YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 4) Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi

Eğri Uydurma

4.1 Giriş Birçok mühendislik problemi, çözüm için bağımsız değişkenlerden oluşan fonksiyonlarına veya xi,yi, noktaları verilmiş veri gruplarına ihtiyaç duyarlar. Bu verileri sağlayacak polinomların katsayılarını bulunması, bu bölümde incelenecektir. Genelde fonksiyonlar polinomlara eğri uydurmak için kullanılır. Pn(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bnxn (4.1.1) İlk kategoride veri noktalarının sayısına tamamen eşit (n+1). dereceden bir polinom uydurulmalıdır.

4.1 Giriş(Devam) Bu prosedürde verilen bilgi noktalarında hata olmaması gerekir. Bu noktaların eğri üzerinde olmasını isteriz. n+1 den daha büyük eğriyle ifade edilen bilgi noktalarının sayısı 2 kategoriyi oluşturur. Bütün bilgi noktalarının arasından n. dereceli polinoma geçiş mümkün değildir. 2 alternatif vardır.1.si bazı hata vektörlerini ve bu hatada bilgi noktaları ve eğri üzerindeki uygun noktalar arasındaki farkı tanımlar. 2. alternatif de, verilen bilgi noktalarının alt kümeler arasında bir polinoma geçmeye ve bu noktaların toplamından eğri oluşturmaya yarar.

4.2 Tam Polinomal Uydurma Verilen (n+1) noktanın: (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn), bu noktadan geçen ve n. derecede olan benzer bir polinom daha vardır. y = Pn(x) = b0 + b1x + b2x2 + … + bn xn (4.2.1) Bu katsayılar b0, b1, b2, … bn lineer denklem eşitliklerinin çözümü ile sağlanabilir. b0 + b1x0 + b2x02 + … +bnx0n = y0 b0 + b1x1 + b2x12 + … +bnx1n = y1 b0 + b1x2 + b2x22 + … +bnx2n = y2 . . . . (4.2.2) . . . … . . . . . . . b0 + b1xn + b2xn2 + … +bnxnn = yn Matris formatında şöyle yazılabilir. [A]{B} = {Y} (4.2.3) [A] matrisinin elemanları şöyle atanır: aij = (xi-1)j-1 i = 1, 2, 3, …, n + 1 (4.2.4) j = 1, 2, 3,…, n + 1

Örnek E4.2.1 3. derecedeki polinomun hangi noktalardan geçtiğini karşılaştırınız Çözüm:  Verilen bu değerler eşitlik 4.2.2 yerine yazılırsa bunlar elde edilir:   b0 + b1(0) + b2(0) + b3(0) = 1 b0 + b1(1) + b2(1) + b3(1) = 0 = b0 + b1(2) + b2(4) + b3(8) = 1 b0 + b1(3) + b2(9) + b3(27) = 0 Bu lineer sistem eşitlikleri LU ayrıştırılması ile çözülür. b0 = 1.0 , b1 = -3.3333 , b2 = 3.0 , b3 = -0.66666 (-10/3) (-2/3) Polinomal sonuç ise: y = 1- (10/3)x + 3x2 - (2/3)x3

Lagrange Polinomları Atama (4.2.5) Örneğin; n = 2, (4.2.6a) (4.2.6b)   Örneğin; n = 2, (4.2.6a) (4.2.6b) (4.2.6c)

(n+1) noktasından geçen n (n+1) noktasından geçen n. dereceli Lagrange polinomu şöyle ifade edilir:   (4.2.7) Burada Lin(x) denklem 4.2.5 de verilmiştir ve yi = f(xi) ‘ler verilen fonksiyonda x = xi ‘ye denk olan değerlerdir.

Örnek E4.2.2 (0, 1); (1, 0); (2, 1); (3, 0) noktalarından geçen ve 3. derecede olan Lagrange polinomunu gösteriniz. Bu noktalar örnek 4.2.1’de verilmiştir: Çözüm:   L03(x) = = = - (x-1)(x-2)(x-3) L13(x) = = = (x)(x-2)(x-3) L23(x) = = = - (x)(x-1)(x-3)  L33(x) = = = (x)(x-1)(x-2)

3. Derecede polinom aynı zamanda şöyle de bulunabilir, = (1)(-1/6)(x - 1)(x - 2)(x - 3) + 0 + (1) (-1/2)x(x - 1)(x - 3) + 0   veya L3(x) = -1/6(x - 1)(x - 2)(x - 3) – 1/2x(x - 1)(x - 3) Bulunan bu cevabın, örnek 4.2.1’de doğrudan metot kullanarak elde edilen cevap ile aynı olduğunun, okuyucular tarafından gösterilmesi istenilmiştir.

Newton Polinomları Küçük bir veri kümesinden polinom oluşturmanın diğer bir yolu ise Newtonun bölünmüş farklar polinomudur.   y = f(x) = b0 + b1(x - x0) + b2(x - x0)(x - x1) +…+ bn(x - x0)(x - x1)…(x - xn-1) (4.2.8) Verilen (n+1) veri noktaları (x0, y0), (x1, y1)…(xn, yn). bi (i = 0, 1, 2, … , n) katsayıları sonlu bölünmüş farklar formülü ile elde edilir. Bölünmüş farkları şöyle tanımlarsak: y[x0, x1] = (y1 - y0)/(x1 - x0) (4.2.9a) y[x1, x2] = (y2 – y1)/(x2 – x1) (4.2.9b)

y[x1, x2, x3, x4] = benzer şekilde . . . (4.2.9c) y[x1, x2, x3, x4] = benzer şekilde . . .   Newton polinomunun katsayıları şöyle verilmiştir: b0 = y0 b1 = y[x0, x1] b2 = y[x0, x1, x2] (4.2.10) . . bn = y[x0, x1,…, xn] Bir sonraki örnekte de gösterildiği gibi bölünmüş farklar tablosu hazırlanarak işlemler sadeleştirilebilir.

Örnek 4.2.3 (0,1); (1, 0); (2, 1); (3, 0), noktalarından geçen 3.dereceden Newton polinomunun bulunması. Örnek: 4.1.1 ve 4.1.2.   Çözüm: Denklem 4.2.9.’da verilen eşitliği oluşturunuz. Katsayılar, bölünmüş farkların en üst satırına eşittir. Böylece; f(x) = 1- (x - 0) + (x - 0)(x - 1) -2/3(x - 0)(x - 1)(x - 2) veya f(x) = 1-x + x(x - 1) - 2/3x(x - 1)(x - 2) İlgili kişiler bu polinomun örnek 4.1.2’de elde edilen polinomla aynı olduğuna bakabilirler.

4.3 En Küçük Kareler Regrasyonu Lineer Regrasyon   Tablo 4.3.1’de verilen veri grubu küçük bir kasabada 10 - 50 yaşlarında bulunan insanlar için rasgele alınmış veriler olsun.

h = a + bw w = c + dh Figür 4.3.1 Küçük bir kasaba için uzunluk ve ağırlık dağılımı En küçük kareler regresyon hata vektörü Ei bileşenlerin karelerinin toplamının minimizasyonu için kullanılan bir yöntemdir.

Ewi = wi - (c + dhi) ; i = 1, 2, 3, ..., N (4.3.4b) (i) Örneğin W’de hiç hata olmadığını düşünün, böylece fonksiyon şöyle minimize edilir :   (4.3.3a) h’deki her bir hata şöyle ifade edilir : Ehi = hi - (a + bwi) ; i = 1, 2, 3, ..., N (4.3.3b) (ii) h’de hiç hata olmadığını varsayın, böylece fonksiyon şöyle ifade edilir. (4.3.4) W’nin her bir noktasındaki hata şöyle hesaplanır: Ewi = wi - (c + dhi) ; i = 1, 2, 3, ..., N (4.3.4b)

Devam (iii)Varsayalım ki her iki değişken de hata içersin. Bu durumda h ve w deki kombine hatalarının toplamlarını minimize edeceğiz. Eğer denklem 4.3.1 in içerdiği w, çözersek: w = -(a/b) +(1/b)h (4.3.5) Eğer h ve w verilen hatalar ağırlığa eşit (veya önemli) ise aşağıda verilen fonksiyonun minimize edilebileceği söylenebilir : (4.3.6) Denklem 4.3.3 & 4.3.4, ile verilen Sh or Sw minimizasyonu her biri açıkça göstermektedir. Diğer tarafta Shw üstündeki minimizasyon önemli başlıklardır.

Devam Fakat ilk olarak doğrusal regrasyonu genel x ve y değişkenlerinin terimleriyle formüle edelim. y = a0 + a1x (4.3.7) ve (4.3.8) S minimumu bulurken ilk a0 türevi alınarak ise a1 ve bunları sıfıra eşitlersek   (4.3.9a) (4.3.9b) Açıklama: EQS noktasında S fonksiyonu gösterilebilir. 4.2.9 a & b S minimuma sahiptir (maksimum değildir). Bu da denklem 4.3.8 de gösterilen a0 ve a1 gözlenen S nin minimum çözümlerine uygundur. 

Devam Denklem 4.3.9 a & b yeniden düzenlersek ve basitleştirirsek Na0 + (xi)a1 = y (4.3.10a) (xi)a0 + (xi2)a1 = xiyi (4.3.10b) Burada i = 1 den N kadar tümünü özetleyelim. Bu iki denklem a0 ve a1 katsayılarına karar vermek için yeterlidir. N = 7 ; (xi) = -2.0 ; (yi) = -8.0 ; (xi2) = 56.0 ; (xi yi) = 30.0 Bundan dolayı denklemler kümelenerek çözülebilir.: 7a0 + -2.0a1 = - 8.0 a0 = -1.0 -2.0a0 + 56.0a1 = 30.0 a1 = 0.5

Örnek E4.2.4 Tablo 4.3.1 de verilen veriler düz bir doğruya uygundur, ilk olarak w (ağırlık) değerlerinde hata olmadığını varsayalım ve (yükseklik) değerlerinde de hata yok ise her iki denklemin sonuçlarını karşılaştıralım Çözüm: Tablo 4.3.1 den: N = 11 ; (hi) = 18.75 ; (wi) = 775 ; (hi2) = 32.0853 ; (wi2) = 55,131 ; (hiwi) = 1,328.05 Denklemler h = a + bw için çözülürse x = w, y = h, a0 = a içerir ve denklem 4.2.10a & b deki a1 = b 11a + 775b = 18.75 775a + 55,131b = 1,328.05 Çözümler: a = 0.768; b = 0.0133 Bu yüzden, h = 0.768 + 0.0133w

Devam Denklemler w = c + d h için çözülürse denklem 4.3.10a & b de x = h, y = w, a0 = c, a1 = d içerir. 11c + 18.75d = 775.0 18.75c + 32.0853d = 1,328.05 Çözümler: c = -25.32; d = 56.19 Bu yüzden, w = -25.32 + 56.19 h iki durumdaki sonuçları karşılaştırırsak h = a + bw için: w = -(a/b) + (1/b)h Eğer w de hata yoksa c = -(a/b) = -57.74 ve d = (1/b) = 75.19, farklı anlamlı basamakla bulduğumuzu varsayalım w değerleri hataya sahiptir fakat h değeri değildir. Doğru cevaplar bunların arasında bir yerde olmalıdır.

Devam (a, b) ve (c, d) değerlerinin her ikisinin verilen ağırlıkları eşit verilmiştir. Denklem 4.2.1 & 4.2.2 kenarına ekleme yoluyla h çözülebilir: h = [(a-c)/(1+d)] + [(1+b)/(1+d)]w h = 0.456 + 0.018w veya w = -25.33 + 55.56h doğrusal olmayan analizi kullanarak problemleri çözebiliriz. Burada hatanın kareleri toplamını minimum yapmaya ihtiyaç duyarız Ei2 = [Ehi2 + Ewi2]1/2.

Pseudo Doğrusal Olmayan Regresyon Üssel ve güç kural fonksiyonlarının formu   y = a ebx ; y = a xb (4.3.11) Ölçülen bu tahmini veriler genellikle mühendislikte kullanılır. Örneğin denklem (4.3.11) verilen basit üstel eğriye uydurma yoluyla hata fonksiyonunun minimizasyonuna ihtiyaç duyulur. S(a,b) =  [ yi -( a ebxi) ] 2 (4.3.13) S in türevi alınarak a ve b sıfıra eşit ise aşağıdaki doğrusal olmayan denklemler kullanılarak a ve b parametrelerine karar verilebilir.  [ yi -( a ebxi) ] (-2 ebxi) = 0 (4.3.14a)  [ yi -( a ebxi) ] (-2axiebxi ) = 0 (4.3.14b) Denklemler basitçe a zi2 = zi yi (4.3.15a) a xi zi2 = xi zi yi (4.3.15b) burada zi = ebxi (4.3.15c)

Devam Denklem (4.3.11) verilen üstel fonksiyon gözlenerek problemi basitleştirmek isteriz. Doğrusallaştırma için her iki tarafın doğal logaritmasını alırsak. ln(y) = ln(a) +b x (4.3.16a) yeni değişkenler tanımlayarak y* = ln(y); a* = ln(a); b*=b; x*=x Bu yüzden y* = a* + b* x* (4.3.16b) Bu pseudo doğrusal olmayan regresyon olarak adlandırılır.

Örnek E4.3.2 Denklem (4.3.11) verilen verilerin üstel fonksiyonu uydurmak için pseudo doğrusal olmayan metot kullanılır. Direk doğrusal olmayan metot kullanılarak denklem 4.2.15 a&b nin içerdiği a ve b parametreleri için sonuçlar karşılaştırılır. y = a ebx i: 1 2 3 4 5 6 7 ------------------------------------------------------------ x: 0.05 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 2.40 y: 0.55 0.75 1.00 1.40 2.00 2.70 3.75 Her iki tarafın doğal logaritması alınarak ln(y) = ln (a) + b x “y* = ln(y); a* = ln(a); b* = b, ve x* = x, değişken dönüşümü ile tablo değiştirilse i: 1 2 3 4 5 6 7 -------------------------------------------------------------------------- x*: 0.05 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 2.40 y*: -0.598 -0.288 0.00 0.336 0.693 0.993 1.322 N = 7; x*i = 8.45; (x*i)2 = 14.5625; y*i = 2.4580; (x*i y*i ) = 6.5266

Devam Denklemler çözülürse 7 a* + 8.45 b* = 2.4580 8.45 a* + 14.5625 b* = 6.5266 Çözümler a* = -0.63334; b* = 0.81568 Şimdi geri dönüşümle orijinal parametreler hesaplanabilir. a = exp(a*) = 0.5308 , b = b* = 0.81568 İstenen eğri: y = 0.5308 exp( 0.81568 x ) Tüm doğrusal olmayan regresyon çözümleri denklem 4.3.15 a,b,&c metotları kullanılarak çözülebilir (ikiye bölme metodu) bölüm 2 ye bakın. Doğrusal olmayan regresyon çözümleri: a = 0.5335; b=0.81284

Devam  Ei2 = 2.70E-03 tam doğrusal olmayan regresyon için Tablo 4.3.2 iki çözümün karşılaştırılması. Hataların karelerinin toplamları:  Ei2 = 2.75E-03 pseudo doğrusal olmayan regresyon için    Ei2 = 2.70E-03 tam doğrusal olmayan regresyon için

Doğrusallaştırma Verilen fonksiyonu isteğe bağlı olarak doğrusallaştırmak için genel bir prosedür bulmak mümkün değildir fakat mühendislik uygulamalarında fonksiyonların birkaç yaygın kullanımı doğrusal fonksiyonlar içeren tabu formlarıdır. * Not: ln(A + B)  lnA + lnB, fakat ln(AB) = lnA + lnB; ln(Ab) = b lnA

İteratif Regresyon Farz edelim y = a + bxm (4.3.18) . Doğrusallaştırmada ln(y-a) = ln(b) + m ln(x) (4.3.19) y* = ln(y-a), a0 = ln(b), a1 = m, x* = x Burada “a” bulunan fonksiyonun kesişimidir. ( y = a yanında x = 0 için m > 0) bu durumda en iyi kullanım iteratif prosedürdür: ilk olarak “a” nın tahmin değerine bağlı olarak b ve m ye karar verilir. Sonra hataların kareleri toplamını minimum yapmaya çalışılır. Eğer “a” nın değeri değişmiyorsa hata fonksiyonu minimize edilene kadar işlemler tekrarlanır.

4.4 Polinomal Regresyon Burada,verilen herhangi bir m polinomal derecesinin doğrusal regrasyonu için bölüm 4.3 te sunulan prosedürü genelleyeceğiz. (4.4.1) Kısaca 2. derece polinomlar için denklem türetelim daha sonra genel olarak uzatalım. Verilen ikinci derece polinomla; (4.4.2) Hataların kareleri toplamı tanımlanırsa (4.4.3) burada N verilen noktaların toplam sayısıdır.

Devam S hata fonksiyonunun minimumuma karar vermek için aşağıdaki denklemler çözülürse; (4.4.4a) (4.4.4b) (4.4.4c)

Devam m dereceden polinom için (m+1) denklem vardır ve toplu matris formunda yazarsak;   . . . . . . . . . . (4.4.5) . . . . .

Örnek E4.4.1 Verilere uygun kübik polinom örnek . E4.3.2.de verilmiştir Çözüm: Aşağıdaki denklem grubu POLYREG programı kullanılarak elde edilmiştir   7.000000 a0 + 8.450001 a1 + 14.562500 a2 + 28.224130 a3 = 12.150000   8.450001 a0 + 14.562500 a1 + 28.224130 a2 + 58.240010 a3 = 20.407500 14.562500 a0 + 28.224130 a1 + 58.240010 a2 + 124.938300 a3 = 40.297380 28.224130 a0 + 58.240010 a1 + 124.938300 a2 + 275.132500 a3 = 84.611270 Bunun çözümü a0 = 0.5297; a1 = 0.4676; a2 = 0.07936; a3 = 0.1182 Kübik polinomdan elde edilen sonuçlar güncel vereilerle karşılaştırılmıştır. Bunun sonuçlarının çok iyi olduğu görülmektedir. Hata karelerinin toplamı üslü sayılarda daha azdır (Örnekte görülür E4.3.2). Dolayısıyla bir kübik polinom bu sorun için iyi bir seçim olacaktır.

Devam

4.5 Çok Boyutlu Doğrusal Regresyon Kısaca ifade edersek örnekte sadece iki bağımsız değişken dikkate alınmalıdır ; F = F(x,y); e.g. F(x,y) = a + bx + cy (4.5.1) Veri noktaları kümesini verilen (4.5.1) formunun en küçük karesine sığdırmak için hata fonksiyonunu en aza indirmemiz gerekmektedir. Aşağıda verilmiştir; S(a,b,c) = (4.5.2)

Devam Aşağıdaki eşitlikleri elde etmek için sıfırı, a, b ve c ile ilgili olarak S nin türevine ayarlayabiliriz: (4.5.3) Yeniden düzenleme ve basitleştirmenin ardından şunu elde ederiz: (4.5.4) Bu işlemler üç bilinmeyenli, a, b ve c denklemlerini belirler

Devam Çok boyutlu problemlerde güç fonksiyonları doğrusal biçimde indirgenebilir. Şöyle ki;   F = axbyc (4.5.5) ln(F) = ln(a) + bln(x) + cln(y) (4.5.6) F* = ln(F); x* = ln(x); y* = ln(y); a* = ln(a); b* = b; and c* = c elde etmek için; F* = a* + b*x* + c*y* (4.5.7) Denklem 4.5.1 de verilen doğrusal fonksiyon şöyledir:

Örnek E4.5.1 Aşağıdaki veriler bilinmeyen bir gazın basınç ölçümlerinden (P),sıcaklığından(T) ve yoğunluğundan () elde edilmiştir.Bu türlerin ideal bir gaz olup olmadığını belirlemek için P = T eşitliğinin çok boyutlu regrasyon analizini kullanarak öğrenin . Çözüm: Yukarıda verilen güç kanunu her iki tarafın logaritmasını vermek üzere doğrusallaştırılabilir. F = ln P, x = ln , y = ln T, a = ln , b = , c = . Dolayısıyla iki bağımsız değişkenli bir lineer denklem elde ederiz. F = a + bx + cy (4.5.1)deki Denklem ile aynıdır. Çözülecek denklem grubu denklem (4.5.4)te verilmiştir. N=20 eklenerek, toplamların değerleri Tablo E4.5.1 denkleminde verilmiştir. 20a + 27.08282b + 135.605975c = 267.5132 27.08282a + 42.95078b + 181.5625c = 366.4602 135.605975a + 181.5625b + 921.51621c = 1813.819

Devam Çözüm Gauss eliminasyon metodu kullanılarak elde edilmiştir.Şöyle ki; a = 5.2438, b = 0.99994, c = 0.99964   Bundan dolayı  = ea = 189.39;  = b = 0.99994;  = c = 0.99964 P  T R =  = Sabit gaz; R = 189.39 J/kgK, Ru = 8314 J/kmolK Moleküler ağırlık şöyle verilmiştir M = = = 43.90 Bu gaz büyük ihtimalle ağırlığı 44 oranında bir molekül olan CO2 dir ve ideal bir gazdır çünkü duruma en yakın denklem P = RT, dir.

Devam

Devam

4.6 Spline Eğri Uydurma ve İnterpolasyon 50 nokta içeren bir veri seti verildiğini düşünün, nasıl 49. derece bir polinom gibi görünecektir ve katsayıları belirlemek ne kadar zor olacaktır . Tüm verilerin alt kümesine peace-wise polinomları sığdırmak alternatif bir yöntemdir. (Aynı anda, iki, üç ya da dört noktadan demek istiyoruz), daha sonra, Şekil 4.6.1 'de gösterildiği gibi iki komşu aralık için ortak olan bir noktada buraya yama yapınız. Sınırları birbirine komşu iki aralığı olan noktalar istenildiği gibi seçilebilir fakat bizim amacımız ‘düzgün’ eğriler elde etmektir.

Devam Düzgünlük derecesi eşit ortak noktadaki fonksiyonlarının türevlerini yaparak geliştirilebilir. "Spline" adı eğrilerin yumuşaklığını ifade eder ve bu spline olarak anılan mühendisler tarafından uçakta verilen noktaların eğri yumuşaklığını ayarlamak için kullanılan elastik çubuklardan türetilir.

İkinci dereceden Spline Burada, her aralık için belirlenecek polinomlar 2. derecedir ve şöyle ki; Pi (x) = ai + bix + cix2 (4.6.1) i = 1, 2, 3, …, n N aralığının sayısı böyle bulunur. Öncelikle biz her polinom aralığının iki uç noktadan geçmesi gerektiğini öngörmekteyiz .Her i nci aralık için böyledir. yi-1 = ai + bixi-1 + cixi-12 (4.6.2a) yi = ai + bixi + cixi2 (4.6.2b) For i = 1, 2, 3, …, n Şekil 4.6.1 'de görüldüğü gibi i ‘nci aralığın her iki ucu (xi-1, yi-1) ve (xi, yi) dir.

Devam Denklem 4.6.2 2n denklemlerini teşkil eder ancak derecesi 3 olan n polinomları için bilinmeyen katsayı sayısı 3n'dir.  Sonra, eğri yumuşaklıklarını birleştirmede iki komşu polinomun ilk türevlerinin bağlantılı noktalada eşit olması gerekir.   bi +2cixi = bi+1+2ci+1xi+1 (4.5.2c) Bu bize ek n-1 denklemlerini verir. Önceki gerekli denklem, genellikle her birinci polinomun veya ilk veya son noktadaki sonraki sıfır polinomunun ikinci türevi gerektiğinden türetilir. Bu, tabi ki ilk ya da son eğrinin düz bir çizgi olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla problemimiz için daha uygun olan c1 = 0 ya da cN = 0ı alırız.

Örnek E4.6.1 İkinci dereceden spline eğrisini f(x) = 1/(1+x2) dan türetilen aşağıda verilen veriye 3 aralığında uydurunuz. Çözüm: Denklem 4.6.2 a ve 4.6.2b elde edilir(unutmayın ki ilk polinom için, ikinci türev 0 değeri alır. =0 )   i = 1 a1 + b1x0 = y0 a1 + b1x1 = y1 i = 2 a2 + b2x1 + c2x12 = y1 a2 + b2x2 + c2x22 = y2 i = 3 a3 + b3x2 + c3x22 = y2 a3 + b3x3 + c3x32 = y3 i 1 2 3 x 0.0 0.5 1.0 1.5 y 0.8 4/13

Devam Denklem 4.6.2c i = 1 b1 + 0 = b2 + 2c2x1 i = 2 b2 + 2c2x2 = b3 + 2c3x2 Burada çözülecek 8-denklem 8 - bilinmeyen katsayıları tespit etmek içindir.. Tablodaki x ve y değerlerini yukarıdaki denkleme yerleştiririz ve aşağıdaki matris denklemini elde etmek için yeniden düzenleriz. [A] {C} = {R}

Devam Çözüm MATLAB 4.2 kullanılark şu şekilde elde edilir;   Çözüm MATLAB 4.2 kullanılark şu şekilde elde edilir; a1 = 1.0, b1 = -0.4, a2 = 0.9, b2 = 0.0, c2 = -0.4 a3 = 2.1308, b3 = -2.4615, c3 = 0.8308 Her aralık için polinomlar şu şekildedir; i = 1 y = 1.0 – 0.4x = p1(x) i = 2 y = 0.9 + 0.0x – 0.4x2 = p2(x) i = 3 y = 2.1308 – 2.4615x + 0.8308x2 = p3(x)

Bölüm 4 Sonu

Referanslar Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001 http://math.uww.edu/faculty/mcfarlat/inverse.htm