KUYRUK TEORİSİ KUYRUK SİSTEMLERİ : KUYRUK SİSTEMLERİ EN BASİT TANIMIYLA BEKLEME HATTI (KUYRUK) İÇEREN SİSTEMLERDİR. DOKTOR MUAYENEHANESİNDE HASTA KUYRUĞU, TELEFON KULÜBESİNDE KONUŞMA İÇİN BEKLEYEN KUYRUK VB. KUYRUK KAYNAĞI : ŞUNLAR BİLİNMELİDİR. · KUYRUK KAYNAĞININ BÜYÜKLÜĞÜ KUYRUK SİSTEMİNE VARIŞLARIN ÖZELLİKLERİ (ARALIKLARI , MİKTARLARI VB.) KUYRUK KAYNAĞINDAKİ ELEMANLARIN DAVRANIŞLARI HIZMET GÖRMÜŞ KUYRUK ELEMANLARI KUYRUK HİZMET MERKEZİ KUYRUK KAYNAĞI ......... SİSTEM SİMÜLASYONU

KUYRUK KAYNAĞI ÖZELLIKLERI KUYRUK TEORİSİ KUYRUK KAYNAĞI ÖZELLIKLERI BÜYÜKLÜK VARIŞ ÖZELLIKLERI DAVRANIŞLAR SINIRLI SINIRSIZ RASSAL ÖNCEDEN BELİRLENMİŞ BEKLEYEN BEKLEMEYEN POİSSON DİĞER AŞAĞIDAKİ POISSON DAĞILIM FONKSİYONU t ZAMAN ARALIĞINDA n ADET VARIŞ OLMA OLASILIĞINI GÖSTERİR. n = 0,1,2,…….   n : VARIŞLARIN SAYISI t : ZAMAN PERİYODU  : BİRİM ZAMANDAKİ ORTALAMA VARIŞ SAYISI e - l t ( l t ) n P ( t ) = n n ! SİSTEM SİMÜLASYONU

HİZMET MERKEZİ ÖZELLİKLERİ KUYRUK TEORİSİ HİZMET MERKEZLERİ : NOTASYON VE TANIMLAR : Lq : KUYRUĞUN BEKLENEN VEYA ORTALAMA UZUNLUĞU (KUYRUKTA BEKLEYEN ELEMAN SAYISI) Ls : SİSTEMDE BULUNAN BEKLENEN VEYA ORTALAMA ELEMAN SAYISI (KUYRUKTAKİ ELEMAN SAYISI + HİZMET ALMAKTA OLAN ELEMAN SAYISI ) HİZMET MERKEZİ ÖZELLİKLERİ YAPI HİZMET ZAMANLARI HİZMET PRENSİBİ TEKLI HIZMET MERKEZİ ÇOKLU HIZMET MERKEZİ DETERMİNİSTİK RASSAL FCSF RASSAL ÖNCELİKLİ ÜSSEL DİĞER BIR ADET HIZMET MERKEZİ BIR ADET HIZMET MERKEZİ ÇOK ADET HIZMET MERKEZİ ÇOK ADET HIZMET MERKEZİ SİSTEM SİMÜLASYONU

KUYRUK TEORİSİ NOTASYON VE TANIMLAR : Wq : BEKLENEN VEYA ORTALAMA KUYRUKTA HARCANAN SÜRE Ws : BEKLENEN VEYA ORTALAMA SİSTEMDE HARCANAN SÜRE (KUYRUKTA BEKLEME SÜRESİ + HİZMET ALMA SÜRESİ )  : ORTALAMA VARIŞ ORANI ( BİRİM ZAMANDA GELEN ELEMAN SAYISI )  : ORTALAMA HİZMET ORANI (BİRİM ZAMANDA HİZMET ALAN ELEMAN SAYISI ) 1/ : BİR ELEMAN İÇİN ORTALAMA HİMET SÜRESİ s : SİSTEMDEKİ PARALEL HİZMET MERKEZİ SAYISI P(n) : SİSTEMDE n ELEMAN BULUNMA OLASILIĞI r : HİZMET MERKEZİNİN DOLULUK ORANI   SINIRSIZ BİR KUYRUK KAYNAĞINA SAHİP BİR SİSTEMDE, VARIŞ SAYILARININ POISSON DAĞILIMINA UYDUĞU HİZMET SÜRELERİNİN ÜSSEL DAĞILIMA UYDUĞU, TEKLİ VE TEK HİZMET MERKEZİ OLDUĞU, SİSTEM SİMÜLASYONU

KUYRUK TEORİSİ İLK GELEN İLK ÇIKAR PRENSİBİNE GÖRE HİZMET VERİLDİĞİ, SINIRSIZ KUYRUK UZUNLUĞUNA İMKAN VEREN, KUYRUKTAKİ ELEMANLARIN HEPSİNİN HİZMET İÇİN BEKLEDİĞİ BİR SİSTEM DÜŞÜNELİM. BÖYLE BİR DURUMDA DENGE DURUMU KUYRUK İSTATİSTİKLERİ AŞAĞIDAKİ GİBİDİR.   SİSTEMDE 0 BEKLEYEN ELEMAN OLMA OLASILIĞI : P(0) = 1 – (/) SİSTEMDE n BEKLEYEN ELEMAN OLMA OLASILIĞI : P(n) = P(0) (/)n HİZMET MERKEZİNİN DOLULUK ORANI :  = / SİSTEMDE BEKLENEN BEKLEYEN ELEMAN SAYISI : Ls = /( - ) KUYRUKTA BEKLENEN BEKLEYEN ELEMAN SAYISI : Lq = 2/[ ( - )] SİSTEMDE BEKLENEN SÜRE : Ws = 1/( - ) KUYRUKTA BEKLENEN BEKLEME SÜRESİ: Wq = /[ ( - )] SİSTEM SİMÜLASYONU

KUYRUK TEORİSİ ÖRNEK : BİR OTOBANDAN ÇIKIŞ GİŞELERİNE ARABALAR POİSSON DAĞILIMINA UYGUN OLARAK SAATTE 120 ARAÇ OLARAK GELMEKTE VE BİR ARACIN PARA ÖDEMESİ ORTALAMA OLARAK 15 SANİYE SÜRMEKTEDİR. PARA ÖDEME SÜRELERİ ÜSSEL OLARAK DAĞILMIŞTIR. SINIRSIZ KUYRUK KAYNAĞI OLDUĞU VE KUYRUK ALANININ DA SINIRSIZ OLDUĞU DÜŞÜNÜLMEKTEDİR. P(0), Ls , Lq ,Ws , Wq DEĞERLERİNİ BULUNUZ. ÖRNEK : BİR BANKA SİSTEMİNDE (M/M/1) MÜŞTERİLERİN BEKLEME ZAMANI VE MEMURUN DOLULUK ORANI ANALİZ EDİLMEK İSTENMEKTEDİR. BU AMAÇLA BANKAYA GELEN MÜŞTERİLERİN GELİŞ ZAMANLARI VE MEMURUN MÜŞTERİLERE HİZMET VERDİĞİ SÜRELER İNCELENMİŞ VE DAĞILIMLARI ELDE EDİLMİŞTİR. MÜŞTERİLERİN VARIŞLARARASI SÜRELERİ VE MEMURUN HİZMET SÜRELERİ OLASILIK DAĞILIMLARI İLE VERİLMEKTEDİR. SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI VAZ OLASILIK BİR. OLASILIK RAS. SAYI ARALIĞI X p(X) F(X) r1 1 0.1 0.1 00 – 09 2 0.3 0.4 10 – 39 3         0.3 0.7 40 - 69 4 0.2 0.9 70 - 89 5 0.1 1.0 90 – 99   HİZ. SÜRE. OLASILIK BİR.OLASILIK RAS.SAYI ARA. y p(y) F(y) r2 2                     0.4 0.4 00 - 39 3 0.4 0.8 40 - 79 4 0.2 1.0 80 – 99 A : MÜŞTERİ F : MÜŞTERİNİN BEKLEME SÜRESİ B : RASSAL SAYI (r1) G : MEMURUN BOŞ KALMA SÜRESİ C : VARIŞLAR ARASI ZAMAN H : RASSAL SAYI (r2) D : VARIŞ ZAMANI I : HİZMET SÜRESİ E : HİZMETE BAŞLAMA ZAMANI J : MÜŞTERİNİN AYRILMA ZAMANI K : MÜŞTERİNİN SİSTEMDE GEÇİRDİĞİ ZAMAN SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI MÜŞT. BEK. SÜRESİ FREKANS NİSBİ FREKANS. (%) 0 7 35 1 3 15 2 6 30 3 2 10 4 2 10 MAKİNA ARIZALARI ARASINDA GEÇEN ZAMANLARIN SİMÜLASYONU FİRMA ÇALIŞANLARI MAKİNA ARIZALARI ARASINDA GEÇEN SÜREYİ HAFTA CİNSİNDEN BELİRLEMİŞLERDİR VE BU DEĞERLER YAKLAŞIK OLARAK AŞAĞIDA GÖRÜLEN FONKSİYON ŞEKLİNDEDİR. f(x) x f ( x ) = , £ x £ 4 8 0.5 4 x SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI EĞRİNİN ALTINDA KALAN ALAN RASSAL DEĞİŞKEN X’İN, YANİ ARIZALAR ARASI SÜRENİN OLUŞMA OLASILIĞINI GÖSTERMEKTEDİR. BU YÜZDEN EĞRİNİN ALTINDA KALAN ALAN 1’E EŞİT OLMAK ZORUNDADIR. 0’DAN HERHANGİ BİR X DEĞERİNE KADAR EĞRİNİN ALTINDA KALAN ALANIN HESAPLANMASIYLA X DEĞERİNE AİT BİRİKİMLİ OLASILIKLAR ELDE EDİLMİŞ OLUR. BİRİKİMLİ DAĞILIMIN GRAFİĞİ x x 1 x 1 æ 1 ö x x 2 = ò ò F ( x ) dx = xdx = ç x 2 ÷ F ( x ) = 8 8 8 è 2 ø 16 F(x) 1.0 4 x SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI (0,1) ARALIĞINDAKİ HERHANGİ BİR r DEĞERİ BİRİKİMLİ DAĞILIM F(x) İLE OLAN FONKSİYONEL İLİŞKİ KULLANILARAK İLGİLİ x DEĞERİNE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLİR. ÇÜNKÜ F(x) VE RASSAL SAYILAR HER İKİSİ DE (0,1) ARALIĞINDA TANIMLANMIŞLARDIR.   r = F(x) VE BU NEDENLE r = x2/16 VERİLEN BİR x DEĞERİNE KARŞILIK RASSAL DEĞİŞKEN x’İN DEĞERİNİ BULMAK İÇİN AŞAĞIDAKİ DÖNÜŞÜMÜ YAPMALIYIZ. ÖRNEĞİN, r = 0.25 İSE x DEĞERİ 2 OLARAK ELDE EDİLİR BU DURUM GRAFİKTE GÖRÜLMEKTEDİR. x = 4 r F(x) 1.0 r=0.25 2 4 x SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI FİRMA YÖNETİMİ ARIZALARI BİR YILLIK SÜRE İÇİN SİMÜLE ETMEK İSTEMEKTEDİR. FİRMANIN AMACI ARIZALARIN SIKLIĞINI VE ARIZA ONARIM SÜRELERİNİ AZALTACAK 35.000 $ DEĞERİNDE BİR BAKIM PROGRAMININ UYGULANMASINA GEREK OLUP OLMADIĞINI ARAŞTIRMAKTIR.ONARIM SÜRELERİNİ GÖSTEREN FONKSİYON İSE AŞAĞIDAKİ ŞEKİLDEDİR.   HER BİR MAKİNA ARIZASI ÜRETİM YAPILAMAYAN HER GÜN İÇİN FİRMAYA YAKLAŞIK OLARAK 800 $ ’ A MALOLMAKTADIR f(y) 4 6 9 y SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI ONARIM ZAMANLARINI GÖSTEREN SÜREKLİ DAĞILIM AŞAĞIDAKİ FONKSİYONLA GÖSTERİLMEKTEDİR.   f1(y) VE f2(y) HER İKİSİ BERABER y RASSAL DEĞİŞKENİNE AİT OLASILIKLARI GÖSTERMEKTE-DİR. EĞRİNİN ALTINDAKİ TOPLAM ALAN 1’DİR VE TOPLAM OLASILIĞI GÖSTERMEKTEDİR. TOPLAM ALANIN % 40’I f1(y) FONKSİYONU İLE % 60’I f2(y) FONKSİYONU İLE İFADE EDİLMEKTEDİR.   BUNDAN SONRAKİ İLK ADIM f1(y) VE f2(y) FONKSİYONLARININ BİRİKİMLİ DAĞILIMLARINI BULMAKTIR. 4 y f ( y ) = - + , 4 £ y £ 6 1 5 5 6 2 y f ( y ) = - , 6 £ y £ 9 2 5 15 y 4 y y 2 4 y 8 = ò F ( y ) ( - + ) dy = - + 1 5 5 10 5 5 4 2 y æ 6 2 y ö y 2 6 y 22 ò F ( y ) = + ç - ÷ dy = - + - 2 15 è 5 15 ø 5 5 5 6 SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI BU İKİ FONKSİYON AŞAĞIDAKİ GRAFİĞİ OLUŞTURMAKTADIR. BİRİKİMLİ DAĞILIM FONKSİYONLARINI ELDE ETTİKTEN SONRA İKİNCİ ADIM r RASSAL DEĞİŞKENİNİ f(y) ‘YE EŞİTLEYEREK y DEĞERİNİ DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ İLE BULMAKTIR.   F(y) 1.00 F 2 (y) 0.40 F (y) 1 4 6 9 y y 2 4 y 8 r = - + , 4 £ y £ 6 ve 10 5 5 - y 2 6 y 22 r = + - , 6 £ y £ 9 15 5 5 SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI BUNDAN SONRAKİ ADIM y’Yİ ELDE ETMEK İÇİN EŞİTLİKLERİ ÇÖZMEKTİR. DAHA ÖNCE GELİŞTİRİLEN FORMÜL YUKARIDAKİ EŞİTLİKTE YERİNE KONURSA; a = 1/10, b = - 4/5 VE c = 8/5 – r OLUR.   a = - 1/15, b = 6/5 VE c = - 22/5 – r OLUR. BÖYLECE Y DEĞERLERİ; OLUR. - b ± b 2 - 4 ac ay 2 + by + c icin y = 2 a y 2 4 y 8 = - + - r , 4 £ y £ 6 10 5 5 y 2 6 y 22 = + - - r , 6 £ y £ 9 15 5 5 y = 4 ± 10 r , 4 £ y £ 6 y = 9 ± 15 ( 1 - r ) , 6 £ y £ 9 SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI İLK EŞİTLİK İÇİN UYGUN DEĞİLDİR ÇÜNKÜ y İÇİN 4 GÜNDEN DAHA AZ BİR ZAMANI İFADE ETMEKTEDİR. AYNI ŞEKİLDE İKİNCİ EŞİTLİK İÇİN UYGUN DEĞİLDİR ÇÜNKÜ y İÇİN 9 GÜNDEN FAZLA BİR SÜREYİ İFADE ETMEKTEDİR. BU NEDENLE; ARIZA SÜRESİNİ SİMÜLE ETMEK İÇİN BİR RASSAL SAYI r SEÇİLİR VE UYGUN y EŞİTLİĞİ KULLANILARAK y DEĞERİ ELDE EDİLİR. ÖRNEĞİN, r = 0.30 ARALIĞINA DÜŞMEKTEDİR. BU NEDENLE; GÜN OLARAK BULUNUR. y = 4 - 10 r y = 9 + 15 ( 1 - r ) y = 4 + 10 r . £ r £ . 40 4 £ y £ 6 y = 9 - 15 ( 1 - r ) . 40 £ r £ 1 . 00 6 £ y £ 9 £ r £ . 40 y = 4 + 10 ( . 30 ) = 5 . 73 SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI BU DURUM GRAFİK OLARAK AŞAĞIDA GÖSTERİLMEKTEDİR. UYGULAMA İÇİN İKİ FARKLI RASSAL SAYI GRUBU KULLANILMIŞTIR. r1 ARIZALAR ARASI SÜRELERİ, r2 İSE ONARIM SÜRELERİNİ BELİRLEMEK ÜZERE SEÇİLMİŞLERDİR.   F(y) 1.00 0.40 0.30 4 5.7 6 9 y SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI AŞAĞIDAKİ GRAFİK BAKIM PROGRAMI UYGULANDIĞI ZAMANKİ MAKİNA ARIZALARI ARASINDAKİ SÜREYİ GÖSTERMEKTEDİR. BAKIM PROGRAMI AYNI ZAMANDA ONARIM SÜRELERİNİ DA AZALTACAKTIR VE İLGİLİ FONKSİYONU AŞAĞIDAKİ ŞEKİLDE OLACAKTIR.   f(x) 0.33 6 x 1 y f ( y ) = - + , 2 £ y £ 4 1 3 6 2 y f ( y ) = - , 4 £ y £ 8 2 3 12 SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI AŞAĞIDAKİ GRAFİK BU DAĞILIMI GÖSTERMEKTEDİR. İLK OLARAK F(x) FONKSİYONU DÖNÜŞTÜRÜLÜR. BU, ARIZALAR ARASI SÜRELERİ GÖSTEREN x DEĞERİ İLE r RASSAL SAYI ARASINDAKİ İLİŞKİYİ VERECEKTİR. İKİNCİ OLARAK TERS DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ KULLANILARAK RASSAL SAYI r İLE ONARIM SÜRESİ y ARASINDAKİ İLİŞKİ KURULUR. BÖYLECE; OLUR. f(y) 0.33 2 4 8 y x = 6 r y = 2 + 6 r / 3 . £ r £ . 33 2 £ y £ 4 y = 8 - 2 6 ( 1 - r ) . 33 £ r £ 1 . 4 £ y £ 8 SİSTEM SİMÜLASYONU

SİMÜLASYON UYGULAMASI ELDE EDİLEN YENİ ARIZALAR ARASI SÜRELER VE ONARIM SÜRELERİ KULLANILARAK SİMÜLASYON TEKRAR EDİLDİĞİNDE AŞAĞIDAKİ TABLO ELDE EDİLİR. r1 ARIZALAR ARASI r2 ONR.SÜRESİ MALİYET BİR.SÜRE SÜRE x HAFTA y GÜN $800y x 0.45 4.03 0.19 3.51 2808 4.03   0.90 5.69 0.65 5.10 4080 9.72 0.84 5.50 0.51 4.57 3656 15.22 0.17 2.47 0.17 3.43 2744 17.69 0.74 5.16 0.63 5.02 4016 22.85 0.94 5.82 0.85 6.10 4880 28.67 0.07 1.59 0.37 4.11 3288 30.29 0.15 2.32 0.89 6.38 5104 32.58 0.04 1.20 0.76 5.60 4480 33.78 0.31 3.34 0.71 5.36 4288 37.12 0.07 1.59 0.34 4.02 3216 38.71 0.99 5.97 0.11 3.14 2512 44.68 0.97 5.91 0.27 3.80 3040 50.59 0.73 5.12 0.10 3.10 2480 55.71   $50592   SİSTEM SİMÜLASYONU