Tümleyen Aritmetiği Soru2-a: (110101010)2 sayısının (r-1) tümleyeni nedir? İkili sayının (r-1) tümleyeni 1 e tümleyen olarak adlandırılır. İkili sayının 1 e tümleyeni sayının her bir bitini ters çevirerek (1 leri 0 , 0 ları 1 yaparak) gerçekleşir. (110101010)2 = ( 001010101)2 Soru2-b: (100100100)2 sayısının (r) tümleyeni nedir? İkili sayının (r) tümleyeni 2 e tümleyen olarak adlandırılır. İkili sayının 2 e tümleyeni; sayının her bir biti ters çevrilir(1 leri 0 , 0 ları 1 yaparak) ve sonuca 1 eklenir Sağdaki ilk 1 e kadar olan sayılar aynen yazılır, daha sonrakiler (sağdaki ilk 1’in solunda kalan tüm rakamlar) tek tek ters çevrilir (100100100)2 = ( 011011100) 2
Tümleyen Aritmetiği Soru2-c : (2838)10 = sayısının (r-1) tümleyeni nedir? Onlu sayının (r-1) tümleyeni 9 a tümleyen olarak adlandırılır. 9999 2838 _______ 7161 Soru2–d : (53)10 – (25)10 işlemi (r-1) tümleyen yöntemiyle nasıl yapılır? 53 -25 +____ +____ +____ 27 1 53 74 99-25=74 127 28 Eğer toplama işlemi sonucunda son elde oluştuysa, elde atılır ve farkı elde etmek için toplama 1 eklenir Eğer toplama işlemi sonucunda son elde oluşmadıysa, toplamın (r-1) e tümleri alınır ve önüne “-” işareti konulur
Tümleyen Aritmetiği Soru2 – e: (11101)2 – (01101)2 = işlemini r ye tümleyen yöntemiyle nasıl yapılır? M-N İşlemini 2 ye tümleyen aritmetiği ile gerçekleştirmek için N sayısının 2 ye tümleri bulunur. (01101)2 = (10010 +1)2 = (10011)2 M sayısı N nin tümleri ile toplanır (11101)2 + (10011)2 = (1 10000) 2 Eğer toplamı işlemi sonucunda son elde oluştuysa, elde atılır. Eğer toplama işlemi sonucunda son elde oluşmadıysa toplamın 2 ye tümleri alınır ve önüne “-” işareti konur. İşlem sonucu (11101)2 – (01101)2 = (10000) 2
Boole Cebiri ve Kuralları 1854 yılında George Boole tarafından mantıksal işlemler için oluşturuldu. 1938 yılında Claude Shannon tarafından anahtarlama cebiri (switching algebra) olarakda adlandırılan ikili Boole cebiri geliştirildi.
ÖZET LOJİK KAPILAR ve LOJİK DEVRELER Temel Kapılar : - Çıkışlar, girişlerin değerlerine bağlıdır - Hafızaları (bellekleri yoktur)
TEMEL LOJİK KAPILAR A’ A NOT Çıkış = A’ = A f(in) = A’ = A (DEĞİL) OR Çıkış = a+b f(a,b) = a+b (VEYA) AND Çıkış = a·b f(a,b) = a·b (VE) A
TEMEL LOJİK KAPILAR XOR Çıkış = ab f(a,b) = ab (Özel VEYA) NOR Çıkış = a+b f(a,b) = a+b VEYA Değil NAND Çıkış = a·b f(a,b) = a·b (VE Değil)
LOJİK KAPILAR XNOR Çıkış = ab f(a,b) = ab (Özel VEYA DEĞİL) XOR Kapısı hatırlarsak: f(a,b) = ab = (a’b + b’a) Değili XNOR dur. Lojik İşlemlerin Öncelik Sırası: NOT, AND, OR Çıkış=AB+A'B'
LOJİK KAPILAR DeMorgan Teoremi Çıkış = a+b 1) Değil Çubuğu Çıkış= a+b AND kapısının çıkışını ters çevirmek (inverting) , OR kapısının girişlerini ters çevirmekle eşdeğerdir Çıkış = a+b 1) Değil Çubuğu Çıkış= a+b 2) + , · olur Çıkış = a·b
LOJİK DEVRELER Minterm Açılımı… Kısaltması x’y’z’ x=0, y=0, z=0 m0 f = x’y’z’ + x’y’z + x’yz’ + x’yz + xyz’ = m0 + m1 + m2 + m3 + m6 = m(0,1,2,3,6) Minterm eşdeğeri f’ = xy’z’ + xy’z + xyz = m4 + m5 + m7 = m(4,5,7) Maxterm eşdeğeri Maxterm, minterm’in tersidir
LOJİK DEVRELER Çarpımların toplamı; F=m(m0,m1)
Lojik Devreler Soru 4: Aşağıdaki devrede Z çıkışı A,B,C,D cinsinden nasıl ifade edilir? ÇÖZÜM: Yukarıda gösterilen noktalardaki değerleri bularak bunları daha sonra işleme koyabiliriz ; ___ __ __ ____ _________ 1): A.B 3): 1.2 = [(AB)(C+D)] = ( A.B + C + D ) => 3) : = AB + C + D _____ ____ __ ____ 2): (C + D) 4): (1 + 2) = [A.B + (C + D)] => 4) : = (A.B)(C + D) _ _ _________ _ _ __ __ 5): (3.A + 3.A) = (A.B + C + D).A + (A.B + C + D).A = A.C + A.D + (A.B).(C+D).A = _ _ _ _ _ A.B +A.C.D +A.C+A.D = _ _ ____ __________ ____ 6): (2.4 + 2.4) = (C + D)[(A.B)(C + D)] + (C + D)[(A.B)(C + D)] =(C+D) +(A.B)(C+D) Kural: A’. (AB)’ = A’ ( A’ + B’) = A’ + A’B’=A’(1+B’) = A’ __ _ _ Z= 5.6 = 5+6
KARNAUGH HARİTALARI Örnek f3(a,b,c) = (2, 3, 4, 6, 7) En küçük deyim: f3(a,b,c) = b + ac’ Örnek :f5(a,b,c,d) = (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 13, 15) Minterm : f5(a,b,c,d) = a’d + a’c + bd + b’c’d’
KARNAUGH HARİTALARI
Karnaugh HAritası A F(a,b,c,d)=A’C’ + AC C Soru5 . F(a,b,c,d) = (0, 1, 4, 5, 10, 11, 14, 15) minterm ifadesini karnaugh haritası yöntemini kullanarak sadeleştiriniz ve yalnızca VEDEĞİL kapılarını kullanarak çiziniz 1 A F(a,b,c,d)=A’C’ + AC C