BASINÇ VE AKIŞKAN STATİĞİ BÖLÜM 3: BASINÇ VE AKIŞKAN STATİĞİ

BASINÇ NEDİR? Bir akışkan tarafından birim alana uygulanan normal kuvvete basınç denir Basınç birimi N/m2 olup buna pascal (Pa) denir. 1 kPa = 103 Pa 1 MPa = 106 Pa 1 bar = 105 Pa 1 psi = 0.069 bar Binek otomobil lastiği yaklaşık 30 psi = 2 bar

Etkin, mutlak ve vakum basıncı

Bir Noktadaki Basınç Akışkan içerisinde herhangi bir noktadaki basınç her yönde aynıdır. Basıncın büyüklüğü var, ancak yönü yoktur. Dolayısıyla skaler bir büyüklüktür.

Basınç derinlikle nasıl değişir? Basınç, akışkan ağırlığının bir sonucudur ve yerçekimi bulunan bir ortamda sadece düşey yönde değişir. Basıncın derinlikle değişimi için yandaki akışkan kütlesine denge şartı uygulanırsa, O halde basınç derinlikle doğrusal olarak artar. Basınç yatay yönde değişmez.

Basıncın derinlikle değişimi Bir sıvı içerisindeki basınç kabın şeklinden bağımsızdır.

Pascal İlkesi Kapalı bir kaptaki akışkana uygulanan dış basınç, akışkan içerisinden her noktadaki basıncı o oranda artırır. Pistonları aynı seviyede alırsak: Burada A2/A1 oranına ideal mekanik fayda adı verilir.

Manometreler Akışkan içerisinde Dz kadarlık bir yükseklik farkı DP/rg büyüklüğüne karşılık gelir. Bu ilkeye göre tasarlanmış düzenek veya cihazlara manometre denir. Tipik bir manometre yandaki gibidir. Büyük basınçlar için yükseklikten tasarruf etmek amacıyla civa gibi yoğun akışkanlar kullanılır.

Çok Tabakalı Akışkanlar Her bir sütunun basıncı DP = rgh ifadesinden hesaplanır. Basınç aşağı inildikçe artar (+), yukarı çıkıldıkça azalır (-). Aynı akışkanın iki noktası aynı seviyedeyse, bu iki noktanın basınçları aynıdır. Böylece bir noktadan başlayıp rgh terimini aşağı inildikçe ekleyerek, yukarı çıkıldıkça çıkararak istenen noktanın basıncı hesaplanabilir:

Basınç Düşüşünün Hesaplanması Basınç düşüşünün ölçümü en iyi manometre ile yapılır. 1 noktasından başlanarak manometre içinden 2 noktasına gelinir. Bu esnada inerken (+) çıkarken (-) işaret kullanılarak P1-P2 hesaplanır. Borudaki akışkan gaz ise, r2>>r1 ve P1-P2= rgh olur.

Barometre Barometreler açık hava basıncını ölçmede kullanılır. Bu yüzden barometre basıncına atmosfer basıncı da denir. C noktasındaki civa buharının basıncı çok küçüktür ve sıfır alınabilir. Dolayısıyla akışkan sütununun ağırlığı alttan etkiyen atmosferik basınç kuvveti ile dengelenmelidir. Atmosfer basıncı yükseklere çıkıldıkça düşer ve bunun birçok etkisi olur: pişirme süresi, burun kanaması, motor performansı, uçakların performansı vb..

YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER Atatürk Barajı (Şanlıurfa)

DÜZ YÜZEYLER Düz yüzeye gelen hidrostatik kuvvetler bir paralel kuvvetler sistemi oluşturur. Amacımız bu tür yüzeylere gelen hidrostatik kuvvetleri ve etki noktalarını (basınç merkezi BM) belirlemektir. Yüzeyin her iki yanına da etkimesi halinde atmosfer basıncının etkisi dikkate alınmaz. Böylece sadece etkin basınçla çalışmış oluruz. Şekil 3-24

Düz Yüzeye Gelen Kuvvet Plaka üzerinde herhangi bir noktadaki basınç Ağırlık merkezinin tanımından:

Bileşke Kuvvet Homojen (sabit yoğunluğa sahip) bir sıvıya tamamen daldırılan düz bir yüzey üzerine etki eden bileşke kuvvet, yüzeyin kütle merkezindeki basınç ile yüzeyin alanının çarpımına eşittir (Şekil 3–27).

Bileşke Kuvvetin Yeri Bileşke kuvvetin etki çizgisi ile yüzeyin kesişme noktasına BM denir. Yüzeyin kütle merkezi ile BM, alan yatay olmadıkça üst üste çakışmaz. BM, moment alınarak bulunur: Alan 2. momenti veya alan atalet momenti

BM’nin hesabı Çeşitli kaynaklarda verilen atalet momentleri alanın kütle merkezinden geçen eksene göre tanımlıdır (burada ise eksen takımı alanın kütle merkezinden geçmemektedir) Ancak Paralel Eksen Teoremi ile bu sorun da kolaylıkla aşılabilir: Böylece BM: Ancak ise;

Bazı düz yüzeyler ve özellikleri

Basınç Prizması: Geometrik yol Düz bir yüzey üzerine etki eden kuvvetler, tabanı (sol yüz) yüzeyin alanı, yüksekliği de basınç olan bir hacim meydana getirir. Bu prizmanın hacmi, istenen bileşke kuvveti, kütle merkezinin yüzey üzerindeki izdüşümü ise bu kuvvetin etki noktasını verir.

Bazı Özel Durumlar

Örnek: Batmış Bir Arabanın Kapısına Etkiyen Hidrostatik Kuvvet Ağır bir araba, kaza sonucu göle uçarak tekerlekleri üzerinde gölün tabanına çökmüştür (Şekil 3–31). Arabanın kapısı 1.2 m yüksekliğinde ve 1 m eninde olup üst kenarı suyun serbest yüzeyinden 8 m aşağıdadır. Kapı üzerindeki hidrostatik kuvveti ve basınç merkezinin konumunu belirleyerek sürücünün kapıyı açıp açamayacağını tartışınız.

Kabuller 1 Göl tabanı yataydır. 2 Yolcu kabini içeri su sızdırmayacak şekilde iyi yalıtılmıştır. 3 Arabanın kapısı dik bir dikdörtgensel plaka olarak düşünülebilir. 4 İçeri su girmediği için kabin içerisindeki basınç atmosferik olarak kalmakta ve dolayısıyla içerdeki havanın sıkışması söz konusu değildir. Bu yüzden, kapının her iki tarafına da etkimesinden ötürü atmosferik basınç hesaplamalarda dikkate alınmaz. 5 Arabanın ağırlığı, üzerine etkiyen kaldırma kuvvetinden daha fazladır.

Çözüm

EĞRİSEL YÜZEYLER Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin yatay bileşeni, yüzeyin düşey izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvete eşittir (hem büyüklük hem de etki çizgisi olarak). Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni, yüzeyin yatay izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvet ile akışkan bloğunun ağırlığının toplamına (zıt yönde etkiyorsa, farkına) eşittir.

Eğrisel Yüzeyler Eğrisel yüzey sıvı üzerinde kalıyorsa, sıvı ağırlığı ve hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni zıt yönlerde etkir Basınç kuvvetlerinin yüzeye dik olması ve hepsinin de merkezden geçmesinden ötürü, dairesel bir yüzey üzerine etki eden hidrostatik kuvvet daima dairenin merkezinden geçer.

Çok tabakalı akışkanların düz yüzey üzerine etkisi Çok tabakalı bir akışkan içerisinde dalmış bir yüzey üzerindeki hidrostatik kuvvet, farklı akışkanlar içerisinde kalan yüzeyleri ayrı ayrı göz önüne almak suretiyle belirlenebilir

Örnek 3-9 A noktasından mafsallı 0.8 m yarıçapında uzun bir silindir, Şekil 3–36’da görüldüğü gibi otomatik kapak olarak kullanılmakta olup su seviyesi 5 m’ye ulaştığında kapak A noktasındaki mafsal etrafında açılmaktadır. (a) Kapak açıldığında silindir üzerindeki hidrostatik kuvveti ve etki çizgisini ve (b) silindirin 1 metre uzunluğunun ağırlığını belirleyiniz.

Örnek 3-9: ÇÖZÜM Yatay kuvvet: Düşey kuvvet:

Örnek 3-9: ÇÖZÜM Akışkan bloğunun 1 m uzunluğunun ağırlığı (aşağı yönlü): Düşey yöndeki net kuvvet: Bileşke kuvvet: Kapak açılmak üzereyken tabanda tepki kuvveti yoktur. Mafsala göre moment alınarak;

Kaldırma Kuvveti ARCHIMEDES İLKESİ Bir akışkan içerisinde daldırılan cisim üzerine etki eden kaldırma kuvveti, cisim tarafından yeri değiştirilen akışkanın ağırlığına eşittir ve bu kuvvet, yer değiştiren hacmin kütle merkezi boyunca etkir. Yüzen Cisimler:

Örnek 3-40: Hidrometre (a) Bir sıvının bağıl yoğunluğunu, saf suya karşılık gelen işaretten itibaren ∆z mesafesinin fonksiyonu olarak veren bir bağıntı elde ediniz. (b) 1 cm çapında ve 20 cm boyunda olan bir hidrometrenin saf su içerisinde yarısı batmış olarak yüzmesi için (10 cm çizgisinde) içerisine konulması gereken kurşun kütlesini belirleyiniz. Önce suda sonra da sudan daha hafif bir sıvıda yüzme şartı yazılır ve birbirine eşitlenirse:

RİJİT CİSİM HAREKETİ Bu tür bir harekette kayma gerilmesi oluşmaz. Dolayıyla akışkana etkiyen yalnızca kütle ve basınç kuvvetleridir. Sadece z yönü için bu kuvvetlerin gösterildiği diferansiyel hacim elemanı alalım ve Newton’un 2. yasasını uygulayalım:

Rijit Cisim Hareketi Toplam yüzey (basınç) kuvveti: Kütle kuvveti: TEMEL DENKLEM

Özel Durumlar: Özel Durum 1: Statik haldeki akışkanlar Denklemin açık hali: Özel Durum 1: Statik haldeki akışkanlar Özel Durum 2: Serbest düşme

Doğrusal Yörünge Üzerinde Sabit İvmeli Hareket Doğrusal bir yörünge üzerindeki hareketi xz-düzleminde inceleyeceğiz P=P(x, z)=?:

Doğrusal hareket Sonlu büyüklükler cinsinden iki nokta arasındaki basınç farkı: Veya; Orijin (z= 0 ve x = 0) noktasındaki basınç alınırsa, herhangi bir noktadaki basınç;

Yüzeyin eğiminin belirlenmesi 1 ve 2 noktalarının her ikisi de serbest yüzeyde seçilirse dP = 0 olacaktır. Buradan, Bu tür hareketlerde de sıvı kütlesinin korunduğu unutulmamalıdır.

Örnek 3-12 80 cm yüksekliğinde ve 2 m  0.6 m kesit alanında kısmen suyla doldurulmuş bulunan bir balık tankı bir kamyonun arkasında taşınacaktır (Şekil 3–52). Tank 0 km/h’den 90 km/h hıza 10 saniyede ivmelenmektedir. Bu ivmelenme sırasında tanktan su boşalması istenmemesi halinde, tanktaki başlangıç su yüksekliğini belirleyiniz. Tankın uzun veya kısa kenarının hangisinin hareket doğrultusuyla paralel olarak hizalanmasını önerirsiniz?

Çözüm Tanker sadece x-yönünde ivmelenmektedir. Durum 1: Uzun kenar hareket doğrultusunda: Durum 2: Kısa kenar hareket doğrultusunda:

Silindirik Kapta Dönme

Yüzeyin şekli Serbest yüzeyde dP = 0 alınırsa: Serbest yüzey paraboliktir !.. Şekilde r = 0 için z = h = C olduğundan, c 1

Oluşan hacim ve özellikleri Taşma olmaması halinde (son hacim) = (ilk hacim) olacağından; Böylece en düşük derinlik: Yüzeyin denklemi: Maksimum yükseklik farkı:

Basınç dağılımı Eğer (r, z) = (0, 0) noktasındaki basınç P alınır ve 2 noktası herhangi bir nokta olarak düşünülürse;

ÖRNEK 3-13 Bir sıvının dönme sırasında yükselmesi Şekil 355’te gösterilen 20 cm çapında, 60 cm yüksekliğindeki düşey silindir, yoğunluğu 850 kg/m3 olan bir sıvıyla 50 cm yüksekliğine kadar kısmen doldurulmuştur. Silindir sabit bir hızla döndürülmektedir. Sıvının kap kenarlarından taşmaya başlayacağı dönme hızını belirleyiniz

ÇÖZÜM Dönen düşey silindir tabanının merkezini orijin (r = 0, z = 0) alındığında sıvı serbest yüzeyinin denklemi; Buna göre kap çeperindeki su yükselmesi r = R alınarak, Su dökülme seviyesine ulaştığında z = 60 cm = 0.60 m olacağından; Kap tabanının orta noktasının kuru kalması için devir sayısı ne olmalı dersiniz?

EES Ne İşe Yarar? T, K µ, Pa · s 273.15 1.787  10-3 278.15 1.519  10-3 283.15 1.307  10-3 293.15 1.002  10-3 303.15 7.975  10-4 313.15 6.529  10-4 333.15 4.665  10-4 353.15 3.547  10-4 373.15 2.828  10-4 Örnek 2-72 Suyun dinamik viskozitesinin mutlak sıcaklık ile değişimi yukarıdaki tabloda verilmiştir. Tablodaki değerleri kullanarak viskozite için  = (T) = A + BT + CT2 + DT3 + ET4 formunda bir bağıntı geliştiriniz. Geliştirdiğiniz bağıntıyı kullanarak suyun 50C’de 5.468  10-4 Pa  s olması gerektiği bildirilen viskozitesini hesaplayınız. Elde ettiğiniz sonucu  = D  eB/T ile verilen Andreas denkleminin sonucuyla karşılaştırınız (bu ifadedeki D ve B değerleri, tablodan verilen viskozite verileri kullanılarak, bulunacak olan sabitlerdir).

Adım 3: “Plot” menüsünden “X-Y plot” seç. ÇÖZÜM Adım 1: EES ekranında mu = a+T şeklinde rastgele bir fonksiyon tanımla (mu=viskozite, a=katsayılar, T = sıcaklık) Adım 2: Tables menüsünden “new parametric table” seç ve verilen tablo değerlerini iki sütun halinde gir. Adım 3: “Plot” menüsünden “X-Y plot” seç. Adım 4: “Plot” menüsünden “curve-fit” seç = 0.489291758 - 0.00568904387T + 0.0000249152104T2 - 4.8615574510-8T3 + 3.5619807910-11T4  = 0.000001475*EXP(1926.5/T) Andreas denklemi

Eksenleri belirliyoruz.