The Calculation of Parametric NURBS Surface Interval Values by Neural Network Erkan ULKER & Ahmet ARSLAN Selçuk Üniversitesi, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü, Konya, Turkiye V International Workshop on Computer Graphics and Geometric Modeling, CGGM'2006, 28-31 Mayıs 2006, University of Reading, UK Part II, Lecture Notes in Computer Science, Springer Verlag, Berlin Heidelberg, Vol. 3992, pp. 247-254, 2006. (SCI-Expanded)

Anahatlar NURBS Yüzeyler Yapay Sinir Ağı Modeli Deneysel Sonuçlar Katkı Sonuçları Estetik görünümler için müşteri tercihlerinin hızla değişmesi sebebiyle, çoğu alandaki ürün tasarımlarında serbest yüzeylerin kullanımı artmaktadır. Müşteri isteklerini karşılamak için, Bilgisayar Destekli Tasarım/Üretim (BDT yada CAD/CAM) kullanımı modern endüstrilerde kaçınılmaz olmuştur. NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) yüzey BDT da oldukça yaygın ve gelişmiş para metrik yüzey tanımlama metodu olarak bilinir. Bununla birlikte, genelde oldukça basit bir yüzey türü içine dönüştürülmüş olduğu için NURBS yüzey ile ilgili koordinat hesapları oldukça karmaşıktır. Her bir yüzeyin matematiksel ifadesi diğerininkinden farklı olduğu için tam yüzey dönüşümü kolay değildir ve dönüştürme prosedürü daima yüzey verilerinin kaybedilmesini icap ettirir Para metrik NURBS yüzeylerin üç boyutlu koordinat değerleri iki boyutlu u ve v parametrelerinden elde edilmektedir. Yüzeyin oluşturulmasında kullanılan genel yaklaşım u ve v değerlerine sabit artışların verilerek modelin üretilmesidir. Parametrelere verilen sabit artışlara karşın üç boyutlu koordinatlar aynı oranda değişmemektedir ve yüzeyin görünüşünde istenmeyen büyüklükte kırıklıklara sebep olmaktadır. Çalışmada NURBS yüzeyin modellenmesi için bir yapay sinir ağı metodu sunulmuştur. Yapay sinir ağları(YSA) ise, insan beynindeki hücrelerin çalışma prensibini modelleyen bir teknik olarak ele alınmaktadır. Bir çok problemlerin, özellikle örüntü ve görüntü işleme problemlerinin çözülmesinde çok iyi sonuçlar vermektedir. Bu yöntem kullanılarak sinir ağı iyi derecede öğretilebilmektedir. Bir kez öğretilen ağ sonradan işlemleri çok hızlı bir biçimde yapabilmektedir Bu çalışmada, u ve v parametrelerine sabit artışlar verilerek elde edilmiş bir NURBS yüzeyin ara değerlerinin hesaplanması için geliştirilen bir sinir ağı modeline dayanarak üç boyutlu yüzey görüntülemek için alternatif bir metot tanımlanmaktadır.

NURBS ile Yüzey Modelleme Yüzey grid yapısında modellenirler. Gridin her bir hücresi yüzey yaması olarak adlandırılır. 3B yüzeyler 2B denklemlerle tanımlanırlar. (u,v) Yüzey üzerindeki her bir nokta kontrol noktalarının ağırlıklı toplamıdır. Yüzeylerin modellenmesinde yüzeyler şekilde de görüldüğü gibi üçgen yada dörtgen ağ şeklinde parçalara bölünürler. Bu parçaların her birisine yüzey yaması adı verilir. Diğer veri değişim formatlarında da olduğu gibi yüzey verilerini nokta olarak kaydetmek veri tabanının büyüklüğünü arttırdığı için yüzeylerin bu yamalarının her biri iki boyutlu para metrik denklemlerle elde edilirler. Bir Bezier yüzeye benzer şekilde, bir NURBS yüzey (m+1)×(n+1) denetim noktası ile tanımlanır. Matris formunda denklemi yazılabilir Tüm ağırlıkların toplamı 1’e eşittir Bir NURBS yüzey köşelerdeki dört kontrol noktası içinden geçmektedir. Bir kontrol noktasının taşınması noktaya en yakın 4X4 yüzey yamasını etkiler (Yerel Denetim). Konveks hull özelliği vardır. Bir NURBS yüzey denetim noktalarının tümünün dış bükey örtüsü içerisinde uzanır

Yüzey Yaması Yamalar u ve v parametreleri ile temsil edilirler. Birer adet u ve v değeri yüzey üzerinde bir noktayı temsil eder İki u ve v değeri ise yüzey üzerinde bir eğriyi temsil eder. İki boyutlu parametrik tanımlamada u ve v parametreleri 0-1 aralığında değişen değerler alırlar. Bu parametrelere verilen ara değerler yüzey üzerindeki noktaları ifade ederken, iki ayrı ara değer yüzey üzerinde uzanan bir eğriyi temsil eder. U1=0, u2=1, v1=0 ve v2=1 değerleri yüzeyin sınırlarını temsil etmektedir.

NURBS Yüzeyin Matematiksel Tanımı NURBS yüzey tanımlayan nitelikler P kontrol noktaları W ağırlıklar Ni,p (u), Nj,q(v) B-spline harmanlama fonksiyonları p ve q yüzey dereceleri U ve V düğüm vektörleri Şekilde parametrik denklemi görülen NURBS yüzeyler, denetim noktalarına ek olarak bazı parametrelerden oluşturulur, ama işlem sonunda tasarlanan parametrik şekil için arzu edilen esnekliği sağlar. NURBS şekilleri sadece denetim noktaları ile tanımlanmaz, aynı zamanda her bir denetim noktası ile ilgili ağırlıklar da gereklidir.

Yapay Sinir Ağları - Artificial Neural Networks (ANN) Çıkış katmanı Gizli katman Artificial Neural Network modelleri paralel ve yüksek hesaplama hızlarının gerekli olduğu yerlerde büyük bir potansiyele sahiptir. Von Neumann bilgisayarlarında olduğu gibi program komutlarının sırasal olarak icra edilmesi yerine ANN modelleri birçok hesaplama elemanının değişken aralıklarla birbirlerine bağlanmasını ve yoğun paralel işlemlerin yapılmasını öngören çeşitli varsayımlara dayandırılmaktadır. Genel olarak bir YSA modeli şekilde görüldüğü gibi n adet katman, her katmanda hesaplama elemanları ve katmanlar boyunca bu hesaplama elemanları arasındaki yoğun bağlantılardan meyudana gelmektedir. Giriş katmanı

YSA Modeli Tanımlanmış olan sinir ağının yapısı Şekil 1de gösterilmiştir. Ağ iki katmanda yapılandırılmıştır. İlk katman 2 nörona (G1,G2) sahiptir. İkinci katman 3 nörona (Ç1,Ç2,Ç3) sahiptir. İkinci katman bir şekil üreteci şeklinde iken ilk katmanın fonksiyonu bir anahtar nokta dağıtıcısı şeklindedir. Ağın girişi bias girişi 1 olan 3-boyutlu bir X=(u,v,bias) vektörüdür ve ağın çıkışı 3 boyutlu bir Y=(x,y,z) vektörüdür. İlk katmanın her bir siniri ile her bir giriş birbirine bire bir bağlı iken ilk katman ve ikinci katman tamamen birbirine bağlıdır. İlk katmanın m inci girişi ve n inci siniri arasında bağlantı kuvveti wmn ağırlığı ile gösterilmiştir. W ağırlık matrisi m X n ağırlık matrisinden oluşur. Benzer şekilde, ilk katmanın n inci çıkışı ve ikinci katman üzerindeki p inci sinir arasındaki bağlantı kuvveti vnp ile gösterilir, V ağırlık matrisi n X p liktir. Tasarlanan ağda m=3, n=4 ve p=3 dür. Yapay sinir ağları, insan beyni gibi bir öğrenme sürecine ihtiyaç duymaktadır. Tasarlanan YSA sürecinde u ve v artışlarına göre X,Y ve Z yüzey koordinat değerleri (4) denklemi ile hesaplanıp dosyaya kaydedilmekte ve bu (u,v değerlerine karşılık gelen X,Y,Z NURBS yüzey koordinatı) verilere göre nöronlar arasındaki bağlantıyı sağlayan ağırlıklar kullanılarak genelleştirme yapılmaktadır. İstenilen çıkışı elde etmek için öğrenme sürecinde öğrenme algoritmalarından geri yayınımlı öğrenme algoritması (GYA) kullanılmaktadır

Deneysel sonuçlar u v SolidWorks X Y SolidWork Z ANN Output 0.2 40 2 42 11 0.8 160 10 167 9 49 30 34 125 24 0.4 84 27 77 20 0.6 115 110 111 163 141 150 1 200 120 199 170 0.9 190 197 NURBS yüzeyi ile çalışmanın sonuçlarını test etmek için ticari SolidWorks 2004 programı ile üretilmiş şekil 2 de gösterilen dört farklı yüzey ele alınmıştır. Bu yüzeyler üretilirken u ve v artışlarına 0.1 artışları verilerek yüzey üzerindeki koordinatlar (S(u,v)) elde edilmiştir. Bu değerlere göre ağ eğitildikten sonra ağırlık değerleri GYA ile hesaplanmıştır. Aynı yüzeyler için daha sonra 0.01’in katları şeklinde u ve v değerleri verilerek yüzey koordinatları üretilmiştir. Yüzeyin para metrik denklemi ile bu artışlara göre elde edilen gerçek koordinatları ile önerilen metodun üretmiş olduğu koordinat değerleri kıyaslanmıştır ve bu yüzeylerden birisi için kıyaslama sonuçlarının bir kısmı Tablo 1 de verilmiştir.

Deneysel sonuçlar Test yüzey II Deneyler modelin esnek olduğunu ve arzulanan farklı yüzey geometrisini verme kabiliyetinde olduğunu göstermiştir. Model üretme zamanı göz önüne alındığında, ağın bir defa eğitilmesinden sonra bu yaklaşım yaygın kullanılan sabit u ve v artışı prensibine sahip algoritmalardan daha hızlı sonuç vermektedir. Solda gösterilen yüzey için YSA eğitimi süresince iterasyon sayısı ve kullanılan zaman arasındaki ilişki grafiği

Katkı sonuçları Üç boyutlu NURBS yüzeyin ara koordinatlarını elde etmek için bir yapay sinir yaklaşımı tanımlanmıştır. Üzerinde cepler bulundurmayan serbest şekilli NURBS yüzeyler ve farklı yamalardan oluşan çeşitli üç boyutlu NURBS modelleri, sabit aralıklarda değişen parametrelere göre elde edilen koordinatlara dayanarak ağı eğitme şeklinde tasarlanan bu metot kullanılarak üretilebilir. Deneysel sonuçlar modellenen yüzeyin görüntülenmesinde metodun alternatif bir simülasyon aracı olarak kullanılabileceğini göstermiştir . İleri ki çalışmalarda diğer yapay zeka teknikleri ile de böylesi yüzeylerin ara değerleri elde edilerek bir kıyaslama yapılabilir. Mevcut yapay sinir ağı metodu yerine amaca uygun başka bir sinir ağı metodu da kullanılabilir.