Bölüm 7: Matrisler Fizikte birçok problemin çözümü matris denklemleriyle ifade edilir. En çok karşılaşılan problem türleri iki başlıkta toplanabilir. Cebirsel lineer denklem sistemleri: Örneğin; x1, x2, x3 bilinmeyenleri için, denklemleri üç bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturur. Bu denklem sisteminin çözümü matrisler ve determinantlarla işlem yapılmasını gerektirir. Bilinmeyen sayısı az olduğunda elle yapılan çözüm kolay olabilir, ancak 100 bilinmeyenli bir sistemin çözümü insan gücünün ötesindedir. Özdeğer problemleri: Genel olarak , A bir matris ve bir vektör olmak üzere,

veya yapısındaki denkleme A matrisinin özdeğer problemi adı verilir. Burada λ özdeğer ve sütun vektörü, A matrisinin özdeğer ve özvektörleri olurlar. I birim matristir. Lineer Denklem Sistemleri: Genel olarak, N sayıda denklemden oluşan N bilinmeyenli lineer bir sistem şöyle ifade edilir. Burada ve katsayıları reel veya komplex olabilirler. Bu sistem katsayılar matrisi kullanılarak şöyle de yazılabilir. . .

veya daha kısa olarak, yazılır. Buradaki nxn matrisi için katsayılar determinantı sıfırdan farklı ise, tek çözüm vardır. Bu bölümde nxn olan kare matrislerle ilgileneceğiz. Gauss Elemesi Yöntemi: Öncelikle aşağıdaki denklem sistemini incelersek,

Üçgen yapıdaki bu sistemi çözmek kolaydır Üçgen yapıdaki bu sistemi çözmek kolaydır. Son satırdaki tek bilinmeyenli denklemden x3 bulunur. Bu x3 değeri 2.satırdaki denklemde yerine konup x2 bulunur. Son olarak, x2, x3 değerleri 1.satırda yerine konup x1 bulunur. (x1=-5, x2=10, x3=3) O halde çözmek istediğimiz denklem sistemini bu üçgen yapıya getirebilir miyiz? Evet, çünkü lineer denklem sistemleri şu özelliklere sahiptirler: Herhangi iki satırdaki denklem yer değiştirirse çözüm değişmez. Herhangi bir satırdaki denklemi sabit bir katsayıyla çarpmakla çözüm değişmez. Bir satırdaki denklemi diğer bir satıra eklemek veya çıkarmakla çözüm değişmez. Gauss elemesi yöntemi, verilen bir denklem sistemini bu tür işlemlerden geçirerek bu üçgen yapıya dönüştürme yöntemidir. Bu yapı elde edilince, sondaki denklemden başlanıp, tüm bilinmeyenler başa doğru giderek hesaplanırlar, buna “geri yerleştirme” denir. Şimdi bu yöntemin en genel uygulanışını görelim:

N bilinmeyenli denklem sistemini yazarken, programlama tekniği açısından, sağ taraftaki bi katsayılarını da A matrisinin n+1. sütunu gibi düşünmek kolaylık sağlar. Bu denklem sistemi sırasıyla şu işlemlerden geçirilir: olsun (Değilse, yer değiştirip başka bir denklemi 1.sırada yazarız.) 1.denklemi ile çarpıp 2.denklemden çıkaralım. . .

1.denklemi ile çarpıp 3.denklemden çıkaralım. Böylece n.denkleme kadar devam edilir. Bu işlem sonucunda, diğer denklemlerde x1 değişkeni elenmiş olur ve yeni denklem sistemi şu hale gelir. . .

Dikkat edilirse, 1.aşamadaki bu yeni denklem sisteminde i.satırdaki j.terimin katsayısı şöyle olmaktadır: (i=1,2,…n ve j=2,3,….n+1) Bu yeni denklem sisteminde, olduğunu varsayalım. 2.denklemi ile çarpıp 3. ve daha sonraki denklemlerden çıkaralım. Bu işlem (n-1) kez yapıldığında, üçgen yapıdaki denklem sistemi şöyle olur. .

Görüldüğü gibi 1. aşamada 2 Görüldüğü gibi 1.aşamada 2. ve diğer denklemlerde bilinmeyen sayısı bir azalmakta, 2.aşamada 3. ve diğer denklemlerde bir daha azalmakta ve (n-1) aşamada tek bilinmeyene ulaşılmaktadır. Gidiş yolumuzu genelleştirirsek, k.aşamadaki i. denklemin j katsayısı şöyle olmaktadır: (Burada i=1,….n ve j=2,….n olmak üzere) Üçgen yapıya eriştikten sonra çözüm kolaydır. (*) denklemindeki sonuncu eşitlikten xn bilinmeyeni hemen bulunur: Buradan itibaren, geri yerleştirme yaparak diğer tüm bilinmeyenler sırayla elde edilir. Xk bilinmeyeni için ifade aşağıdaki gibi olur: (k=n-1,.....1)