A409 Astronomide Sayısal Çözümleme IV. Eğri Uyumlama ve Regresyon Analizi

Eğri Uyumlama Trend Analizi İnterpolasyon ve Ekstrapolasyon Hipotez testi Chapra (2004)

Biraz Temel İstatistik… Merkezi Eğilim Ölçütleri Aritmetik Ortalama Medyan Mod Dağılım Ölçütleri Standart Sapma Varyans Değişim Katsayısı Noktadan noktaya dağılım

Biraz Daha Temel İstatistik… Dağılım Şekilleri Normal Dağılım Poisson Dağılımı

Lineer Regresyon  Minimizasyon Stratejileri : En uzak noktanın uzaklığı

Katsayıların Hataları Lineer Regresyon  ve Katsayıların Hataları

Lineer Regresyon Örnek : Bir roketin hızına karşılık maruz kaldığı hava direnci yandaki grafikte ve aşağıdaki çizelgede verilmiştir. En küçük kareler yöntemiyle en uygun doğru uyumlamasını yapınız.

Lineer Regresyon Bu doğru bu veri setine yapılabilecek en iyi (“the best”) doğru uyumlamasıdır.

Tahmin üzerindeki standart hata Lineer Regresyon Tahmin üzerindeki standart hata Regresyon katsayısı

Lineer Regresyon Örnek : Standart Sapma Tahmin Üzerindeki Standart Hata Regresyon Katsayısı Yani, veriyi lineer bir modelle temsil etmenin getirdiği iyileştirme bu düzeydedir. Bir başka deyişle, veri üzerindeki belirsizliğin %88.05’i lineer modelle açıklanabilmektedir!

Regresyon Katsayısına Dikkat! y = 3 + 0.5x lineer uyumlaması için regresyon katsayısı eşit 4 farklı veri seti (Anscombe 1973) Ders : Verinizi neyin daha iyi temsil edeceğini görmek istiyorsanız program çıktılarının yanı sıra grafiğe de mutlaka bakın!

Lineer Olmayan İlişkilerin Lineerleştirilmesi

Lineer Olmayan İlişkilerin Lineerleştirilmesi Örnek :

Lineer Olmayan İlişkilerin Lineerleştirilmesi

Polinom Regresyonu

Polinom Regresyonu =

Bu ifade için standart hata : Polinom Regresyonu Bu ifadeyi genelleştirelim... = Bu ifade için standart hata :

Polinom Regresyonu Örnek : = 2. dereceden bir polinomla modellemek istiyor olalım. = Yani, verideki belirsizliğin %99.851’i 2. dereceden bir polinom modeliyle temsil edilebiliyor!

Polinom Regresyonu Örnek (devam) : Regresyon katsayısı :

Çok Değişkenli Lineer Regresyon

Çok değişkenli Lineer Regresyon

Çok Değişkenli Lineer Regresyon Örnek : Çok değişkenli bir lineer model arıyor olalım.

Çok Değişkenli Lineer Regresyon Bu ifadeyi genelleştirelim... = Bu ifade için standart hata : Lineer olmayan bazı ifadeleri yine lineer hale getirebiliriz :

En Küçük Kareler Yöntemi (Genel) Lineer Regresyon Çok Değişkenli Lineer Regresyon Polinom Regresyonu minimize edilirse

En Küçük Kareler Yöntemi (Genel) ŷi : En küçük kareler yöntemiyle belirlenen değer ỹ : Aritmetik ortalama Tüm durumlar için standart hata :

Fermi Gamma Işını Teleskobu ile M82 Gözlemleri Örnek 1 : Astronomlar, Fermi Gamma Işını Teleskobu’nu kullanarak, 12 milyon ışık yılı uzaklıktaki M82’nin önemli bir gamma ışını kaynağı olduğunu keşfettiler. Yapılan araştırmalar bu cismin, aktif çekirdekli mini bir kuasar olduğunu ortaya koydu. Aşağıda bu cisimden alınan gamma ışınlarının MeV cinsinden enerjisine karşılık santimetrekareye 1 saniyede ulaşan sayısı verilmektedir. M82 için algılanan gamma ışını şiddeti ile sayısı arasındaki ilişkiyi en küçük kareler yöntemi ile bulunuz. Bu sonuca dayanarak 20000 MeV için saniyede santimetrekareye düşen gamma parçacığı sayısı için bir kestirimde bulununuz. x (MeV) F (x) 407.38 1.94984E-06 1122.02 2.0893E-06 4466.84 7.07946E-07 1047128.55 2.0893E-07 1288249.55 1.90546E-07 2089296.13 1.38038E-07

Küresel Isınmanın Ciddiyeti Örnek 2 : Karbondioksit seviyesinde 1960'dan bu yanaki değişim Keeling Eğrisi adı verilen bir eğriyle ifade edililr. Söz konusu değişim küresel ısınmaya neden olduğu gerekçesiyle endişe konusudur. Aşağıda 1960'dan bu yana geçen süre içerisinde onar yıllık ölçüm sonuçları milyon parçacık başına verilmiştir. Keeling Eğrisinin bir parabolle (2. dereceden bir polinomla) temsil edilebileceğini düşünerek ve eldeki veriyi kullanarak eğriye en uygun formülü bulunuz. Keeling Eğrisi yapısını korursa 2060 yılı sonunda parçacık başına kaç karbondioksit molekülü düşer hesaplayınız.

Ötegezegen Keşif Sayıları Örnek 3 : Kullanılan teknikler ve gözlem araçlarının teknolojiye paralel gelişimi ile birlikte astronomlar giderek daha fazla sayıda ötegezegen keşfediyorlar. Başlangıçta sadece birkaç Jüpiter kütlesinde ve yıldızının deyim yerindeyse “burnunun dibindeki” gezegenleri keşfedebiliyorken artık Dünya kütlesine yakın ve yıldızına yaşama uygun koşulların oluşabileceği kadar uzaktaki gezegenleri de keşfedebiliyoruz. Aşağıda 1995 yılında Mayor ve Queloz tarafından bir Güneş benzeri (51 Peg) yıldızın etrafında bulunan ilk gezegenden bu yana keşfedilen gezegen sayıları 1995 yılı milat kabul edilerek verilmiştir. Keşfedilen ötegezegen sayısının geçen zamana bağımlılığının 2. dereceden bir polinomla ifade edilebileceğini düşünerek bu polinomu bulunuz ve 2000 ile 2020 seneleri için bu polinomu kullanarak keşif sayısı konusunda bir tahminde bulununuz. Sonuçlarınızı grafik üzerinde gösteriniz.

Ödev 5 :Uzaklık Modülü Teslim Tarihi: 19 Aralık 2014, Cuma Yanda bir grup yıldız için görsel parlaklıkları ile mutlak parlaklıkları arasındaki farka karşılık uzaklıkları bir tablo halinde verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak uzaklık modülünü (görsel parlaklık ile mutlak parlaklık arasındaki farkın uzaklığa ne şekilde bağlı olduğunu) gözlemsel (empirik) olarak bulunuz. Bu ifadeyi teorik uzaklık modeli ile karşılaştırınız. Bulduğunuz ifadeyi d= 20 pc uzaklığındaki bir yıldızın mutlak ve görsel parlaklıkları arasındaki farkı hesaplamak üzere kullanınız. Bulduğunuz değer üzerindeki bağıl hatayı hesaplayınız. Not 1:. Sorunun Python programlama dilini kullanarak çözülmesi mecburidir! Not 2:. Grafik çizdirmek zorunda değilsiniz. Ekrana bulduğunuz ilişkinin parametreleri (a0,a1,korelasyon katsayisi, modelle gozlenen noktalar arasindaki farklarin kareleri toplami (Sr) ,standart hata) yazdirmaniz yeterlidir. İpucu 1: egri_uyumlama_ornek1.py’yi iyi analiz ediniz! İpucu 2: Gerçek değeri hesaplayacağınız teorik uzaklık modülü denklemini bir kenara yazınız! Yıldız m – M (kadir) d (pc) Antares -6.15 170 Sirius 2.89 3 Castor -0.96 16 Pollux -0.08 10 Polaris -5.61 133 Vega 0.57 7 Deneb -8.18 430 Altair 1.45 5 Rigel -7.12 264 Betelgeuse -5.92 153

Kaynaklar Numerical Analysis Using Matlab and Excel 3rd ed., Steven T. Karris, Orchard Publications, 2007 Numerical Methods for Engineers 6th ed., Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, McGraw Hill, 2010 Numerical Methods, Rao V. Dukkipati, New Age International, 2010