Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 7.HAFTA İÇERİĞİ -Gauss Kareleme

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Gauss Kareleme Yöntemleri SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Yamuk yönteminde integral aralığının uçları fonksiyon değerini birleştiren düz bir doğrunun altında kalan alan olduğundan bazı durumlarda büyük hatalara neden olabilmektedir. y x y=f(x) a b y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Gauss Kareleme Yöntemleri SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Yamuk yöntemindeki hatayı azaltmak için integral aralığındaki [a,b] iki ara noktadan (xo , x1) geçen düz bir doğru altında kalan alanın bulunmasıyla daha iyi bir tahmin yapılır. Bu ara noktaların (xo , x1) akıllıca seçilmesiyle + ve – alanlar dengelenebilir ve integral tahmini iyileştirilebilir. Gauss kareleme bu tür ara noktaları bulmayı amaçlayan yöntemlerin adıdır. x1 xo y x y=f(x) a b y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Belirsiz Katsayılar Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER Bu yöntemde integral; S≈ co·f(a)+ c1·f(b) şeklinde ifade edilir. Burada, c’ler sabitlerdir. Yamuk yöntemi ile tam değerin bulunduğu sabit ve düz bir doğru ele alalım. Bu özel durumu gösteren 2 basit denklem olarak y=1 ve y=x göz önünde bulunduralım. Bu fonksiyonların a-b aralığında integrali için katsayıları hesaplayalım. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi y y y=x y=1 -(b-a)/2 -(b-a)/2 x x +(b-a)/2 (b-a)/2 sabit Düz doğru

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER y x y=1 +(b-a)/2 -(b-a)/2 sabit y=1 için S≈ co·f(a)+ c1·f(b) BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü y=x için x y y=x (b-a)/2 -(b-a)/2 Düz doğru S≈ co·f(a)+ c1·f(b)

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. (2)’den co=c1 elde edilir Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü (2)’yi (1)’de yerine koyarsak;

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER co=c1 BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. Bu ifadeler belirsiz katsayılarda yerine yazılırsa; Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bu ise yamuk kuralına eşittir.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İki noktalı Gauss-Legendre Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER Yakınsama ve Iraksama İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyon hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fks. iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. Grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. Yamuk yönteminde olduğu gibi Gauss karelemenin amacı S= co·f(xo)+ c1·f(x1) şeklindeki eşitliğin katsayılarını belirlemeyi amaçlar. Burada yamuk yönteminden fark co, c1 gibi xo ve x1 ‘in değerleri de bilinmemektedir. (bunlar uç değerler değildir) Bu nedenle 4 tane bilinmeyen vardır ve 4 tane kesin değeri hesaplayabilecek koşul fonksiyonuna ihtiyaç duyulur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. y y=e-x-x y f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x x a) x b) b

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yakınsama ve Iraksama İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyon hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fks. iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. Grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. Yamuk yönteminde olduğu gibi bir sabit ve bir doğru fonksiyonun integralini kesin olarak verebileceği varsayımı ile koşullardan ikisi elde edilir. Kalan koşulu elde etmek için; bir parabolün (y= x2) ve bir kübük parabolün (y= x3) integralinin kesin sonucu verebileceğini varsayalım. Bu sayede 4 koşul değer elde edilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. y y=e-x-x y f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x x a) x b) b

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yakınsama ve Iraksama İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyon hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fks. iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. Grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. y=1 için y=x için Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. y y=e-x-x y f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x x a) x b) b

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi y=x2 için Burada elde edilen 4 eşitlik beraberce çözüldüğünde ; x y y1=x y2 = g(x) Kök xo Iraksak x y Yakınsak y1=x y2 = g(x) Kök xo x1 x2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bu değerler integralde yerine yazılırsa iki noktalı Gauss-Legendre formülü elde edilir. y=x3 için Yakınsama ve ıraksama şartı y1 = x  y|1 = 1 (Eğim) y2= g(x)  | g|(xo) | < 1 ise yakınsak | g|(xo) | > 1 ise ıraksak Burada y2= g(x) fks.nun eğiminin mutlak değeri y1 = x fks.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Burada görülen sonuç fonksiyonun noktalarındaki değerlerinin toplamının 3. dereceden doğrulukta integral tahminini vermektir. Burada kolaylık amacı ile integral sınırları -1’den 1’e kadar alınmıştır. Bu sadece matematiksel olarak işlemi kolaylaştırmak ve formülasyonu genelleştirmek için yapılmıştır. Bu nedenle verilen integral sınırlarını bu forma dönüştürmek gerekir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Bu amaçla basit bir değişken dönüşümü yapılabilir. Orijinal değişken x ve yeni değişken t arasında doğrusal bir ilişki olduğu varsayılırsa; Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan Eğer alt sınır x=a, t=-1’e karşılık geliyorsa bu değerler yukarıda yerine yazılırsa y1 = x elde edilir. c) x2 = x + 3 ‘ den Aynı şekilde üst sınırda x=b, t = 1’e karşılık geliyorsa; y1 = x y2 = (x+3)1/2 elde edilir. yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Bu eşitlikler çözülürse ao=(b+a)/2 ve a1=(b-a)/2 elde edilir. ve x=ao+a1t denkleminde yerine yazılırsa; elde edilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x olur. c) x2 = x + 3 ‘ den İntegrali alınacak eşitlikte bu ifadeler yerine yazılarak dönüşüm yapılmış olur. Bu dönüşümler integralin değerini değiştirmeksizin integral aralığının dönüşümü etkili bir şekilde sağlar. y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Örnek SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır fonksiyonun a=0 ve b=0,8 aralığında integralini iki noktalı Gauss-Legendre formülü ile hesaplayın ve gerçek integral değeri ile arasındaki bağıl hatayı hesaplayınız. Igerçek = 1.640533 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır Bu ifadeler fonksiyonda yerine yazılırsa;

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x hesaplayarak c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Igerçek = 1.640533 Mutlak hata = Et= I – Ig = 0.182045 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x Bağıl hata = εt =Et/Ig =0.09988 c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Çok noktalı formüller SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır İki noktalı formül yerine çok noktalı formül kullanılabilir. Bu durumda ; n burada nokta sayısıdır. Örneğin üç noktalı formülde katsayılar ve x’ler şöyle olur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan co= 0.555556  (5/9) c1= 0.888889  (8/9) c2= 0.555556  (5/9) xo= -0.7745966692 x1= 0 x2= 0.7745966692 y1 = x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır Bir önceki örneği bu yöntem ile hesaplayalım

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Örnek DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER integralinin değerini 2 ve 3 noktalı Gauss-Legendre formülünü kullanarak hesaplayınız. x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bu ifadeler fonksiyonda yerine yazılırsa; a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) 2 noktalı Gauss Legendre formülü için Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Ödev SAYISAL YÖNTEMLER x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x integralllerini 2 ve 3 noktalı Gauss-Legendre formülünü kullanarak hesaplayınız. Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır