GEOMETRİK PROGRAMLAMA

Geometrik Programlama lineer olmayan programlama problemlerinin çözümünde yeni bir metottur Metodun tek dezavantajı amaç fonksiyonu ve kısıtların “ posynomial “ şeklinde olması gerektiğidir. İlk önce amaç fonksiyonunun optimum değeri bulunur . Daha sonra tasarım değişkenleri hesaplanır.

Posynomial : Amaç fonksiyonu f(x) Ui’ lerin toplamı şeklinde f(x) = Ux + U2 + • . • + UN ifade ediliyorsa ve Ui’ler şeklinde ise f(x) fonksiyonu bir ‘posynomial’ dır.

Ci pozitif sabit aij gerçel sabit ( + , 0 , - ) x1 , x2 , … , xn pozitif

Örneğin ; ikinci dereceden bir polinom iken , bir “ posynomial “ dır . f (x1,x2,x3) = 6 + 3x1 – 8x2 + 7x3 + 2x1x3 – 3x1x3 + x2x3 + x12 – 9 x22 + x32 ikinci dereceden bir polinom iken , g ( x1 , x2 , x3 ) = x1.x2.x3 + x12.x2 + 4x3 + (2/x1x2)+5x3-1/2 bir “ posynomial “ dır .

Kısıtlı ve kısıtsız olmak üzere iki tip çözümü vardır. Problemlerde çözüme başlamadan önce problemin “ zorluk derecesi “ belirlenir.

Eğer N – n – 1 = 0 ise problem “ 0 “ zorluk derecesine sahiptir Eğer N – n – 1 = 0 ise problem “ 0 “ zorluk derecesine sahiptir . Problem ortogonallik ve normallik şartlarından çözülebilir . Eğer N – n – 1 < 0 ise çözüm yapılamaz .

Kısıtsız Minimizasyon Problemi Fonksiyonunu minimize eden değerlerinin bulunması şeklinde tanımlanır.

Problem geometrik eşitsizlik veya diferansiyel hesap yöntemlerinden biri ile çözülebilir.

Diferansiyel hesap yöntemine göre, f(x) fonksiyonunu minimum yapmak için gerekli şart, (1)

Yukarıdaki ifadeyi xk ile çarparak aşağıdaki gibi yazarız. (2) Minimize vektörü bulmak için Eşitlik (1) de verilen n tane denklem birlikte çözülür.

Eşitlik (2) amaç fonksiyonunun f* minimum değerine bölünerek X* vektörünün f(x) fonksiyonunun minimumu olduğundan emin olabilmek için yeterlilik şartının da sağlanması gerekir. X* vektörü eşitlik (2)’yi sağladığı için aşağıdaki eşitlik elde edilir. (3) Eşitlik (2) amaç fonksiyonunun f* minimum değerine bölünerek (4)

(4) Eşitliği elde edilir. Burada (5) şeklindedir. (5) eşitliğinden (6) elde edilir.

ve (5)’den eşitlik (7) yeniden aşağıdaki gibi yazılır. Eşitlik (4) ortogonallik şartı, Eşitlik (6) normalite şartıdır. Amaç fonksiyonunu minimum değerini f* , elde etmek için aşağıdaki yol takip edilir. (7) Buradan (8) ve (5)’den eşitlik (7) yeniden aşağıdaki gibi yazılır. (9)

İfadesini eşitlik (9) da yerine koyarsak, Amaç fonksiyonun minimum değeri “f* ” değeri bulunur. (10)

yi bulmak için eşitlik (4) ve (6) kullanılır yi bulmak için eşitlik (4) ve (6) kullanılır. Buradan N bilinmeyenli n+1 denklem olduğu görülür.

Zorluk Derecesi : N – n – 1 problemin zorluk derecesini verir .   N posiynomdaki ( amaç fonksiyonundaki ) toplam terim sayısı n tasarım değişkeni sayısı

ÖRNEK : Tahılların bir tahıl ambarından fabrikaya üstü açık bir kutuda taşınmasına karar verilmiş. Kutu uzunluğu x1 metre , genişliği x2 ve yüksekliği x3 metredir. Kutu tabanı $80 , kenarları $10 ve yanları $20 mal oluyor. Kutunun ambar – fabrika arasındaki bir geliş gidişi $1 dır . 80 m3 tahıl nakliyesi düşünülüyor. Taşımadaki toplam maliyeti minimum yapan x1 , x2 , x3 boyutları ne olmalıdır ?

ÇÖZÜM : Toplam Maliyet = Kutu Maliyeti + Taşıma Maliyeti

f(x) = 80. x1. x2 + 40. x2. x3 + 20. x1. x3 + 80. x1-1. x2-1. x3-1 f(x) = c1. x1a11 . x2a21… xnan1 + c2. x1a12. x2a22…xnan2 + … + c3. x1a1n. x2a2n… xnann   c1 = 80 c2 = 40 c3 = 20 c4 = 80

N = 4 ( Toplam terim sayısı ) n = 3 ( Tasarım değişkeni sayısı ) N – n – 1 = 4 – 3 – 1 = 0 zorluk derecesinde

f(x) = 80. x1. x2 + 40. x2. x3 + 20. x1. x3 + 80. x1-1. x2-1. x3-1

Ortogonallik ve normalite şartından

Denklem 2 ve 3 ‘ den ; ∆4 = ∆1 + ∆3 = ∆1 + ∆2 ∆2 = ∆3 2 , 3 ve 4 nolu denklemler ortagonallik ; 5 nolu denklem normallik şartını sağlar … Denklem 2 ve 3 ‘ den ; ∆4 = ∆1 + ∆3 = ∆1 + ∆2 ∆2 = ∆3 Denklem 3 ve 4 ‘ten ; ∆4 = ∆1 + ∆2 = ∆2 + ∆3 ∆1 = ∆3

2 5

Minimum Maliyet …