(iki değişkenli fonksiyonlarda integral) 12.04.2017 DERS:13 İKİ KATLI İNTEGRALLER (iki değişkenli fonksiyonlarda integral)

12.04.2017

12.04.2017

bölgesinde tanımlı ve sürekli fonksiyonunu ele alalım. olsun. 12.04.2017 Sınırlı ve kapalı bir bölgesinde tanımlı ve sürekli fonksiyonunu ele alalım. olsun. x y z yo =c yn =d xo =a D y=g(x) y=f(x) xn =b

Küçücük dikdörtgenler prizmasının hacmi olur. x y z x=a x=b y=c y=d D 12.04.2017 Pi (xi,yi,zi) Küçücük dikdörtgenler prizmasının hacmi olur.

Tabanı D bölgesi olan ve yüzeyinin altında kalan cismin hacmi x y z x=a x=b y=c y=d D 12.04.2017 Pi (xi,yi,zi) Z=f(x,y) Tabanı D bölgesi olan ve yüzeyinin altında kalan cismin hacmi olur.

İki Katlı İntegrallerin Bazı Özellikleri: 12.04.2017 İki Katlı İntegrallerin Bazı Özellikleri: ise İntegralinde alınırsa (D bölgesinin alanı) olur.

İki Katlı İntegrallerin Hesabı: 12.04.2017 İki Katlı İntegrallerin Hesabı: z = f(x,y) fonksiyonu bir bölgesinde tanımlı olsun. 1. Ox eksenine dik doğrular D bölgesinin bir iç noktasından geçerek bölgeyi sağdan (üstten) sınırlayan y=f(x) eğrisi ile, bölgeyi solan (alttan) sınırlayan y=g(x) eğrisini ayrı ayrı birer noktada kesiyorlarsa D bölgesi x eksenine göre düzgün bölgedir denir. Bu durumda dır.

D bölgesi x eksenine göre düzgün bölgedir. y z x=a x=b y=g(x) y=f(x) D 12.04.2017 D bölgesi x eksenine göre düzgün bölgedir.

x y z 12.04.2017 z=f(x,y) x=a x=b y=g(x) y=f(x) D

D={(x,y):c ≤ y ≤ d, g(y) ≤ x ≤ f(y), x,yєR} dır. 12.04.2017 2. y eksenine dik doğrular D bölgesinin bir iç noktasından geçerek bölgeyi üstten (sağdan) sınırlayan x=g(y) eğrisi ile, bölgeyi alttan (osldan) sınırlayan x=f(y) eğrisini ayrı ayrı birer noktada kesiyorsa D bölgesi y eksenine göre düzgün bölgedir denir. Bu durumda D={(x,y):c ≤ y ≤ d, g(y) ≤ x ≤ f(y), x,yєR} dır.

D bölgesi y eksenine göre düzgün bölgedir. x y z 12.04.2017 y=c y=d D x=g(y) x=f(y) D bölgesi y eksenine göre düzgün bölgedir.

12.04.2017 z=f(x,y) x y z y=c y=d D

D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölge ise; 12.04.2017 D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölge ise; olur.

12.04.2017 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde x=0, x=1, y=1, y=2 doğruları ile sınırlı D bölgesi, üstten z = 2x düzlemi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: x y z (1,1,2) (1,0,2) (1,2,2) 1 2 D 1 (1,2) (1,1)

Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. 12.04.2017 Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi; x y z D 1 2 (1,1) (1,2)

x+y+z=1 düzlemi ile z=0 düzleminin arakesiti x+y=1 doğrusudur. 12.04.2017 Örnek: Koordinat düzlemleri ile x+y+z=1 düzleminin sınırladığı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: x+y+z=1 düzlemi ile z=0 düzleminin arakesiti x+y=1 doğrusudur. x+y+z=1 düzlemi ile y=0 düzleminin arakesiti x+z=1 doğrusudur. x+y+z=1 düzlemi ile x=0 düzleminin arakesiti y+z=1 doğrusudur.

x+z=1 y+z=1 x+y+z=1 x+y=1 x+y=1 12.04.2017 x+y=1 x y z D 1 x y z x+z=1 y+z=1 x+y+z=1 1 1 x+y=1 D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi;

y=1-x x y z D 1 12.04.2017

12.04.2017 Örnek: Tabanı z=0 düzleminde y=0, y=x, x=1 doğruları ile sınırlı D bölgesi ve üstten z=x+y düzlemi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: (1,1,2) x y z x y z y=x D 1 (1,1) (1,0,1) y=x D 1 (1,1) x=1

12.04.2017 x y z y=x D 1 (1,1) D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi;

Örnek: (Sınır Değiştirme) 12.04.2017 Örnek: (Sınır Değiştirme) Tabanı, z=0 düzleminde, x=0, y=1 ve y=x doğruları ile sınırlı üçgensel D bölgesi ve üstten z=xcosy3 yüzeyi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. D 1 Çözüm:

Örnek: (Sınır Değiştirme) 12.04.2017 Tabanı, z=0 düzleminde, x=0, y=1 ve y=x doğruları ile sınırlı üçgensel D bölgesi ve üstten z=ey2 yüzeyi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. D 1 Çözüm:

D bölgesi x=y doğrusu ve x=y2 parabolü ile sınırlı bölge olmak üzere, Örnek: 12.04.2017 D bölgesi x=y doğrusu ve x=y2 parabolü ile sınırlı bölge olmak üzere, integrallerini hesaplayınız. Çözüm: 1 x=y2 D x=y

12.04.2017 Örnek: Tabanı x ekseni ile y=2x-x2 parabolü tarafından sınırlanan bölge, üst yüzeyi z= 4-x yüzeyi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: y=2x-x2 D 2

2 12.04.2017 (0,0,4) (1,1,3) (2,0,2) V=4 br3 (1,1,0)

12.04.2017 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, y=0, y=lnx, x=e ile sınırlı D bölgesi ve üstten z=3 düzlemi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. x y z Çözüm: 3 (1,0,3) 1 1 D e (e,1) y=lnx

Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. 12.04.2017 Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. x y z 1 (e,1) y=lnx e D D bölgesi hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. O zaman V hacmi;

12.04.2017

Örnek: 12.04.2017 Tabanı, z=0 düzleminde, x=1-y2 parabolü ve x=0 ile sınırlı D bölgesi ve üs yüzeyi z=2-x düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: z = 2-x x y z 2 (0,0,2) (1,0,2) -1 1 (1,0,2) 1 x = 1-y2

Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. 12.04.2017 Hacmi istenen cismi gördükten sonra D bölgesine tekrar bakalım. x y z 1 -1 x = 1-y2 D D bölgesi y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge değildir. O zaman V hacmi;

12.04.2017

12.04.2017 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, y=2, y=lnx ve koordinat eksenleri ile sınırlı D bölgesi ve üst yüzeyi z=3 düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. x y z Çözüm: 3 (1,0,3) 2 1 D (e2 ,2) y=lnx

12.04.2017 D bölgesi x eksenine göre düzgün olmayıp y eksenine göre düzgün bölgedir. Dolaysıyla y nin sınırları sabit x in sınırları y ye bağlı olacaktır. x y z 1 (e2 ,2) y=lnx D 2 y=lnx x=ey

12.04.2017 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, x2=4y, y2=4x parabolleri ile sınırlı D bölgesi ve üst yüzeyi z=x düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. 4 Çözüm: z = x (4,0,4) (4,4,4) 4 y2 = 4x 4 (4,4,0) x2 = 4y

12.04.2017 4 x2 = 4y y2 = 4x (4,4,0) D D bölgesi x eksenine ve y eksenine göre düzgün bölgedir. x eksenine göre düzgün bölge olarak alırsak, bölgeyi üstten sınırlayan eğri y2=4x tir. D bölgesini x ekseni göre düzgün bölge kabul ettiğimizden bu eğrinin denklemini y=f(x) şeklinde yazmalıyız.

12.04.2017

12.04.2017 Örnek: Tabanı, z=0 düzleminde, y=2x-x2 parabolü ile x ekseni tarafından sınırlanan D bölgesi ve üst yüzeyi z=2y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. (0,1,2) (1,1,2) (2,1,2) Çözüm: z=2y 1 D 1 1 2 y=2x-x2 (2,1,0)

D bölgesi x eksenine düzgün bölgedir. 12.04.2017 2 1 D y=2x-x2 D bölgesi x eksenine düzgün bölgedir.

12.04.2017 Örnek: Çözüm: (0,1,e) Tabanı, y ekseni, y=1 doğrusu ve x=y2 parabolü ile sınırlı D bölgesi ve üstten z=ey3 yüzeyi ile sınırlı cismin hacmini hesaplayınız. z=ey3 (1,1,e) (0,0,1) 1 D 1 x=y2 (1,1,0)

D bölgesini y eksenine göre düzgün bölge olarak alalım. 12.04.2017 (1,1,0) 1 D x=y2 D bölgesini y eksenine göre düzgün bölge olarak alalım.

12.04.2017 x+y=1 D Örnek: Çözüm:

12.04.2017 D y=x Örnek: Çözüm:

12.04.2017

12.04.2017 D y=x Örnek: Çözüm:

12.04.2017 D y=x Örnek: Çözüm:

Örnek: 12.04.2017 y ekseni, y=x2 parabolü ve y=4 doğrusu ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi, üst yüzeyi z=y düzlemi olan cismi çiziniz ve hacmini hesaplayınız. Çözüm: a) x y 4 D 2

12.04.2017 b) 4 D 2

12.04.2017

Örnek: 12.04.2017 x ekseni ve y=4-x2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi, üst yüzeyi z=4-y düzlemi olan cismi çiziniz ve hacmini hesaplayınız. Çözüm: a) x y 4 D -2 2

12.04.2017 (-2,0,4) x y z 4 (2,0,4) y=4-x2 -2 4 D 2

12.04.2017

Örnek: 12.04.2017 Tabanı 2x = y2 parabolü ve x = 1 doğrusu ile sınırlı D bölgesi ve üst yüzeyi z=x2+y2 yüzeyi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: D

Örnek: 12.04.2017 x2+y2=16 ve x2+z2=16 silindirlerinin sınırladığı ortak hacmi hesaplayınız. Çözüm:

12.04.2017 D 4 x2+y2=16 4

12.04.2017 ÖDEVLER 1. Tabanı 0≤x≤1 ve 1≤y≤2 karesi ve üst yüzeyi z = 4 – x – y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. 2. x ekseni, x=1 ve y=x doğruları ile sınırlı D bölgesi veriliyor. 3. y ekseni, y=2 doğrusu ve x = y2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. 4. x ekseni ve y = 1-x2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi ve üst yüzeyi z = 1 – x + y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız.

5. D={(x,y):0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2}ve z=sinx+cosy olduğuna göre 12.04.2017 5. D={(x,y):0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2}ve z=sinx+cosy olduğuna göre 6. Köşeleri O(0,0), A(2,0) ve B(0,3) noktaları olan üçgensel bölge üzerinde 7. z=0 düzleminde koordinat eksenleri ve y=1-x2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor.

b) hacmini hesaplayınız. 12.04.2017 8. D={(x,y): 0≤x≤1, 0≤y≤x } veriliyor. Tabanı D bölgesi üst yüzeyi z=1-x2 yüzeyi olan cismin hacmini hesaplayınız. 9. Koordinat düzlemleri, x+y=2 düzlemi ve z=x2+y2 paraboloidi arasında kalan bölgenin hacmini hesaplayınız. 10. Tabanı z = 0 düzleminde x = 0, y = 1 ve y = x doğruları tarafından sınırlanan üçgensel D bölgesi ve üst yüzeyi z = 2-y düzlemi olan cismin, a) şeklini çiziniz. b) hacmini hesaplayınız.

12.04.2017 ÇÖZÜMLER: 1. Tabanı 0≤x≤1 ve 1≤y≤2 karesi ve üst yüzeyi z = 4 – x – y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. Çözüm: x y z (0,1,3) (0,2,2) (1,1,2) (1,2,1) 1 2 D 1 (1,2) (1,1)

2. x ekseni, x = 1 ve y = x doğruları ile sınırlı D bölgesi veriliyor. 12.04.2017 2. x ekseni, x = 1 ve y = x doğruları ile sınırlı D bölgesi veriliyor. D 1 y = x 3. y ekseni, y = 2 doğrusu ve x = y2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. D

4. x ekseni ve y = 1- x2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. 12.04.2017 4. x ekseni ve y = 1- x2 parabolü ile sınırlı D bölgesi veriliyor. a) D bölgesinin alanını hesaplayınız. b) Tabanı D bölgesi ve üst yüzeyi z = 1 – x + y düzlemi olan cismin hacmini hesaplayınız. 1 D