DOĞRUSAL EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

ax+by = h bir doğrusal eşitliktir ax+by = h bir doğrusal eşitliktir. Bu eşitliğin (fonksiyonun) grafiği düzlemde bir doğrudur. Örnekler: y x x+y = 2 (2,0) (0,2) d = (x,y):x+y =2, x,y є R (01) (-1/2,0) -2x+y = 1 d = (x,y):-2x+y =1, x,y є R

ax+by < h, ax+by > h, ax+by ≤ h, ax+by ≥ h birer doğrusal eşitsizliktirler. Doğrusal eşitsizliklerin grafikleri (eşitsizliği sağlayan noktalar kümesi, yani çözüm kümesi ) birer yarı düzlemsel bölgedir. Aksiyom: Bir doğru, düzlemi iki yarı düzleme ayırır. Teorem. a , b, h  R olsun. 1. Eğer a  0, b  0 ise, ax + by < h ve ax + by > h eşitsizliklerinden birinin grafiği ax + by = h doğrusunun üst yarıdüzlemi, diğerinin grafiği de aynı doğrunun alt yarıdüzlemidir. 2. Eğer a  0, b = 0 ise, ax < h ve ax > h eşitsizliklerinden birinin grafiği x = h/a doğrusunun sağ yarıdüzlemi, diğerinin grafiği de aynı doğrunun sol yarıdüzlemidir.

ax+by < h, ax+by > h, ax+by ≤ h, ax+by ≥ h doğrusal eşitsizliklerinin grafiğini çizmek için; 1. ax + by = h doğrusu, < ve > durumlarında kesikli,  ve  durumlarında kesiksiz çizilir. 2. Düzlemde, çizilen doğru üzerinde olmayan her hangi bir nokta alınır. ( örneğin, eğer doğru üzerinde değilse, (0,0) noktası alınabilir.) Bu noktanın koordinatları eşitsizlikte yerine konulur. (SINAMA NOKTASI) 3. Sınama noktası eşitsizliği sağlıyorsa, eşitsizliğin grafiği (çözüm kümesi) noktanın bulunduğu yarıdüzlem, aksi halde, diğer yarıdüzlemdir.

2x+y<6, 2x+y>6, 2x+y≤6, 2x+y≥6 grafiklerini çizelim. Örnek: 2x+y<6, 2x+y>6, 2x+y≤6, 2x+y≥6 grafiklerini çizelim. 2x+y<6 için 2x+y=6 x y 2x+y≤6 ve 2x+y≥6 için 2x+y≤6 2x+y≥6 3 6 x y (0,0) Sınama noktası 3 6 2x+y >6 2x+y <6 (0,0) noktası 2x+y<6 eşitsizliğinde yerine konulursa 2.0+0<6 olur. O halde 2x+y<6 eşitsizliğinin grafiği (0,0) noktasının bulunduğu yarı düzlemdir.

x>3, x<3, x≥3, x≤3 grafiklerini çizelim. Örnek: x>3, x<3, x≥3, x≤3 grafiklerini çizelim. x=3 3 x y x=3 x≤3 x≥3 3 x y (0,0) Sınama noktası x>3 x<3

x>0, x<0, x≥0, x≤0 grafiklerini çizelim. Örnek: x>0, x<0, x≥0, x≤0 grafiklerini çizelim. x y x≤0 x≥0 y x X=0 1 x=0 x<0 x>0 1>0 1 Sınama noktası

y>0, y<0, y≥0, y≤0 grafiklerini çizelim. Örnek: y>0, y<0, y≥0, y≤0 grafiklerini çizelim. x y x y y≥0 y≤0 Sınama noktası y>0 1 1>0 y=0 y<0

Örnek: x+y<1 ve x+y>1 grafiklerini çizelim. Sınama noktası (0,0) 0+0=0 <1 x+y <1

Doğrusal Eşitsizlik Sistemlerinin çözümü a11x1+a12x2+. . . a1nxn ≤ b1 a21x1+a22x2+. . . a2nxn ≤ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1+am2x2+. . . amnxn ≤ bm Şeklinde n tane bilinmeyeni m tane eşitsizliği olan sistemlere bir eşitsizlik sistemi denir. Bir eşitsizlik sisteminin çözümü diye her bir eşitsizliği sağlayan (x1,x2,…,xn) n-lileri kümesine denir. İki bilinmeyenli bir eşitsizlik sisteminin çözümü bir düzlemsel bölgedir.

Örnek: x>0 y<0 x<0 y>0 y>0 x>0 x>0 y<0 x<0

x > 0 y < 0 x < 0 x > 0 y > 0 y > 0 x < 0

Sistemini çözelim. Örnek: Sistemini çözelim. Sistemini çözelim. x- y > 1 x+y < 2 Sistemini çözelim. Örnek: x- y < 1 x+y > 2 Sistemini çözelim. x- y > 1 x+y > 2 Sistemini çözelim. x- y < 1 x+y < 2 Sistemini çözelim. x+y > 2 x- y < 1 x+y = 2 x- y = 1 x y 0+0>2 0-0<1 x+y < 2 x- y < 1 x+y > 2 x- y > 1 (0,0) Sınama noktası x+y < 2 x- y > 1

x- y ≤ 1 x+y = 2 x- y = 1 x+y > 2 Sınama noktası x+y < 2 (0,0) Sınama noktası

Örnek: x+y = 2 x- y = 1 x- y > 1 x+y > 2 x- y > 1 y > 0 (0,0) Sınama noktası

Sisteminin çözümü Örnek: x- y < 1 x+y < 2 x > 0 x+y = 2 (0,0) Sınama noktası

Örnek: x- y < 1 x+y < 2 x+y = 2 x- y = 1 y > 0 x- y < 1 (0,0) Sınama noktası

Örnek: x+y = 2 x- y = 1 x- y > 1 x+y < 2 x > 0 Sınama noktası (0,0) Sınama noktası

Örnek: x+y = 2 x- y = 1 x- y > 1 x+y < 2 y > 0 Sınama noktası (0,0) Sınama noktası

Örnek: Sınama noktası x+ y = 6 y 2x – y = 0 (0,6) (2,4) (0,1) (0,0) x ÇÖZÜM BÖLGESİ Sınama noktası (0,1) (0,0) (6,0) x+ y = 6

Örnek: y x (5,8) (0,22) (9,4) 2x + 5y=50 (0,13) (0,10) Sınama noktası ÇÖZÜM BÖLGESİ (0,0) (13,0) (11,0) (25,0) x + y=13 2x+ y=22

ÖDEVLER Aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.