Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm 1 1.1. Giriş 1.2. Diferansiyel denklem biçimleri 1.3. tipi

KAYNAKLAR Aydın, M., Gündüz, G., Kuryel, B. (1987). Diferansiyel Denklemler ve Uygulamaları. Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Ders Kitapları Yayınları No: 14. Boyce, W.E., DiPrima, R.C. (1992). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Fifth edition. John Wiley & Sons, Inc. Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 2. Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 5.

KAYNAKLAR Er, U. (1985). Uygulamalı Diferansiyel Denklemler. Anadolu Üniversitesi. Lambe, C.G., Tranter, C.J. (1964). Differential Equations for Engineers and Scientists. The English Universities Press Ltd. Rainville, E.D., Bedient, P.E. (1989). Elementary Differential Equations. Seventh edition. Macmillan Publishing Company. Spiegel, M.R. (1965). Theory and Problems of Laplace Transforms. Schaum Publishing Company.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.1. Giriş Bu bölümde diferansiyel denklem kavramı açıklanacak ve konuya açıklık getirmek amacıyla bilinen bir örnek ele alınacak ve bu örnek yardımıyla diferansiyel denklem oluşturulması sağlanacaktır.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.2. Diferansiyel Denklem Biçimleri Bir x değişkeni ile onun fonksiyonu olan y ve bu fonksiyonun türevleri arasında mevcut olan F (x, y, y', ..., y(n)) = 0 (1.1) denklemine diferansiyel denklem denir. Konuya açıklık getirmek için aşağıda sunulan örneği göz önüne alalım.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek: 1.1. Kütlesi m olan bir cisim yerçekimi etkisi altında serbest düşme yapmaktadır. Serbest olarak düşen bu kütlenin üzerine havanın direnci etki etmektedir. Havanın direnci düşen cismin hızının karesiyle doğru orantılıdır. Bir t zamanı düştüğünde cismin (v) hızını ve düştüğü mesafeyi bulunuz.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Şekil 1.1.’den de görüleceği gibi kütlenin üzerine iki kuvvet etki etmektedir: Yerçekimi kuvveti : mg Havanın direnci : kmv2 Burada k bir sabit ve g yerçekimi kuvvetidir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Cisim yere doğru düştüğünden mg > kmv2’dir. Dolayısıyla cisme etki eden net kuvvet, F = mg – kmv2 (1.2) dir. F = m  a (1.3) olduğundan (m, kütle ve a da ivmeyi belirtmektedir).

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.4)

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.4) ve dolayısıyla (1.5) elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu denklemde (eşitlikte) diferansiyel katsayısı bulunduğundan denklem diferansiyel denklem olarak bilinmektedir. Bu diferansiyel denklemin çözümü sonucunda bir t anındaki v hızını elde etmek mümkün olacaktır.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler s’in cismin t zaman kadar düşmesi sonucu alınan mesafeyi belirttiğini varsayalım. Bu mesafeyi bulmak için ifadesi (1.5) eşitliğinde yerine konursa bu eşitlik, (1.6) şekline dönüşür.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bir diferansiyel denklemde en yüksek dereceden türev y(n) ise denkleme n’inci dereceden diferansiyel denklem denir. Örneğin, (1.5) eşitliğinde en yüksek türev birinci dereceden olduğundan bu eşitliğe birinci dereceden diferansiyel denklem ve (1.6) eşitliğinde en yüksek dereceden türev ikinci dereceden olduğundan bu eşitliğe ikinci dereceden diferansiyel denklem denir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Verilen örnekte bağımlı değişkenler yol s, s = f (t) ve hız v, v = g (t) sadece tek bir t bağımsız değişkeninin fonksiyonları olduğundan ordinary diferansiyel katsayılarından dolayı (1.5) ve (1.6) diferansiyel denklemleri adi (ordinary) diferansiyel denklemler olarak bilinmektedir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eğer z bağımlı değişkeni x ve y gibi iki bağımsız değişkenin fonksiyonu ise örneğin, z = f (x, y) ise, z’nin x ve y değişkenlerine göre türevleri alınırsa, ve benzer şekilde, kısmi diferansiyel katsayıları elde edilir. Dolayısıyla bu tür katsayıları içeren diferansiyel denklemlere de kısmi diferansiyel denklemler denir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örneğin, (1.7) ve (1.8) denklemleri kısmi diferansiyel denklemler olarak bilinmektedir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Diferansiyel denklemlerin çözümünde tümünün çözümünü elde edebilecek standart bir yöntem mevcut değildir. Fakat belirli tipler için özel yöntemler vardır. Ele alınacak yöntemler sonucunda y bağımlı değişkeninin x bağımsız değişkeni cinsinden analitik çözümü elde edilecektir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Ancak bazı durumlarda analitik çözümün elde edilmesi mümkün olmamaktadır. Bu durumlarda Nümerik yöntemler uygulanarak bağımlı değişkene ilişkin yaklaşık bir sonuç elde edilmektedir. İzleyen kısımlarda değişik tip diferansiyel denklemler için çözüm yöntemleri örneklerle açıklanmıştır.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.3. Bu tür diferansiyel denklemlerde ardarda integral işlemi bizi sonuca götürür.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.2. (1.9) diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. a bir sabit değeri ifade etmektedir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinin x’e göre integrali alınırsa,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinin x’e göre integrali alınırsa, (1.10) (A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x’e göre integrali alınırsa,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinin x’e göre integrali alınırsa, (1.10) (A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x’e göre integrali alınırsa, (1.11) (B bir sabit) bulunur.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Elde edilen bu ifadenin x’e göre bir kez daha integrali alınırsa, (1.12) elde edilir. Bu ifade verilen (1.9) diferansiyel denkleminin çözümüdür ve bu çözüm A, B, C gibi sabitleri içerdiğinden genel çözüm olarak bilinir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13)

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13) (1.14)

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13) (1.14) (1.15)

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden bulunur.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden bulunur. Elde edilen bu değerler (1.12) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir. Bu (1.9) nolu diferansiyel denklemin özel çözümüdür. Özel çözüm olarak belirtilmesinin nedeni, başlangıç koşulları değiştirildiğinde A, B, C değerlerinin de bu koşullara göre değişmekte olmasından dolayıdır.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Aşağıda verilen diferansiyel denklemlerin genel veya koşullar veriliyorsa özel çözümlerini elde ediniz. Örnek 1.3.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Aşağıda verilen diferansiyel denklemlerin genel veya koşullar veriliyorsa özel çözümlerini elde ediniz. Örnek 1.3.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Aşağıda verilen diferansiyel denklemlerin genel veya koşullar veriliyorsa özel çözümlerini elde ediniz. Örnek 1.3.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.4.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.4.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.4.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.4.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.4. Bu son eşitlikten

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.4. Bu son eşitlikten

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.4. Bu son eşitlikten

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu son ifadenin integrali alınırsa

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu son ifadenin integrali alınırsa elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.5. Kısmi integral yöntemi uygulanırsa

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.5. Kısmi integral yöntemi uygulanırsa

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.5. Kısmi integral yöntemi uygulanırsa

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.6.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.6. eşitliğinden

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.6. eşitliğinden elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu son ifadenin integrali alınırsa

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu son ifadenin integrali alınırsa integralinin sonucu olarak genel çözüm

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir. Bu ifadenin sadeleştirilmesi sonucunda genel çözüm olarak bulunur.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir. Bu ifadenin sadeleştirilmesi sonucunda genel çözüm olarak bulunur. Burada ’dir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.7. diferansiyel denklemi ve x = 0 için y = 0 ve koşulları verilmektedir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.7. diferansiyel denklemi ve x = 0 için y = 0 ve koşulları verilmektedir. Önce genel çözümü elde edelim.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden genel çözümü elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinde konursa eşitliğinden

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinde konursa eşitliğinden ifadesinde konursa ve dolayısıyla elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinde konursa eşitliğinden ifadesinde konursa ve dolayısıyla elde edilir. A ve B sabitlerine ilişkin bu değerler genel çözümde yerine konursa özel çözümü bulunur.