DERS 11 BELİRLİ İNTEGRAL (ALAN)

olmak üzere olur. [a,b] aralığında y = f(x) eğrisi altında kalan bölgenin alanı yaklaşık olarak; dır.

[a,b] aralığı ne kadar çok parçaya bölünürse alanı, bölgenin alnının gerçek değerine o kadar yakın olur. y = f(x) eğrisi altında kalan [a,b] aralığı sonsuz parçaya bölünürse olur. ile gösterilir. Dolaysıyla; dır.

İki eğrinin kesim noktalarının apsisleri x1 =a ve x2 = b ise bu eğriler tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulmak için, bölgeyi üstten sınırlayan eğrinin denkleminden bölgeyi alttan sınırlayan eğrinin denklemi çıkarılarak a dan b ye integral alınır.

İki eğrinin kesim noktalarının ordinatları y1 =c ve y2 = d ise bu eğriler tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulmak için, bölgeyi sağdan sınırlayan eğrinin denkleminden bölgeyi solan sınırlayan eğrinin denklemi çıkarılarak c dan d ye integral alınır.

Örnek: y = 2x ve x=3 doğruları ile x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim.

Örnek: y = x2 parabolü ve x=2 doğrusu ile x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim.

Örnek: y = x2- 4x parabolü ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim.

DÜZGÜN BÖLGE x-eksenine dik doğrular bir bölgeyi alttan ve üstten sınırlayan eğrilerin her birini ayrı ayrı birer noktada kesiyorsa bu bölge x-eksenine göre düzgündür denir. x-eksenine göre düzgün bir bölgenin alanı hesaplanırken x’e göre integral alınır ve x’in sınırları kullanılır. y-eksenine dik doğrular bir bölgeyi sağdan ve soldan sınırlayan eğrilerin her birini ayrı ayrı birer noktada kesiyorsa bu bölge y-eksenine göre düzgündür denir. y-eksenine göre düzgün bir bölgenin alanı hesaplanırken y’ye göre integral alınır ve y’nin sınırları kullanılır.

Örnek: x = y2- 2y parabolü ile y ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim. Bu bölge y eksenine göre düzgündür

Örnek: y = x2- 1 parabolü ve ile y = x+1 doğrusu tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim. Bu bölge x eksenine göre düzgündür

Örnek: y = x2- 1 parabolü ve ile y = 2x-1 doğrusu tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim. Bu bölge hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgündür x eksenine göre düzgün alalım.

y eksenine göre düzgün alalım.

Örnek: Aşağıda verilen A1 ve A2 bölgelerinin alanlarını hesaplayınız. Çözüm: Her iki bölge hem x hem de y-eksenine göre düzgündür. y-eksenine göre düzgün alalım.

x-eksenine göre düzgün alalım. Fonksiyonlarımız y = f(x) şeklinde olmalıdır.

Aşağıda verilen A1 ve A2 bölgelerinin alanlarını hesaplayınız. Örnek: Çözüm: A1 x-eksenine, A2 ise hem x hem de y-eksenine göre düzgündür. A2 yi y-eksenine göre düzgün alalım.

x = y2 parabolü ve ile x+ y = 6 doğrusu tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Örnek: Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim. Bu bölge y eksenine göre düzgündür

y = x2 -2x ile y = -x2 +4x+8 parabolleri tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Örnek: Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim. Bu bölge x-eksenine göre düzgündür

Örnek: eğrisi ile doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız. Çözüm: Kesim noktalarını bulalım ve bölgeyi çizelim.

Örnek: 2 1 x y y = -x + 1 y = x2 - 1

Örnek: 1 -1 x y y = x2 – 2x

Örnek: 2 1 x y y = x2 – 2x A

ÖDEVLER Sınırları aşağıda belirtilen bölgeleri çiziniz ve alanlarını hesaplayınız.