matrisinde; a11=3, a13 =5, a31=-3, a24=3 tür. A matrisinde; 1 inci satır 3 -2 5 5, 2 inci satır 1 4 9 3 3 üncü satır -3 2 6 -4 , 1 inci sütun 3 1 -3, 2 inci sütun -2 4 2 4 üncü sütun 5 3 -4 tür. B matrisinde; a11=?, a13 =?, a31=?, a21=? tür. B matrisinde; 1 inci satır ? ? ?, 2 inci satır ? ? ? 3 üncü satır ? ? ?, 1 inci sütun ? ? ?, 2 inci sütun ? ? ? 3 üncü sütun ? ? ? Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol ax+by=h cx+dy=k Denklem sisteminden yazılabilen; matrisine denklem sisteminin katsayılar matrisi, matrisine değişkenler matrisi, matrisine sağ taraf sabitleri matrisi, matrisine İlaveli matris veya artırılmış matris denir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bir denklem sistemi ilaveli matrisi ile tamamen belli olur. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Matrisler Üzerinde Satır İşlemleri 1. İki satırın yerlerini değiştirmek i inci satırla j inci satırın yerlerini değiştirmek satırın yerlerini değiştirmek 2. Bir satırı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. i inci satırı k sabiti ile çarpmak. 3. Bir satırın k katını bir başka satıra eklemek. i inci satırın k katını j inci satıra eklemek. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol İndirgenmiş Matris: Aşağıdaki dört koşulu sağlayan matrislere indirgenmiş matris denir. 1. Her satırın sıfırdan farklı ilk girdisi 1’ dir. 2. İlk 1’ in bulunduğu sütundaki diğer girdiler sıfırdır. 3. Bir satırdaki ilk 1, bir önceki satırdaki 1’in sağındadır. 4. Tüm girdileri sıfır olan satırlar en sondadır. Örnek: İndirgenmiş. İndirgenmiş değil. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Teorem: Her matris sonlu sayıda satır işlemleri yapılarak tek türlü bir indirgenmiş matrise dönüştürülebilir. Bir A matrisine satır işlemleri uygulanarak bir B matrisi elde edilmiş ise A ile B matrislerine denk matrisler denir ve A~B yazılır. Artırılmış matrisleri denk olan denklem sistemleri de denktir. Bu nedenle satır işlemleri denklem sistemlerinin çözümünde çok elverişli bir yöntemdir. Bu yöntemde verilen denklem sisteminin artırılmış matrisine satır işlemleri uygulanarak artırılmış matris indirgenmiş hale getirilir.Bu yönteme Causs Jordan Yoketme Yöntemi denir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: Denklem sistemini Causs Jordan Yoketme Yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Matrisinin İndirgenmişi şeklindedir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Problem: Ali ile Ayşe’nin yaşları toplamı 28 dir. 5 yıl sonra Ali’nin yaşının iki katı Ayşe’nin bugünkü yaşının iki katından 2 fazla olacaktır. Ali ile Ayşe’nin bugünkü yaşlarını bulunuz. Çözüm: Bugün Ali x yaşında Ayşe y yaşına olsun. Satır işlemleri Bugün Ali 12, Ayşe16 yaşındadır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bir taşıma şirketi 170 tonluk yeni bir filoya sahip olmak için 8 ve 18 tonluk TIR’ lardan 15 adet satın almak istiyor. 8 ve 18 tonluk TIR’ lardan kaçar tane satın almalıdır? Problem: 8 tonluk TIR’ lardan X adet, 18 tonluk TIR’lardan y adet satın alacak olsun. Çözüm: Satır işlemleri Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Bir miktar pirinç A,B,C gibi üç ayrı boy torbaya konarak paketleniyor. 3 tane A tipi, 2 tane B tipi, 1 tane C tipi torba tartılınca 40 kg geliyor. 2 tane A tipi, 3 tane B tipi, 1 tane C tipi torba tartılınca 30 kg geliyor. 1 tane A tipi, 2 tane B tipi, 3 tane C tipi torba tartılınca 28 kg geliyor. Her torbada kaçar kg pirinç vardır? Problem: A tipi torbada x, B tipi torbada y, C tipi torba z kg pirinç olsun. Çözüm: ilaveli matrisimiz Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Doğrusal denklem sistemlerinde, bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazla ise bu denklem sisteminin sonsuz çözümü olabilir. Bu tür denklem sistemlerinin çözümünde sistemin artırılmış matrisi indirgenmiş şekle getirilir. Birim matrise karşılık gelen değişkenler temel değişken olarak isimlendirilir. İndirgenmiş matristen temel değişkenler diğer temel olmayan değişkenler cinsinden bulunmuş olur. Temel olmayan değişkenler yerine sıfır yazıldığında bulunan çözüme temel çözüm denir. Temel olmayan değişkenlere verilecek değerlere bağlı olarak diğer çözümler bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol Örnek: temel değişenler temel olmayan değişkendir. İçin temel çözümdür. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol için temel olmayan çözümlerden biri olur. için temel olmayan diğer bir çözüm olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol ÖDEVLER Aşağıdaki denklem sistemlerini Causs Jordan Yoketme Yöntemi ile çözünüz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol