MEKANİK SİSTEMLERİNİN TEMEL ELEMANLARI Titreşim yapan sistemlerde potansiyel ve kinetik enerji depolayan elemanlar ile sönümlü sistemlerde enerji sönümünü sağlayan elemanlar mevcuttur. Bu elemanlara ait denklemler aşağıda verilmiştir. a) Elastik Elemanlar (Yaylar): Yaylar titreşim sistemlerindeki kütleleri birbirine bağlayan ve kütlelerin bağıl hareketlerini sağlayan elemanlardır. Yaylar lineer ve nonlineer karakteristiğe sahip olabilirler. Lineer karakteristiğe sahip yaylar Hooke yasasına uygun davranırlar ve yayda oluşan elastik kuvvet yaydaki şekil değişimi ile orantılıdır. Fakat titreşim genliklerinin yüksek olduğu zaman ve/veya metal olmayan malzemeler kullanıldığında yaylar lineer davranışa sahip olmayabilirler. Şekil 10’da bazı yay karakteristikleri gösterilmiştir.

b) Atalet Elemanları : Atalet elemanları kinetik enerji depolayan elemanlardır. Atalet elemanları öteleme ve dönme hareketlerini ayrı ayrı yapabilecekleri gibi, hem öteleme hem de dönme hareketini birlikte gerçekleştirilebilirler. Atalet elemanlarına ait eleman denklemi aşağıda verilmiştir. ω T m, I

c) Sönüm elemanları : Sönümlü sistemlerde enerji yutumunu sağlayan elemanlardır. Amortisör tipi elemanlar akışkan sürtünmesi ile enerji kaybını sağlarlar ve titreşim genliklerinin exponansiyel olarak azaltırlar. Sönüm elemanlarında mekanik enerji ısı enerjisine dönüşür. Eleman denklemi aşağıda verilmiştir.

Titreşim yapan mekanik sistemlerde homojen ince çubuk tipi elemanlar sıkça kullanılmaktadır. Bu elemanlar belirli bir noktasından geçen eksen etrafında dönüş hareketi yapabilecekleri gibi, bir düzlem içerisinde hem öteleme hem de dönme hareketi yapabilirler. Sadece dönüş hareketi yaptıklarında dönme noktasından geçen eksen etrafındaki kütle atalet momentleri, hem dönme hem de öteleme hareketi yaptıklarında ise hem ötelenen çubuk kütlesi hem de çubuğun kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki kütle atalet momenti dikkate alınır.

Homojen ince çubuk şekilde görülen bir B noktası etrafında dönüyor ise, dönüş eksenine göre kütle atalet momenti paralel eksenler teoremi (Steiner teoremi) ile hesaplanabilir. Dönme hareketi yapan bir çubuk için kinetik enerji ifadesi Burada I dönme noktasından geçen eksen etrafındaki kütle atalet momenti, IG kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki kütle atalet momenti, xG kütle merkezinin hızıdır. .

TİTREŞİM PROBLEMLERİNİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI (KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMELER) Titreşim problemleri, küçük ötelemeler ve küçük yer dönmeler kabulü ile doğrusal diferansiyel denklemler ile incelenmektedir. Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda doğru çözüm için diferansiyel denklemlerin nonlinear formları göz önünde bulundurulmalı ve çözümler bu şekilde yapılmalıdır. k R x  k R x  k R x  k R x  Burada sin ifadesi Taylor serisine açılır ise  <<1 için, küçük açılar için cos ifadesi için Taylor serisi yazılır ise  <<1 için , küçük açılar için

HAREKET DENKLEMİ OLUŞTURMA YÖNTEMLERİ Bir nokta etrafında dönüş hareketine sahip kirişler için de benzer ifadeler geçerlidir.  O xA A F(t) k x(t) c m g HAREKET DENKLEMİ OLUŞTURMA YÖNTEMLERİ Hareket analizi yapılacak sistemin matematik modelinin oluşturulmasını takiben literatürde mevcut yöntemlerden biri kullanılarak sistemin hareketini tanımlayan diferansiyel denklemler (hareket denklemleri) oluşturulur. Hareket denklemleri oluşturulur iken farklı yöntemler kullanılabilir. Bu yöntemlerden sık kullanılanları aşağıda verilmiştir. 1. Newton’un 2. yasası ile: Şekilde görülen sistem tek serbestlik dereceli sistemdir ve m kütlesinin hareketi x koordinatı ile tanımlanabilir. Newton’un 2. yasası gereği cisme etkiyen kuvvetlerin toplamı cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir.

Serbest Cisim Diyagramı F(t) x(t)=xs+xd(t) mg k(xs+xd) xs: m kütlesinin statik çökmesi xd: m kütlesinin statik çökme sonrasındaki yer değiştirmesi Newton’un 2. yasası gereği öteleme yapan sistemler için Dönme hareketi yapan sistemler için

veya 2. Dinamik Denge Yöntemi (d’Alembert Prensibi): Yer değiştirme statik çökme etrafındaki yer değiştirmedir. 2. Dinamik Denge Yöntemi (d’Alembert Prensibi): Bu yöntemde cisme etki eden atalet kuvvetleri de serbest cisim diyagramında gösterilir ve cisim statik dengede kabul edilerek veya eşitlikleri kullanılır.

d’Alembert veya atalet kuvveti F(t) x(t)=xs+xd(t) mg k(xs+xd) d’Alembert veya atalet kuvveti yine x=xd ile

3. Enerji Yöntemi : Bu metod ile enerjinin korunumu prensibi uygulanır. Bir sistemin toplam enerjisinin artış hızı sisteme verilen güce eşittir. Burada Et sistemin potansiyel ve kinetik enerjilerinin toplamı, Pnet ise sisteme verilen net toplam güç olup; dış kuvvetler ve momentlerin sisteme verdikleri güç + işaretli, sistemin dışarıya verdiği mekanik güç ve sönümleyici elemanlar tarafından çevreye yayılan ısı gücü – işaretlidir. Sisteme verilen mekanik güçlerin toplamı Sistemin dışarıya verdiği mekanik güçlerin toplamı Sönümleyici elemanlardan dışa atılan ısıl güçlerin toplamı

4. Lagrange Yöntemi: Bu yöntemde de incelenen sisteme ait kinetik ve potansiyel enerjiler dikkate alınır. Ayrıca Sanal İş ilkesi ile dış kuvvetlerin ve sönüm kuvvetlerinin sistemin genel koordinatlarında gerçekleştirmiş oldukları sanal işler dikkate alınarak türetilen genel kuvvetler hareket denkleminin türetilmesi için kullanılır. Sisteme ait Lagrange ifadesi kinetik enerji ile potansiyel enerji farkına eşittir.

Burada qi bir sistemin i Burada qi bir sistemin i. genel koordinatını, Qi ise bu koordinata etki eden kuvvetlerin toplamını (Genel Kuvvet) ifade eder. Genel kuvvet ifadesi Sanal İş ile elde edilir. Genel olarak kinetik enerjinin genel koordinat hızı ve potansiyel enerjinin genel koordinat ile ilişkili olduğu düşünüldüğünde Lagrange denklemi aşağıdaki basit formunu alır. g θ O l m Bununla birlikte bazı mekanik uygulamalarda kinetik enerji genel koordinatın bir fonksiyonu olabilir. Bu durumda Lagrange denkleminin genel ifadesindeki 3. terim dikkate alınmalıdır. Bu denklem öteleme yapan sistemler için bir kuvvet, dönme yapan sistemler için ise bir moment dengesidir.

Genel kuvveti elde etmek için dış zorlamaların ve sönümleyici kuvvetlerin genel koordinatlar üzerindeki sanal işleri dikkate alınır. Genel koordinatlarda zamandan bağımsız olarak küçük değişimler dikkate alınarak () bu kuvvetlerin yaptığı iş

Örnek: Şekildeki tek serbestlik dereceli sistem için hareket denklemini elde ediniz.

Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemlerini elde ediniz. Çok serbestlik dereceli sistemlerde Lagrange denklemi her bir genel koordinat için yazılır. x1 için Lagrange denklemi yazılır ise,

x2 için Lagrange denklemi yazılır ise, Hareket denklemleri matris formunda yazılır ise Lineer sistemler için Kütle, Sönüm ve Direngenlik matrisleri simetriktir.

Örnek: Aşağıdaki iki serbestlik dereceli sistemin hareket denklemlerini yazınız.

Lagrange denklemi θ1 için uygulanır ise,