Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 9.HAFTA İÇERİĞİ -

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Denklem takımını eş zamanlı olarak sağlayan x1, x2,…xm değerlerinin bulunması doğrusal (lineer) cebirsel denklemlerinin çözümü olarak adlandırılır. . y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bu denklemler: ??? b3 şeklinde ifade edilebilirler. Burada a’lar katsayı, b’ler sabitler, m bilinmeyen sayısı, n de denklem sayısıdır. a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca . x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Çözüm için gereken şart n=m olmalıdır. Bu durumda çözüm matrisi [A], boyutu n kareye eşit bir katsayılar matrisidir. A12 ve an2???? . y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü sabitlerden oluşan boyutu (n,1) olan bir sütun vektör a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca ise bilinmeyenlerden oluşan (n,1) bir sütun vektördür. x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Bu durumda Burada çözüm elde etmek için denklemin her iki tarafı ile çarpılırsa; y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Birim matris olduğundan eşitlik: a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca Böylece denklem x için çözülmüş olur. NOT: Matrislerde değişme özelliği yok. x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Çözüm üretmenin diğer bir yolu ise; Katsayılar matrisi A’nın boyutunu B matrisi ile büyütmektir. Bu durumda: y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca elde edilir. Bu sayede; çözüm aranırken katsayılardan oluşan bir satır ile ona karşılık gelen sağ taraftaki sabit (b) üzerinde aynı işlemler uygulanır. x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Gauss Eleme Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Eş zamanlı denklemlerin çözülmesi için kullanılan en eski yöntemdir. Bilinmeyenleri elemek için denklemler birleştirilir. Eleme yönteminde öncelikle denk.ler üzerinde işlem yapılarak bilinmeyenlerden biri elenir. Bu işleme sırası ile 1 bilinmeyenli tek denklem kalana kadar devam edilir. Sonuçta tek denklem çözülerek sonuç bulunur. Elde edilen sonuç orijinal denklemlerden birinde geriye doğru yerine yazılarak kalan bilinmeyenler çözülebilir. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İki bilinmeyenli bir denklem takımı için örnek verecek olursak; Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 1. denklem -a21 ile 2. denklem ise a11 ile çarpılır. Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi x2 için denklem düzenlenirse;

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER daha sonra bu ifade 1. denklemde yerine yazılırsa Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi elde edilir. Bu temel yaklaşım daha fazla denklem içeren sistemlere genişletilerek; Bilinmeyenleri elemek ve geriye doğru yerine koymak için bir plan ya da algoritma geliştirilebilir. Bu planlardan en temeli gauss elemedir.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Gauss eleme yöntemi n tane denklemden oluşan genel sistemi çözmek için tasarlanmıştır. İki denklem için uygulanan yöntemde olduğu gibi 2 aşamalıdır. 1. aşamada bilinmeyenler elenir. 2. aşamada geriye doğru yerine konulur. BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. . Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İlk denklem a21/a11 ile çarpılır Bu ifade diğer tüm denklemlerden çıkartılırsa

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Bu ifade diğer tüm denklemlerden çıkartılırsa BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Renkli kısımlar üslü biçimde kullanılarak orijinal değerin değiştirildiği gösterilirse şeklinde yazılabilir

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Bu işlemde ilk denkleme pivot denklem denir. a11’e pivot katsayı denir. Yukarıdaki işlemler 2. bilinmeyi (x2) yok etmek için tekrarlanır. . BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bunun için 2. denk a’32 / a’22 ile çarpılır. Diğer denklemlerden çıkartılır Burada (’’) işareti elemanların 2 defa değiştirildiğini göstermektedir. Eleme işlemi (n-1). denklem kullanılarak n . dereceden xn-1. denklem yok edilinceye kadar devam edilir. Burada sistem üst üçgen sisteme dönüşür.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Geriye doğru yerine koymada sırası ile xm bilinmeyenden başlayarak değerler hesaplanır ve bir önceki değiştirilmiş denklemde yerine yazılır Bu sonuç (n-1). Denklemde yerine yazılarak bilinmeyenler çözülür BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Denklem genelleştirirsek; i= n-1 , n-2 , … , 1

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER Denklem sistemini Gauss eleme yöntemi ile çözünüz. Pivot katsayı Pivot denklem Pivot denklemi 0.1/3 ile çarpıyoruz. ???? Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İkinci denk.den çıkartıyoruz. İkinci Pivot denklem bu oldu işleme devam ediyoruz 1.Pivot denklemi 0.3/3 ile çarpıyoruz. Üçüncü denk.den çıkartıyoruz.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 2. pivot denklemi -0.19/7.003333 ile çarpıyoruz. ??? Üçüncü denk.den çıkartıyoruz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bu ifade değiştirilmiş denklemde (2. pivot) yerine koyulursa ; 1.Pivot denklemde yerine yazarsak ;

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Gauss Jordan Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER Gauss eleme yönteminin bir başka şeklidir. Temel fark 1. bilinmeyen elendiğinde sadece o satırdan sonraki satırlarda değil tüm denklemlerde elenir. Bu sayede eleme aşaması sonrasında üçgen matris yerine birim matris elde edilir. Katsayılar matrisini boyutu büyütülmüş matris olarak ifade edersek; Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 1. Satırı pivot seçerek 3’e bölelim

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 1. Satırı 0.1 ile çarpıp 2.satırdan çıkartırsak, 0.3 ile çarpıp 3. satırdan çıkartırsak 1. Satırı 0.1 ile çarpıp 2.satırdan çıkartırsak, 0.3 çarpıp 3. satırdan çıkartırsak Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 2.Satırı 7.0003 bölersek 2.Satırı 0.033333 ile çarpıyoruz 1. satıra ekliyoruz. 0.19 ile çarpıp 3. satıra ekliyoruz.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 3. Satırı 10.012’ye bölüyoruz. Son olarak 3. satırı -0.0680629 ile çarpıp 1. satırdan, ve (-0.0418848) ile çarpıp 2. satırdan çıkartıyoruz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x1 x2 x3 x1 = 3 x2 = -2.5001 x3 = 7.0003

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ÖDEV SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Lineer denklem takımını basit Gauss eleme yöntemi ile çözünüz y x y=f(x) aı a b Lineer denklem takımını Gauss Jordon eleme yöntemi ile çözünüz Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.