Başkent Üniversitesi Mühendislik Fakültesi MESAFE KISITLI ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİ İÇİN DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TABANLI SEZGİSEL BİR YÖNTEM İmdat KARA Tusan DERYA Başkent Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü / ANKARA YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI / ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ XXVI.ULUSAL KONGRESİ (3-5 Temmuz 2006) YA/EM 2006

Araç Rotalama Problemi Mesefa Kısıtlı Araç Rotalama Problemi SUNUŞ PLANI Araç Rotalama Problemi Mesefa Kısıtlı Araç Rotalama Problemi İki Ürün Akış Modeli Dönüştürülmüş Model Sezgisel Algoritma Sayısal Analizler Sonuç ve Öneriler YA/EM 2006

ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİ Gezgin Satıcı Probleminin uzantısı (NP zor problemler) Bir veya birden fazla depo Belirli sayıda müşteri (dağıtım veya toplama) Belirli sayıda araç YA/EM 2006

ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİ (devam) KISITLAR Her tur depodan başlayıp depoda sonlanacak Her müşteriye yalnız bir araç uğrayarak, hizmeti yerine getirecek Araç kapasitesi , tur uzunluğu (veya süresi) , uğrama zamanları vb. kısıtlar sağlanacak AMAÇ Toplam katedilen mesafeyi (maliyet) enküçüklemek. Toth and Vigo , 2002 YA/EM 2006

Ulaşım ve lojistik uygulamalarında Dağıtım ve toplama problemlerinde UYGULAMA ALANLARI Ulaşım ve lojistik uygulamalarında Dağıtım ve toplama problemlerinde Ring taşımacılığında Okul taşıtlarının güzergahlarının belirlenmesinde Uçakların rotalama problemlerinde Stok alanındaki malzeme toplama problemlerinde Gazete, su, posta vb dağıtım problemleri Şehirler arasında yapılacak seyahatlerin çizelgelemesi YA/EM 2006

MESAFE KISITLI ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİ Golden , Magnanti ve Nguyen , 1977: Üç indisli model Laporte , Decrochers ve Nobert (1984): İki indisli ,üstel sayıda kısıtlı Laporte , Nobert ve Decrochers (1985): İki indisli ,üstel sayıda kısıtlı Kulkarni ve Bhave(KB) ,1985 : İki indisli , polinom sayıda kısıtlı Waters 1988 , Ürün Akış modeli , iki indisli , polinom Decrochers ve Laporte , 1991 : Yeni model , polinom Li ,Levive Desrochers , 1992 : İki indisli , polinom Naddef , 1994 : KB’de hata ve düzeltme Kara ,2006 : Yeni ürün akış modelleri , iki indisli , polinom YA/EM 2006

ARAŞTIRMADA CEVAP ARANAN SORULAR Araç rotalama problemleri NP-zor olduğundan son yıllarda araştırma ve yayınlar doğrudan problemin çözümü odaklı sezgiseller üzerinde odaklanmaktadır. Problemin matematiksel modelleri ilgi çekmez duruma gelmiştir. Problemin matematiksel modelleri üzerinde çalışılarak bu modellere dayanan sezgisel algoritmalar geliştirilebilir mi? YA/EM 2006

FORMULASYON G = ( V ,A ) V = { 0 , 1 , 2 ,………. , n } , {0} : Depo A = { (i ,j) | i≠j , i , j V dij : ( i , j ) ayrıtının uzaklığı C = [ dij ] uzaklık matrisi (Simetrik / Asimetrik) D = Bir aracın izleyebileceği en büyük tur uzunluğu m = araç sayısı yij : i’den j’ye geçilmesi halinde toplam tur uzunluğu sij : i’den j’ye geçilmesi halinde katedilebilir kalan mesafe 1 , (i ,j) ayrıtı tur üzerinde xij = 0 , diğer durumlarda YA/EM 2006

İKİ ÜRÜN AKIŞ MODELİ (Kara,2006) YA/EM 2006

İKİ ÜRÜN AKIŞ MODELİ (devam) Kısıtları altında YA/EM 2006

DÖNÜŞTÜRÜLMÜŞ MODEL YA/EM 2006

DÖNÜŞTÜRÜLMÜŞ MODEL (devam) Kısıtları altında YA/EM 2006

BAZI GÖZLEMLER Dönüştürülmüş model ile iki ürün akış modelinin DP gevşetilmiş değerleri aynıdır. Dönüştürülmüş modelin (16) nolu kısıtı gözardı edildiğinde, model kısıt sayısı (4n+2) yani o(n) olan bir DP dönüşür. Dönüştürülmüş modelin kısıt gevşetilmiş çözümleri (16) nolu kısıtı sağladığında, problemin bit uygun çzümü bulunmuş olur. YA/EM 2006

SEZGİSEL ALGORİTMA A0: V = { 0,1,2,3,…..,n } ve {0} depo. Uzaklık matrisi: C=[dij] Bir turdaki uzaklık üst sınırı: D Doğrusal karar modeli (M0) İzin verilen en fazla işlem süresi :T0 A1: Eldeki doğrusal programlama modelini ( M0) çözerek, her ( i , j) için, değerlerini hesapla. Tüm ( i , j ) için Dij ‘ler 0 veya D ise DUR, eniyi çözüm. Değilse, kümesini oluşturup, A2’ye git. YA/EM 2006

SEZGİSEL ALGORİTMA (devam) A2: Eldeki doğrusal programlama modeline, kısıtlarını ekleyerek, 0-1 tamsayılı modeli (M1) çöz. Uygun çözüm alanı boş ise A3’e git, değilse dur, uygun çözüm. YA/EM 2006

SEZGİSEL ALGORİTMA (devam) A3: CPU > T0 ise dur, değilse M1 ‘deki , kısıtlarını kaldır ve modeli yeni haliyle M1 olarak alıp çözerek, kümesini oluştur. S1 yerine S1 U S2 koy ve A2’ye git. YA/EM 2006

En iyi değerden sapma (%) En iyi değerden sapma (%) SAYISAL ANALİZ n : 15 ve 25 düğüm m : n / 5 dij~[50,99] n=15 m=3 D= 200 SİMETRİK F2 SEZGİSEL Ort (sn) 4,81 0,75 Std Sapma 13,57 0,34 En iyi değerden sapma (%) 0,92 (6 tanesi opt) n=25 m=5 D= 250 SİMETRİK F2 SEZGİSEL Ort (sn) 43,14 7,93 Std Sapma 57,61 5,99 En iyi değerden sapma (%) 1,69 (3 tanesi opt) F2: Kara 2006, tek ürün akış modeli YA/EM 2006

TSPLIB (http://www. or. deis. unibo Tek Ürün Akış Modeli (Kara) Sezgisel En iyi değerden sapma (%) D22-04G Opt 313 Süre (sn) 4.50 1.83 - D23-03G 578 588 1.7 185.33 6.74 D30-03G 396 399 0.8 569.30 40.44 YA/EM 2006

SONUÇ VE ÖNERİLER Sezgisel algoritma içerisinde kullanılan dönüştürülmüş iki ürün akış modeli polinom kısıt sayısına sahip olduğundan ve çok az sayıda tamsayı karar değişkenleri bulundurduğundan dolayı, kısa sürede en iyi değere yakın sonuçlar verdiği gözlenmiştir. Özellikle rassal problemlerde elde edilen sonuçlar, önerilen sezgiselin gerçek hayat problemlerinde doğrudan kullanılabileceğinin işaretlerini vermektedir. Tasarlanan kurucu sezgisel algoritma ile bulunan çözüm meta-sezgisellerin başlangıç uygun çözümü olarak kullanılabilir. Önerilen yaklaşımla, hiç tamsayı değişken kullanmadan uygulanabilir algoritma tasarımı çalışması devam etmektedir. YA/EM 2006

KAYNAKLAR Achuthan, N.R. and Caccetta, L.: Integer Linear Programming Formulation for Vehicle Routing Problem. European Journal of Operational Research 52 (1991) 86-89 Desrochers, M. and Laporte, G.: Improvements and Extensions to the Miller-Tucker-Zemlin Subtour Elimination Constraints. Operations Research Letters 10 (1991) 27-36 Golden, B.L., Magnanti, T.L. and Nguyen, H.Q.: Implementing Vehicle Routing Algorithms. Networks 7 (1977) 113-148 Kara, İ. : Flow Based Integer Linear Programming Formulations of Distance Constrained Vehicle Routing Problems. Working Paper, Başkent University, Department of Industrial Engineering, (2006). Kulkarni, R.V. And Bhave, P.R. : Integer Programming Formulations of the vehicle Routing Problems, EJOR 20 (1985) 58-67 Laporte, G., Desrochers M. and Nobert, Y.: Two Exact Algorithms for Solving the Distance Constrained Vehicle Routing Problem. Networks 14 (1984) 161-172 Laporte, G., Nobert, Y. and Desrochers, M.: Optimal Routing Under Capacity and Distance Restrictions. Operations Research 33 (1985) 1050-1073. YA/EM 2006

Li, C. -L. , Levi, D. S. and Desrochers, M Li, C.-L., Levi, D. S. and Desrochers, M.: On the Distance Constrained Vehicle Routing Problems. Operations Research 40 (4) (1992), 790-799 Naddef, D.: A remark on “Integer Linear Programming Formulation for a Vehicle Routing Problem” by N.R. Achutan and L. Caccetta, or How to Use Clark and Wright Savings to Write Such Integer Linear Programming Formulations. European Journal of Operational Research 75 (1994) 238-241 Toth, P. and Vigo, D. (editors):. The Vehicle Routing Problem. SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, SIAM,( 2002) Waters, C.D.J.: Expanding the Scope of Linear Programming Solutions for Vehicle Scheduling Problems. Omega 16(6) (1988) 577-583 YA/EM 2006

TEŞEKKÜR EDERİZ… SORULAR…??? YA/EM 2006