KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR DERS ÖĞRETMENİ: MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ BAŞLAMAK İÇİN TIKLAYIN...

LİNEER CEBİR MATRİSLER DETERMİNANTLAR

tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir matris denir. TANIM: m,n için, (i=1,2,3,...,m ; j=1,2,3,...,n) olmak üzere , reel sayılarından oluşturulan; i. satır j. sütun Satranç tahtası 8x8 tipinde bir matris örneğidir.

A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve elemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir. elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir. . A matrisinin elemanlarına i.satır elemanları; elemanlarına da j. sütun elemanları denir.

Satır Matris Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her satırına, satır matrisi denir. B1 = [a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi) B2 = [a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi) . . . . Bm = [am1 am2 ... amn] (m.satır matrisi) A matrisi satır matrisine bağlı olarak, A= [aij]m x n = şeklinde gösterilir.

Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir. A1 :1.satır matrisi A2 : 2.satır matrisi ... An : n.satır matrisi A matrisi sütun matrisine bağlı olarak , A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir.

Kare Matris Tanım: n x n tipindeki A= [aij]m x n matrisine, n. basamaktan kare matris denir. matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir. Satranç tahtası aynı zamanda 8x8 ‘lik bir kare matris örneğidir.

Sıfır Matrisi Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir. matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir.

Asal Köşegen , Yedek Köşegen Tanım : A= [aij]n x n kare matrisine a11,a22,a33,...,ann elemanlarının oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an1,a(n-1)2,...,a1n terimlerinin oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir. a11,a22,a33 : asal köşegen a31,a22,a13 :yedek köşegen Yedek köşegen Asal köşegen

Köşegen Matris Tanım: A= [aij]n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir. matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir.

matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir. Tanım: A= [aij]n x n köşegen matrisinde a11 = a22 = a33 ...= ann = k ise, (k  R) bu matrise, skalar matris denir. matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir.

Birim Matris Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir. n x n tipindeki bir birim matris In ile gösterilir. matrisi , 4.sıradan bir birim matrisidir. I4 ile gösterilir. (asal köşegen)

Şekildeki bulmaca 15x15 tipinde bir matris örneğidir.

İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrisler denir.  (i, j)  M x N için, aij = bij  [aij]m x n = [bij]m x n ÖRNEK: = ú û ù ê ë é 2 4 y x B ve A + 5 3 b a olmak üzere, A = B ise kaçtır ?

ú û ù ê ë é + 5 2 3 b a 4 y x matrislerinin = ÇÖZÜM : A = B  eşitliğinden, ÇÖZÜM : A = B  5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan 5a = 22 5b = 2  52b = 22  5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer x/y de yerine yazılırsa; bulunur.

? x ise 2 1 6 4 - y : Örnek 3 = ú û ù ê ë é +

5 x 10 2x 4 y - 6 : Çözüm = Þ +

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ Tanım: A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n matrisleri verilmiş olsun. A + B = [aij]m x n + [bij]m x n= A= [aij+ bij]m x n matrisine, A ve B matrislerinin toplamı denir. O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.

ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır?

ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre; m+1 = n+1  p-2 = 2  m = n  p = 4 3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3  k = 2 m =n 2 , p = 4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir.

? z) y, (x, ise 2 1 4 5 x - : Örnek = ú û ù ê ë é + z y

3 z 5 2 - -2 y -1 1 6 x 4 : Çözüm = Þ +

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ 1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özeliği vardır. 2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır.

3. Sıfır matrisi, toplama işleminin etkisiz elemanıdır. 4. matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi, matrisidir. A+(-A) =

Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi Tanım: matrisi verilmiş olsun. matrisine , matrisinin toplama işlemine göre tersi denir. Örneğin: matrisinin toplama işlemine göre tersi, matrisidir.

İKİ MATRİSİN FARKI Tanım : matrislerinin farkı,

MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun. k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir. C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir Örneğin: k=5 bir reel skalar dır. bulunur. 3 12 9 6 1 4 - 2 3. k.A : Çözüm matrisini k ve matrisi Örnek ú û ù ê ë é = sayısı için bulalım.

Skalarla Çarpmanın Özellikleri Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k1,k2 olsun. Her ve k.(A+B) = k.A + k.B (k1+ k2).A = k1.A + k2.A k1.(k2.A) = (k1.k2).A

? 2 3 1 ). 4 ( - 3. : Örnek = ú û ù ê ë é +

3 2 11 21 14 4 6 7 8 12 9 - : Çözüm x ú û ù ê ë é = +

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için ;1. matrisin sütun sayısı , 2. matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. olmak üzere; elemanları toplamıyla bulunan matrisine A ve B matrislerinin çarpımı denir ve biçiminde gösterilir.

Örnek: olduğuna göre A.B ve B.A’yı bulalım.

Çözüm: Buna göre A.B ve B.A birbirine eşit değildir.

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1.Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B  B . A 2. A  O ve B  O olduğu halde, A . B = O olabilir. ve olup; dır.

3. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde yutan elemandır. 4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır. 5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]p x r olmak üzere ; A.(B .C) = (A .B) . C dir.

A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]n x p olmak üzere ; 6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır. a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği; A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]n x p olmak üzere ; A.(B +C) = A .B + A . C dir. b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği; A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler, (A +B) C . = A .C + B . C olur.

7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k = R sayı ise, k. (A. B)=A. (k 7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir. 8. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir. Örnek: veriliyor.A.B=B.C olduğunu gösterelim.

O halde A. B=A. C dir. Dikkat edilirse , A. B =A O halde A.B=A.C dir. Dikkat edilirse , A.B =A.C iken , B , C’ye eşit değildir. Çözüm:

KARE MATRİSİN KUVVETİ Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. kN+ olmak üzere A0 = In , A1 =A, A2 = A.A , A3 =A.A2 , ..., Ak =A.Ak-1 dir.

BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A.B=B.A= koşulunu sağlayan n. Sıradan B kare matrisi varsa; B matrisine , A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir. A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir. A.A-1 = A-1.A =In dir. Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri olmak üzere , n. sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa,

2. n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, ve ise; 3. ise, dır. Eğer ad-bc=0 ise, yoktur.

BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ) Tanım: matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline getirmekle elde edilen matrisine A matrisinin devriği denir ve AT veya Ad ile gösterilir. matrisinin transpozu, Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar ise; 1. 2. 3.

( ) dir için . , 5 4 3 2 1 bulalım matrislerini A B ise ú û ù ê ë é - Teorem: ve matrisleri için, dir. Teorem: A tersi olan bir matris ise, dir. . , 5 4 3 2 1 bulalım matrislerini A B ise T ú û ù ê ë é - = ( ) dir için Örnek: Çözüm:

Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal 1. = A ise, A matrisine, simetrik matris denir. 2. = -A ise A matrisine, antisimetrik matris denir. 3. = ise A matrisine, ortogonal matris denir. Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun; Örnek: matrislerinin hangisinin simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim.

Çözüm: simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir. matrisi, antisimetrik matristir. Çünkü, AT = -A dır. Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır.

DETERMİNANTLAR Tanım:1x1 biçimindeki matrisinin determinantı, dir. Örneğin; A=[7] matrisi için dir. Tanım: 2x2 biçimindeki matrisinin determinantı dir.

olduğuna göre , yı hesaplayalım. 8 2 6 3 A Çözüm: : Örnek = ú û ù ê ë é - olduğuna göre , yı hesaplayalım. 3.8-(-2).(-6) = 24-12 = 12 bulunur. Tanım

ım. hesaplayal y ı A göre, oldu ğldu 4 - 5 1 2 3 : Örnek ú û ù ê ë é =

[ ] bulunur. 34 ) ( 30 4 2 . ). 1 .( 5 3 - A : Çözüm = +

MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN) Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, elemanının Minör’ü denir ve ile gösterilir. ifadesine, elemanının kofaktörü yada işaretli minörü denir. Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi olsun. olmak üzere, ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir.

Örnek: determinantını hesaplayalım. Çözüm: 3000=a dersek, olur. Buna göre, açılımını yapalım: =(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8 bulunur.

DETERMİNANT FONKSİYONU Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi Mn olsun. ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= ifadesine de A matrisinin determinantı denir. a ù é n nn 2 1 22 21 12 11 M Î ú û ê ë olmak üzere

Örnek: değerini bulalım. 4 2 3 1 A - =

Çözüm: = -1.(-8+2+2-6)+2.(4+1+1-3) = -1.(-10)+2.(3)=16 bulunur.

DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ 1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir. A karesel matris ise, dir. determinantı verilmiş olsun. Bu determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, dır. 2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır.

=0 dır. 3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır. 4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir. (Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır.)

ise dır. (1. Satır ile 2. Satır yer değiştirmiştir.) 5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir. ise olur. 6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar.

dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra eklenmiştir.) 7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.

Determinantı aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılırsa ; olur. 8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.

3. Sıradan bir determinantta a11.A21+a12.A22+a13.A23 = 0 dır. 9) Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur. ve 10) N. Mertebeden A ve B matrisleri için, dir.

EK MATRİS Tanım: n. mertebeden kare matrisi verilmiş olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ise ; matrisine, A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.

matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır. Örneğin; İşaretleri değişir. Yerleri değişir.

Ek Matris Özelliği Yukarıdaki özelliği, A= matrisi için gösterelim: =(ad-bc) .I A.Ek(A)=Ek(A).A=

A-1 Matrisinin Ek Matris Yardımıyla Bulunuşu: Teorem: A matrisi olan bir matris olmak üzere, ‘dır. İspat: A.Ek(A) =A.I eşitliğinin her iki tarafını, soldan A-1 ile çarpalım:

matrisinin tersini bulalım. olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım. Örnek: Çözüm:

SUNUM SONA ERMİŞTİR