KENAN ZİBEK

FONKSİYONLAR

FONKSİYON I FONKSİYON II Fonksiyonun Tarihi A. Tanım B. Fonksiyonun Gösterimi C. Görüntü Kümesi FONKSİYON II A. Fonksiyon Çeşitleri 1. Bire Bir Fonksiyon 2. Örten Fonksiyon 3. İçine Fonksiyon 4. Birim (Özdeş) Fonksiyon 5. Sabit Fonksiyon ve Sıfır Fonksiyonu B. Eşit Fonksiyon C. Fonksiyon Sayısı D. Ters Fonksiyon E. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ( Bileşke Fonksiyon ) F. Bileşke İşleminin Özellikleri

A. Tanım A ve B boş olmayan iki küme olsun. A nın her bir elemanını B de yalnız bir elemanla eşleyen f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de fonksiyonun değer kümesi denir. x  A ve y  B olmak üzere A dan B ye bir f fonksiyonu f : A  B veya x  f(x)  y biçiminde gösterilir. Örnek ...1 A  1,2,3 ve B  1,3,4,5,9 kümeleri verilsin. A dan B ye bir f bağıntısı, f  (x,y) : y  x2  biçiminde tanımlanıyor. y  f(x)  x2  f(1)  12  1  f(2)  22  4  f(3)  32  9 olduğuna göre Tanım kümesi : A  1,2,3 Değer kümesi : B  1,3,4,5,6 f bağıntısı : f  (1,1), (2,4), (3,9) olur.

Uyarı Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı bir fonksiyon olmayabilir. Örnek ...2 . 2 . 3 . 4 Aşağıdaki bağıntıları inceleyelim. 1 . 2 . f A B 3 . C D g E F h f  {(1,2) , (2,3)} g  {(1,2) , (2,3)} h  {(1,2) , (1,3) , (2,4)} f : A  B ye g : C  D ye h : E  F ye fonksiyondur. fonksiyon değildir. fonksiyon değildir. Sonuç f : A  B ye fonksiyon ise 1) Tanım kümesinde açıkta eleman kalmaz ancak değer kümesinde açıkta eleman kalabilir. 2) Tanım kümesinde bir eleman değer kümesindeki birden fazla elemanla eşleşemez. Fakat tanım kümesindeki birden fazla eleman değer kümesindeki bir elemanla eşlenebilir.

B. Fonksiyonun Gösterimi Fonksiyonlar dört biçimde gösterilebilir. 1) Bağıntı ile Liste yöntemi ile 2) Venn şeması ile 3) Grafik ile 4) Örnek ...3 A= {-2,1,2} B= {0,1,2,3,4} f(x)= x2-1 bağıntısı, tanım kümesi A ve değer kümesi B olan bir fonksiyondur. Fonksiyonun yukarıdaki gibi gösterimine bağıntı ile gösterim adı verilir. f(x)= x2-1 f(-2)=(-2)2-1=3  f(1)=12-1=0  f(2)=22-1=3 olduğuna göre; f={(-2,3), (1,0), (2,3)} gösterimine fonksiyonun liste yöntemi ile gösterimi adı verilir.

Bu fonksiyonun Venn şeması ve grafik ile gösterimi aşağıdaki gibidir. 1 2 3 -2 4 . f Fonksiyonun grafiği üç noktadan oluşmaktadır. Fonksiyonun A B -2 . 1 . 2 . 0 . 3 . 4. Venn Şeması Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı bir fonksiyondur. Uyarı

Sonuç C. Görüntü Kümesi f : A B ye fonksiyon olsun. (x,y) f ise y = f(x)’e x in f fonksiyonu altındaki görüntüsü veya f nin x için değeri denir. Örnek ...4 1 . 2 . 3 . a . b . c . d . A B f(1) = a f(2) = a f(3) = c dir Tanım kümesi: A = {1,2,3} Değer kümesi: B = {a,b,c,d} Görüntü kümesi= f(A) = {a,c} f fonksiyonu: f = {(1,a), (2,a), (3,c)} dir. Sonuç Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir. f: A  B  f(A)  B dir.

Kural A. Fonksiyon Çeşitleri 1. Bire Bir Fonksiyon f, A dan B ye bir fonksiyon olsun. f nin tanım kümesindeki her farklı elemanının görüntüsü farklı ise, f fonksiyonuna bire bir ( 1-1 ) fonksiyon denir. 1 . 2 . 3 . .1 .4 .9 .16 A B Yandaki Venn şeması ile gösterilen f fonksiyonu yukarıdaki tanıma uygun olduğundan bire bir fonksiyondur. Kural x1,x2  A için, f (x1) = f (x2) iken x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire bir fonksiyondur. Ya da f (x1)  f (x2) iken x1  x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.

Örnek ...1 . 1 . 2 . 3 . a . b . c g C D . 1 . 2 . 3 . a . b . c f A B f fonksiyonu 1-1 dir. g fonksiyonu 1-1 değildir. Örnek ...2 f : IR  IR f(x) = x + 3 fonksiyonunun bire bir olup olmadığını araştıralım. Çözüm f (x1) = f (x2) x1 + 3 = x2 + 3 x1 + 3 - 3 = x2 + 3 - 3 x1 = x2 f (x1) = f (x2)  x1 = x2 olduğundan f fonksiyonu bire birdir. * ... ( )

2. Örten Fonksiyon Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. f : A  B’ ye f(x) = y ile tanımlı olan f örten  f(A) = B dir. Örnek ...4 a . b . c . . 1 . 2 . 3 f R Ç M F f , bire bir ve g, bire bir değil h, bire bir değil ve örtendir. fakat örtendir. örten de değildir. g h B E Sonuç Örten fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman bulunmaz.

3. İçine Fonksiyon Görüntü kümesi değer kümesinin özalt kümesi olan fonksiyonlara içine fonksiyon denir. Kısaca, örten olmayan fonksiyonlara içine fonksiyon denir. Örnek ...5 Kural A = {-1,0,1} ve B = {0,1,2} olmak üzere, f : A B f(x) = x2 Fonksiyonunu inceleyelim. Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak için değer kümesi üzerinden Ox eksenine paraleller çizilir. Bu paraleller eğriyi daima kesiyorsa fonksiyon örtendir. Eğer çizilen paralellerden bazıları eğriyi kesmiyorsa fonksiyon içinedir. Çözüm -1 . 0 . 1 . . 0 . 1 . 2 A B f f(x) = x2  f(-1) = (-1)2 = 1  f(0) = 02 = 0  f(1) = 12 = 1 olduğuna göre, f(A) = {0,1} dir. Değer kümesinde eşlenmemiş en az bir eleman olduğuna göre,f içinedir. Venn şemasından da görüldüğü gibi f, bire bir değil fakat içinedir.

Örnek ...6 Aşağıdaki grafikleri inceleyelim. -1 1 x y y = f1(x) f1 : IR  IR f1 , içinedir. -1 1 x y y = f2(x) f2 : IR  [-1, sonsuz) f2 , örtendir.

 Kural Uyarı 4. Birim (Özdeş) Fonksiyon Birim fonksiyon bire birdir. Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü yine aynı ise bu tip fonksiyona birim fonksiyon denir ve  ile gösterilir. f A B a . b . c . . a . b . c f : A  B f(a) = a, f(b) = b, f(c) = c dir. Buna göre, f birim fonksiyondur. Kural  : A  A, (x) = x veya f(x) fonksiyonu birim fonksiyondur. Örnek ...7 Çözüm  f : IN+  IN+ f(x) = (2m - 4)x2 + (2n - 5)x + m + n + k f, birim fonksiyon olduğuna göre, m . n . k kaçtır? f, birim fonksiyon ise, f(x) = x tir. Buna göre, f(x) = (2m - 4)x2 + (2n - 5)x + m + n + k dır.  1 2m - 4 = 0  m = 2 ... (1) 2n - 5 = 1  n = 3 ... (2) m + n + k = 0  k = - m -n = -2 - 3 = -5 ... (3) m . n . n = 2 . 3 .(-5) = -30 dur. Birim fonksiyon bire birdir. Uyarı

5. Sabit Fonksiyon ve Sıfır Fonksiyonu Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir tek elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. Yani, x  A ve c  B için, f(x) = c oluyorsa f, Adan B ye sabit fonksiyondur. c = 0 vex  A için, f(x) = 0 ise f fonksiyonu sıfır fonksiyonudur. Örnek ...8 f A B 1 . 2 . 3 . . 0 . -1 . 1 . 2 C D f(x) = 1 fonksiyonu sabit fonksiyondur. h(x) = 0 fonksiyonu sıfır fonksiyonudur.

B. Eşit Fonksiyon f : A  B ve g : A  B iki fonksiyon olsun. f ve g fonksiyonları A’nın her elemanı için aynı değeri alıyorsa f ve g’ye eşit fonksiyonlar denir ve f = g biçiminde gösterilir. Buna göre, f = g  x  A için f(x) = g(x) tir. Örnek ...10 A = { -1, 0, 1 } B = { 0, 1, 2 }  f : A  B, f(x) = x + 1 g : A  B, g(x) = x3 + 1 biçiminde tanımlandığına göre, f = g olduğunu gösterelim. Çözüm (x) = x + 1  f(-1) = -1 + 1 = 0  f(0) = 0 + 1 = 1  f(1) = 1 + 1 = 2 g(x) = x3 + 1  g(-1) = (-1)3 + 1 = 0  g(0) = 03 + 1 = 1  g(1) = 13 + 1 =2 dir. x  A için f(x) = g(x) olduğundan f = g dir.

C. Fonksiyon Sayısı s(A) = m s(B) = n olsun. 1. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyonların sayısı : nm ‘dir. 2. B’den A’ya tanımlanabilen fonksiyonların sayısı : mn ‘dir. 3. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı : 2m .n - nm ‘dir. n! (n-m)! = 1.2.3. ... .n 1.2.3. ... .(n-m) dir. ( n  m ) 4. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir fonksiyonların sayısı : 5. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı : m! = 1.2.3. ... .m dir. 6. A’dan A’ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı : mm -m! dir. 7. A’dan B’ye tanımlanabilen sabit fonksiyonların sayısı : n dir.

Örnek ...11 A = { 1, 2 } B = { a, b, c } kümeleri veriliyor. s(A) = 2 ve s(B) = 3 olduğuna göre, 1. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyonların sayısı : 32 = 3.3 = 9 dur. 2. B’den A’ya tanımlanabilen fonksiyonların sayısı : 23 = 2.2.2 = 8 dir. 3. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı : 22 .3 - 32 = 26 - 9 = 55 tir. 1 6 dır. 3! (3-2)! = 1.2.3 4. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir fonksiyonların sayısı : 5. A’dan A’ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı : 22 -2! = 4 - 1.2 = 4 - 2 = 2 dir. 7. A’dan B’ye 3 tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

D. Ters Fonksiyon f : A  B ye bire bir ve örten bir fonksiyon olsun. f-1 : B  A ya f nin ters fonksiyonu denir. f B A x . . y f -1 f : A  B f(x) = y f -1(y) = x Örnek ...12 A = { 1, 2, 3 } f : A  B B = { 3, 6, 11 } f : x  x2 + 2 fonksiyonunun tersini liste yöntemiyle yazalım. Çözüm f(x) = x2 +2  f(1) = 12 + 2 = 3 f = {(1, 3), (2, 6), (3, 11)}  f(2) = 22 + 2 = 6 f -1 = {(3, 1), (6, 2), (11, 3)} olur.  f(3) = 32 + 2 = 11

Örnek ...13 f : A  B A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} f1 = {(a, 2), (b, 1), (c, 3)}  f1-1 = {(2, a), (1, b), (3, c)} f2 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}  f2-1 = {(1, a), (1, b), (1, c)} Burada f1 in tersi olan f1-1 fonksiyondur. f2 nin tersi olan f2-1 bağıntısı fonksiyon değildir. Sonuç Her fonksiyonun tersi, bir fonksiyon olmayabilir. f bire bir ve örten değilse f -1 bağıntısı fonksiyon değildir. y = f(x) biçimindeki bir f fonksiyonunun tersini bulmak için x yalnız bırakılır. Tanım ve değer kümeleri yer değiştirdiğinden x ile y nin değerleri değiştirilir. Uyarı

{ Sonuç Örnek ...14 f :  - 1, )  4, ) f(x) = x2 + 2x + 5 olduğuna göre f -1(5) kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2 Çözüm f -1(5) = k  f(k) = 5  k2 + 2k + 5 = 5  k2 + 2k = 0  k(k + 2) = 0  k = 0 veya k + 2 = 0  k = 0 veya k = -2 dir. k değeri f nin tanım kümesindeki bir değerdir. f nin tanım kümesi  - 1, ) olduğunda bu aralıkta -2 yoktur. O halde f -1(5) = 0 dır. Cevap C Sonuç 1.) f : IR  IR, f(x) = ax + b  f -1(x) = 2.) f : IR -  IR - x - b a { } d c  f(x) =  f -1(x) = dır. ax + b cx + d -dx + b cx - a

... ( ) * { Sonuç Örnek ...15 Çözüm f(x) = y  f -1(y) = x f(x) = 4x - 8 y = 4x - 8 y + 8 4 = x x =  f -1(y) =  f -1(x) = x + 8 olur. * ... ( ) f : IR  IR f(x) = 4x - 8 fonksiyonunun tersini bulalım. Sonuç  f -1(x) = f(x) = ax + b cx + d -dx + b cx - a ifadesinin fonksiyon olabilmesi için f nin paydasını sıfır yapan tanım kümesinde olmamalıdır. -d c olduğuna göre, f nin bire bir ve örten olması için f nin değer kümesinde f -1 in paydasını sıfır yapan değeri olmalıdır. O halde, nin en geniş tanım kümesi IR - ve en geniş değer kümesi IR - olursa f nin tersi de fonksiyon olur. { } a

. Kural 1) (f -1)-1 = f dir. 2) (f -1(x))-1  f(x) dir. 3) y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f -1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir. y= x+2 y x . 2 -2 y = x y= x-2 f(x) = x + 2 ise, f -1(x) = x - 2 olup grafikleri yukarıdaki gibidir.

E. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ( Bileşke Fonksiyon ) A, B, C birer küme olsun. f : A  B, f(x) = z g : B  C, f(z) = y ise gof : A  C, (gof)(x) = g f(x) = y kuralı ile tanımlı fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir. f g A x . . z B . y C gof

Örnek ...16 A = { 0, 1, 2 } f : A  B, f(x) = 2x + 3 B = { 3, 5, 7 } g : B  C, g(x) = 2x + 1 C = { 7, 11, 15 } fonksiyonları verilsin. kümeleri veriliyor. . 7 . 11 . 15 . 3 . 5 f A B C g 0 . 1 . 2 . Şemada görüldüğü gibi f ve g fonksiyonları A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşlemiştir. Verilen şemayı kısaca aşağıdaki biçimde gösterelim. h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x+3);(g(x) = 2x+1) = 2(2x+3) + 1 = 4x + 6 + 1 = 4x + 7 ise h(0) = 4. 0 + 7 = 7 h(1) = 4. 1 + 7 = 11 h(2) = 4. 2 + 7 = 15 0 . 1 . 2 . . 7 . 11 . 15 A B h

F. Bileşke İşleminin Özellikleri 1. Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. fog  gof 2. Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır. fo(goh) = (fog)oh = fogoh 3. I(x) = x olmak üzere, foI = Iof = f olduğu için, I(x) = x fonksiyonuna bileşke işleminin birim ( etkisiz ) elemanı denir. 4. fof -1 = f -1of = I dır. Buna göre, f nin bileşke işlemine göre tersi f -1 dir. 5. (fog) -1 = g -1of -1 dir. Örnek ...18 Çözüm (fog)(x) = x2 - 2x + 1 f(x) = x + 4 olduğuna göre g(x) fonksiyonunu bulalım. (fog)(x) = x2 - 2x + 1 f(g(x)) = x2 - 2x + 1 ve f(x) = x + 4 ise, g(x) + 4 = x2 - 2x + 1 g(x) = x2 - 2x + 1 - 4 g(x) = x2 - 2x - 3 olur.

( ) ... ( ) * Örnek ...20 Çözüm f(x) = 2x - 4  f -1(x) = (fog -1) -1 = (g -1) -1of -1 = gof -1 x + 4 2 * ... ( ) f(x) = 2x - 4 (fog -1) -1(x) = 3x + 6 olduğuna göre, g(3) kaçtır? A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 2 Buna göre, (fog -1) -1(x) = 3x + 6 ( gof -1)(x) = 3x + 6 g(f -1(x)) = 3x + 6 x + 4 2 g ( ) = 3x + 6 olur. g(3) ün bulunabilmesi için yi 3 e eşitleyen x değeri bulunmalıdır. = 3  x + 4 = 6  x = 2 dir. O halde, = 3x + 6 2 + 4 = 3. 2 + 6 = 6 + 6 6 g(3) = 12 olur. Cevap A

Örnek ...21 . 1 5 3 10 -2 y = g(x) y = f(x) Şekilde f doğrusal fonksiyonu ile g fonksiyonunun grafikleri verilmiştir. Buna göre, (f -1og)(1) + (fog -1)(3) kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 Çözüm Şekildeki grafiğe göre, g(1) in sonucu m ise, f(1) in sonucu da m dir. Buna göre, f(1) = m  f -1(m) = 1 dir. (f -1og)(1) = f -1(g(1)) = f -1(m) = 1 g fonksiyonu (0, 3) noktasından geçtiğine göre, g(0) = 3  g-1(3) = 0 f fonksiyonu (0, 10) noktasından geçtiğine göre, Cevap C f(0) = 10 O halde, (f -1og)(1) + (fog -1)(3) = f -1(g(1)) + f(g-1(3)) = 1 + f(0) = 1 + 10 = 11 dir.

Sonuç f fonksiyonu ile g fonksiyonu (a, b) noktasında kesişiyorlarsa (f -1og)(a) = a ve (f og -1)(b) = b olur. Örnek ...22 f(x) = x2 - 2x + 3 olduğuna göre, f(1 - x) - f(x - 1) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) -2x + 3 B)2x - 3 C) 4x + 4 D) 0 E) 4x - 4 Çözüm f(x) = x2 - 2x + 3 f(1-x) = (1-x)2 - 2(1-x) + 3 = 1 - 2x + x2 - 2 + 2x + 3 = x2 + 2 ...() f(x-1) = (x-1)2 - 2(x-1) + 3 = x2 - 2x + 1 - 2x + 2 + 3 = x2 - 4x + 6 ...() () ve () den f(1-x) - f(x-1) = x2 + 2 - (x2 - 4x + 6) = x2 + 2 - x2 + 4x - 6 = 4x + 2 - 6 = 4x - 4 olur. Cevap E

Fonksiyonun Tarihi Fonksiyon; bir cümlenin (kümenin) her elemanını ikinci bir cümlenin yalnız bir elemanıyla eşleyen bir bağıntı. Birinci cümleye tanım cümlesi, ikinci cümleye değer cümlesi denir. Genellikle bu elemanlar sayılardan ibarettir. Pekçok fonksiyon, çeşitli bilim konularından ortaya çıkar. Fonksiyon 17.yüzyıldan beri matematiğin bir ana kavramı olmuştur. Hareketlerin araştırılmasında Galile, Kepler ve Newton, zamanla mesafe arasında münasebetleri ortaya koymuşlardır. Gazların sıcaklık, basınç ve hacimleri arasındaki münasebet Robert Boyle tarafından 17. yüzyılda ve A.C. Charles tarafından 18.yüzyılda keşfedilmiştir. 19. Yüzyılda ise akım, voltaj ve direnç arasındaki münasebet ile elektrik anlaşılır hale gelmiştir. Daha sonra biyoloji ve sosyal ilimlerde de sayılar ile ilgili bilgiler ve bununla fonksiyon kavramı önem kazanmıştır. Bilimde en önemli kavramın değişkenler arasındaki ilişkiler olduğu söylenebilir.

TEŞEKKÜRLER TEŞEKKÜRLER