SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ PROF. DR. NAZMİYE YAHNİOĞLU nazmiye@yildiz.edu.tr www.yildiz.edu.tr/~nazmiye

ÖZET: MODEL PROBLEM: Kesin çözüm

VARYASYONEL FORMÜLASYON: GALERKİN YÖNTEMİ İşlem Adımları: Hata fonksiyonu elde edilir, Çözüm bölgesi üzerinde hata fonksiyonunun, test/deneme fonksiyonu ile çarpımının integrali sıfıra eşitlenir, Kısmi integrasyon yardımıyla aranan fonksiyon ile test fonksiyonu arasında türev mertebesi eşitlenir, Sınır koşulları kısmi integrasyondan gelen terimlere uygulanır.

MODEL PROBLEMİN VARYASYONEL FORMÜLASYONU Test fonksiyonları homojen sınır koşullarını sağlasın, Test fonksiyonları (1.13) integrallerini anlamsız yapmasın Varyasyonel ifade

SEY ÇÖZÜMÜ Aranan fonksiyon ve Test/Deneme fonksiyonu aynı dereceden türevi olan fonksiyonlar kümesinin elemanıdır. Baz takımı i;j =1,2,3,…,N

SEY ÇÖZÜMÜ

SEY ÇÖZÜMÜ j=1 için j=2 için j=3 için ………………………………………………… j=N için

SEY ÇÖZÜMÜ u F K

SEY ÇÖZÜMÜ Çözüm bölgesi için eşit uzunluklu 4 sonlu eleman ve 5 noddan oluşan bir sonlu eleman ağı oluşturulsun. koşul

SEY ÇÖZÜMÜ

SEY ÇÖZÜMÜ

SEY ÇÖZÜMÜ Sınır Koşulları olur. (Benzer şekilde bulunur.)

SEY ÇÖZÜMÜ İndirgenmiş sistem: (sınır koşullarından bilinen değerlere ait satır ve sutünlar sistemden çıkarılır.) Çözüm

SEY ÇÖZÜMÜ

SEY ÇÖZÜMÜ “h” yaklaşımı: Sonlu eleman boyutlarının küçültülmesi. Kesin çözüm ile sonlu Eleman çözümünün karşılaştırılması: Ancak, Kesin çözüm bilinmediği zaman Sonlu Eleman çözümünün doğruluğu nasıl test edilir ??? ÇÖZÜMÜN HASSASLAŞTIRILMASI: “h” yaklaşımı: Sonlu eleman boyutlarının küçültülmesi. “p” yaklaşımı: Baz fonksiyonlarının derecesinin artırılması.

2. BÖLÜM BİR BOYUTLU PROBLEMLER Klasik ikinci dereceden bir bilinmeyenli adi diferansiyel denklem içeren sınır değer problemleri:

BİR BOYUTLU PROBLEMLER Bu tür problemlerle mühendisliğin ve matematiksel fiziğin pek çok dalında karşılaşılabilir :

BİR BOYUTLU PROBLEMLER Süreksizlikler: Diferansiyel denklemin katsayı fonksiyonları ile sağ taraf fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar. Malzemede süreksizlik ( ) Noktasal Kaynak/Tekil Kuvvet ( ) Kuvvette süreksizlik ( ) Kesit alanında süreksizlik ( ) Süreksizlikler sonlu eleman ayrıklaştırmasında mutlaka noda karşı getirilmelidir !!!!

BİR BOYUTLU PROBLEMLER Sınır Koşulları: Doğal (Neumann) Sınır Koşulları: Varyasyonel işlemde göz önüne alınır K ve F matrislerini etkiler ; Esas (Dirichlet) Sınır Koşulları İndirgenmiş sistemin bulun. göz önüne alın. ; K ve F matrislerini etkiler Karışık Sınır Koşulları ;