SAYILAR

RAKAMLAR Sayıları ifade etmek için kullan-dığımız {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarının her birine rakam denir.

S A Y I Rakamların birlikte oluşturduğu çokluğa sayı adı verilir. Her rakam bir sayıdır, ancak her sayı bir rakam değildir.

SAYI KÜMELERİ

R - -e e   3,14 e 2,718 Q -2 -3 -5 -11 -20 Z .0 .1 .2 .3 N N  N Z Q R

{..., -4, -2, 0, 2, 4 .....} kümesinin elemanları çifttir. n  Z olmak üzere 2n, 4n, 6n + 2, 8n + 10, 12n - 4 sayıları birer çift sayıdır. ÇiFT SAYILAR

TEK SAYILAR {..., -3, -1, 1, 3, .....} kümesinin eleman-ları tektir. n  Z olmak üzere 2n - 1, 2n + 1, 8n + 5, 10n + 5, 10n + 1 sayıları birer tek sayıdır. TEK SAYILAR

NOT n  Z olmak üzere Çift doğal sayılar 2n Tek doğal sayılar 2n - 1 ile ifade edilir. NOT

UYARI 4. Ç . Ç = Ç Ç Ç = Ç 5. Ç . T = Ç 2. T T = Ç 6. T . T = T Ç Ç = Ç 2. T T = Ç 3. T Ç = T 4. Ç . Ç = Ç 5. Ç . T = Ç 6. T . T = T Sonuç : Tn = T n  N Çn = Ç n  N+

ÖRNEKLER

1. 920 + 67 sayısının tek mi çift mi olduğunu bulunuz?

920 tek 67 çift olduğundan 920 + 67 = Tek sayıdır.     Tek + Çift = Tek ÇÖZÜM

2. a, b, c  Z+ olmak üzere aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır? A) (2a)b + (6b)c B) (123)5 + (17)c C) 5a + 7b D) (2a + 1)4 + 4c E) (2c)13 + (4b)2

Tn = T, Çn = Ç olduğunu hatırlarsak, A) (2a)b + (6b)c = Ç + Ç = Ç B) (123)5 + (17)c = T + T = Ç C) 5a + 7b = T + T = Ç D) (2a + 1)4 + 4c = T + Ç = T E) (2c)13 + (4b)2 = Ç + Ç = Ç ÇÖZÜM

ARDIŞIK SAYILAR

Ardışık sayılar  n, n + 1, n + 2,... Ardışık çift sayılar  2n, 2n + 2, 2n + 4,... Ardışık tek sayılar  2n-1, 2n+1, 2n+3,... Şeklinde ifade edilir.

ÖRNEK 3 a < b < c a, b, c ardışık doğal sayılar a = 0, b = 1, c = 2 alınırsa

ÖRNEK 4: Ardışık 15 pozitif tamsayının toplamı 2085 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır? A) 127 B) 129 C) 130 D) 132 E) 138 ÖRNEK 4:

ÇÖZÜM Doğru cevap (D) seçeneğidir. (x-7) + (x-6) + ... + (x-1)+ (x) + (x+1) + ... + (x+6) + (x+7) = 15x = 2085 ise x = 139 x – 7 = 139 – 7 = 132 Doğru cevap (D) seçeneğidir.

ARDIŞIK TAMSAYILARIN TOPLAMI

1 + 2 + 3 ......+ n = 2 + 4 + 6 ......+ 2n = n . (n + 1) 1 + 3 + 5 ......+ 2n-1 = n2 dir.

ÖRNEKLER 1 + 2 + 3 ......+ 20 = = 210 10 + 11 + 12 + ... + 30 =

2 + 4 + 6 + ...+ 40 = 20 . 21 = 420 12 + 14 + 16 + ... + 50 = 25 . 26 – 5 . 6 = 620 1 + 3 + 5 + ... + 17 = 92 = 81 15 + 17 + 19 + ... + 41 = 212- 72 = 392

Ardışık terimler arasındaki farkın eşit olduğu bütün sayı dizilerinde UYARI

(İlk Terim+Son Terim). Terim sayısı formülleri bulunur. (İlk Terim+Son Terim). Terim sayısı 2 Bütün Terimler Toplamı = Terim Sayısı = +1 Son terim - ilk terim ortak fark

toplamının sonucu kaçtır? 18 + 21 + 24 + .... + 96 toplamının sonucu kaçtır? ÖRNEK 5:

ÇÖZÜM = 18 + 21 + 24 + .... + 96 = 1539 Terim sayısı = + 1 = 27 Bütün terimlerin toplamı = = 18 + 21 + 24 + .... + 96 = 1539

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ

ab iki basamaklı, abc üç basamaklı, abcd dört basamaklı birer doğal sayı olmak üzere ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c abcd = 1000a + 100b + 10c + d

UYARI a b b a 11(a + b) + 9(a - b) - a b c c b a X 9 Y X + Y = 9

ab iki basamaklı sayısı rakamları toplamının x katı, ba iki basamaklı sayısı rakamları toplamının y katıdır. Buna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 22 ÖRNEK 6:

ÇÖZÜM ab = (a + b) . x + ba = (a + b) . y 11(a + b) = (a + b) . (x + y) x + y = 11 Doğru cevap (D) seçeneğidir.

ÖRNEK 7: abc ve cba rakamları farklı üç basamaklı doğal sayılar abc sayısının birler ve yüzler basama-ğındaki rakamlar yer değiştirdiğinde sayı 594 küçülüyor. Kaç farklı abc sayısı yazılabilir? A) 40 B) 32 C) 30 D) 24 E) 18 ÖRNEK 7:

ÇÖZÜM a b c abc - 1  8 tane - cba - 2  8 tane 99 (a - c) = 594 ise Doğru cevap (D) seçeneğidir. a b c - 1  8 tane - 2  8 tane - 3  8 tane Toplam 24 tane

Ardışık 4 tane çift tamsayının toplamı 196 ise en büyük sayı kaçtır? A) 44 B) 46 C) 48 D) 50 E) 52 ÖRNEK 8:

ÇÖZÜM En küçük sayı : x alınırsa Ardışığı olan çift tamsayılar : (x + 2), (x + 4), (x + 6) şeklindedir. x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 196 4x + 12 = 196 4x = 184 ise x = 46 Doğru cevap (B) seçeneğidir.

İki basamaklı ve birbirinden farklı 4 pozitif çift tamsayının toplamı 86 dır. Bu sayıların en büyüğü en çok kaç olabilir? A) 30 B) 40 C) 50 D) 58 E) 64 ÖRNEK 9:

ÇÖZÜM En büyük sayıyı bulmak için diğer üç sayının mümkün olan en küçük sayı olmaları gerekir. En küçük iki basamaklı üç çift sayı : 10, 12 ve 14 tür. O halde, 10 + 12 + 14 + x = 86 36 + x = 86 ise x = 50 Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.

x, y, z sıfırdan farklı birer tamsayı ve x + y = z olduğuna göre x + y + z toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 16 B) 22 C) 24 D) 33 E) 36 ÖRNEK 10: (ÖSS / 1994)

ÇÖZÜM x + y = z verilmiş x + y + z toplamındaki (x + y) nin yerine z yazılırsa x + y + z = z + z = 2z olur. z bir tamsayı olduğuna göre 2z çift sayıdır. Cevap şıklarında 16 22 24 33 36 sayılarından sadece 33 tek sayıdır. Doğru cevap (D) seçeneğidir.

Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı 4 tür Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı 4 tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı yer değiştirdiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 297 küçüktür. Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 ÖRNEK 11:

ÇÖZÜM abc sayısının birler basamağı 4 ise c = 4 tür. abc - cba = 297 Doğru cevap (D) seçeneğidir. abc sayısının birler basamağı 4 ise c = 4 tür. abc - cba = 297 99.(a – c) = 297 a – c = 3 a – 4 = 3 a = 7

102 ile 353 arasında bulunan ve 5 ile kalansız bölünebilen sayıların top-lamı kaçtır? A) 9875 B) 10100 C) 10350 D) 11250 E) 11375 ÖRNEK 12:

ÇÖZÜM Toplamı istenen sayılar 105 + 110 + ... + 350 dir. Terim sayısı : +1 Terim sayısı = 50 105 + 110 +... + 350 = = 25 . 455 = 11375 Doğru cevap (E) seçeneğidir.

25 ile 107 arasındaki 4 ile tam bölünebilen tamsayıların toplamı kaçtır? A) 1350 B) 1340 C) 1330 D) 1320 E) 1310 ÖRNEK 13:

ÇÖZÜM Son Terim –İlk Terim Ortak fark 104 – 28 4 (104 + 28).20 2 Toplamı istenen sayılar: 28 + 32 + ... + 104 Terim sayısı = + 1 Terim sayısı = + 1 = 20 Toplam = = 1320 Doğru cevap (D) seçeneğidir. Son Terim –İlk Terim Ortak fark 104 – 28 4 (104 + 28).20 2

ÖRNEK 14: 11  13  ...  (3a  5) = 200 eşitliğinde sol tarafta ardışık teksayıların toplamı verilmiştir. Buna göre, a kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

ÇÖZÜM: 1 + 3 + 5 ......+ (2n-1) = n2 dir. 11 + 13 + ... + (3a + 5) = 200 Verilen eşitliğin her iki tarafına 1 + 3 + 5 + 7 + 9 toplamını eklersek 1 + 3 + 5 + ...+ (3a + 5) = 225 n2 = 225 ise n = 15 tir. 2n – 1 = 3a + 5 olduğundan n = 15 için a=8 bulunur. Doğru cevap (B) seçeneğidir.

İki basamaklı birbirinden farklı dört tane tamsayının toplamı 321 ise bu sayıların en küçüğü en az kaç olabilir? A) 27 B) 26 C) 25 D) 24 E) 23 ÖRNEK 15:

ÇÖZÜM: Sayılardan birinin en küçük olması için geri kalan üç sayının verilen şartları sağlayan en büyük iki basamaklı tamsayılar olması gerekir. Bu sayılar 99 , 98 , 97 alınırsa toplamları 294 olur. En küçük sayı = 321 – 294 = 27 bulunur. Doğru cevap (A) seçeneğidir.

İki basamaklı rakamları farklı olan dört farklı tamsayı toplanıyor İki basamaklı rakamları farklı olan dört farklı tamsayı toplanıyor. Toplam 101 ise en büyük sayı en fazla kaç olabilir? A) 43 B) 47 C) 54 D) 64 E) 65 ÖRNEK 16:

ÇÖZÜM: Sayılardan birinin en büyük olması için geri kalan üç sayının verilen şartları sağlayan en küçük iki basamaklı doğal sayılar olması gerekir. Bu sayılar 10 , 12 , 13 alınırsa toplamları 35 olur. Bu durumda diğer sayı 66 olacağından verilen şarta uygun olmaz. O halde sayıları 10 , 12 , 14 alırsak toplamları 36 olur. En büyük sayı = 101 – 36 = 65 bulunur. Doğru cevap (E) seçeneğidir.

a, b, c  Z ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) a tek sayıdır B) b tek sayıdır C) c tek sayıdır D) a ve b tek sayıdır E) b çift sayıdır ÖRNEK 17: + ve

+ ÇÖZÜM : ise 2a + 3b = 4c Ç Ç 3b nin çift olması gerekir. 3b nin çift olması için b daima çift olmalıdır. Doğru cevap (E) seçeneğidir.

n pozitif tek sayı ve m pozitif çift sayı olmak üzere aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır? A) nm  n B) mn  m C) 3n  5m D) n2  m2 E) n2  n3 ÖRNEK 18:

ÇÖZÜM : Kuvvetlerin çiftlik ve tekliğe etkisi olmayacağından kuvvetleri silip n = 1 , m =0 alınıp cevaplarda yerine yazılırsa 1 + 1 = 2 çift 0 + 0 = 0 çift 3 + 1 = 4 çift 1 + 0 = 1 tek O halde doğru cevap (D) seçeneğidir.

İki basamaklı ab sayısının 28 eksiği a - b farkının 4 katına eşit ise a  b toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 ÖRNEK 19:

ÇÖZÜM : ab – 28 = 4.(a-b) 10a +b – 4a + 4b = 28 6a + 5b = 28 b = 2 alınırsa a = 3 olacağından a + b = 3 + 2 = 5 bulunur. Doğru cevap (A) seçeneğidir.

ÖRNEK 20: Rakamlarının toplamı kendisinin 9 eksiğinin una eşit olan üç basamaklı kaç sayı vardır? A) 1 B) 3 C) 5 D) 9 E) 10

ÇÖZÜM : Sayımız üç basamaklı abc olsun. Verilen şarta göre, abc – 9 = 10 (a + b + c ) 100a + 10b + c – 9 = 10 a + 10 b + 10c 90a = 9c + 9 10a = c +1 olacağından c = 9 için a = 1 olur. Sayımız 1b9 olur. b nin alabileceği değerler rakamlar kümesinin Tamamı olacağından b 10 farklı değer alır. Doğru cevap (E) seçeneğidir.

Üç basamaklı bir sayının yüzler basama-ğındaki rakam ile onlar basamağındaki rakamın yerleri değiştirildiğinde sayı 270 küçülmektedir. Yerleri değiştirilen rakam-ların farkı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÖRNEK 21:

ÇÖZÜM : Üç basamaklı sayı abc olsun. Yüzler basamağı ile onlar basamağı yer değiştirirse sayı bac olur. Sayı 270 küçüleceğinden abc – bac = 270 olur. 90 (a-b) = 270 a – b = 3 bulunur. Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.

ÖRNEK 22: a ve b 1 den büyük tamsayılar ve 3a + 7b = 40 ise a + b toplamı kaçtır? A) 13 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4 ÖRNEK 22:

ÇÖZÜM : 3a + 7b = 40 7b = 40 – 3a a = 4 alınırsa b = 4 olur. a + b = 4 + 4 = 8 bulunur. Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.

ÖRNEK 23: abc ile cba üç basamaklı sayılardır. Yandaki çıkarma a b c işleminde Ia - cI farkı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 a b c c b a 3 9 6

ÇÖZÜM : abc – cba = 396 ise 99 (a – c) = 396 a – c = 4 bulunur. Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.

Ardışık iki tek sayının kareleri farkı 48 ise küçük sayı kaçtır? A) 15 B) 11 C) 10 D) 9 E) 7 ÖRNEK 24:

ÇÖZÜM : Sayılar x ile x + 2 olsun (x + 2)2 - x2 = 48 4x + 4 = 48 ise x = 11 bulunur. Doğru cevap ( B) seçeneğidir.

F A K T Ö R İ Y E L

n  N+ olmak üzere 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve şeklinde gösterilir.

0! = 1 1! = 1 2! = 2 . 1 = 2 3! = 3 . 2 . 1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 n  5 için n! in birler basamağı daima sıfırdır. n! = n.(n-1)!

ÖRNEK 25: işleminin sonucu kaçtır? A) 100 B)110 C) 120 D)130 E)150

ÇÖZÜM 11 . 10 = 110 Doğru cevap (B) seçeneğidir.

AÇIKLAMA: a asal sayı, b , n , x  Z + iken n! = a x.b ise x in alabileceği en büyük değer , n in a ve a nın kuvvetlerine bölümündeki bölümler toplamı kadardır.

n a p a r ..... a t (t <a) x in en büyük değeri = p +r +....+ t

ÖRNEK 26: x , y  Z + ve 12! = 2x .y ise x in alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

ÇÖZÜM 12 2 6 2 3 2 1 x in en büyük değeri = 6 +3 +1 = 10 bulunur. 12 2 6 2 3 2 1 x in en büyük değeri = 6 +3 +1 = 10 bulunur. Doğru cevap (B) seçeneğidir.

ÖRNEK 27: x , y  Z + ve 12! = 8x .y ise x in alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

ÇÖZÜM 12 2 6 2 3 2 1 3x 6 +3 +1 3x 10 olacağından x in en büyük değeri 3 olmalıdır. Doğru cevap (C) seçeneğidir. 12! = 23x.y

ÖRNEK 28: x , y  Z + ve 20! = 12x .y ise x in alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 11

ÇÖZÜM 20!=22x.3x.y 2 nin ve 3 ün kuvvetlerini hesaplayalım. Kuvveti az olan x in alabileceği en büyük değerdir 20 2 10 2 5 2 1 2 2 2x 10+5+2+1 2x 18 x in en büyük değeri 9

x in en büyük değeri = 6 +2 = 8 x in alabileceği en büyük değer kuvveti küçük olan olacağından x in en büyük değeri 8 dir. Doğru cevap (C) seçeneğidir. 20 3 6 3 2

n! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için içindeki 5 çarpanının sayısını bulmak gerekir. NOT

97! sayısı hesaplandığında sayının sondan kaç basamağı sıfırdır? A)19 B) 20 C)21 D)22 E)23 ÖRNEK 29:

ÇÖZÜM 97! sayısının içinde kaç tane 5 çarpanı olduğunu bulmalıyız. İşlemi yapacak olursak 97 5 19 5 3  19 + 3 = 22 bulunur. Doğru cevap (D) seçeneğidir.

ÖRNEK 30: A, n birer doğal sayı A = ise n doğal sayısının en büyük değeri kaçtır? A)15 B)16 C) 17 D)18 E)19

ÇÖZÜM Buna göre doğru cevap (E) seçeneğidir. 43 3 3 4 3 1 n doğal sayısının alabileceği en büyük değer 43! sayısının içindeki 3 çarpanlarının sayısına eşittir. 43! içindeki 3 çarpanının sayısı  n in en büyük değeri 14 + 4 + 1 = 19 bulunur 43 3 3 4 3 1 Buna göre doğru cevap (E) seçeneğidir.

DOĞAL SAYILAR KÜMESİNDE BÖLME

a, b, c ve k doğal sayılar a > b ve 0  k < b a : bölünen b : bölen c : bölüm k : kalan a b c k

a b c k Bölme işlemine göre; 1) a = b . c + k a nın b ile bölümünden kalan k dir. 2) k < b kalan daima bölenden küçük olur. 3) k = 0 ise a , b ye tam (kalansız) bölünüyor denir. a = b.c eşitliğinde b ile c ye a sayısının çarpanları adı verilir. a b c k

ÖRNEK 31 x ve y pozitif tamsayılar. 4x + 7 6 5 bölme işlemine göre y x in en büyük değeri kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 bölme işlemine göre 4x + 7 6 5 y

ÇÖZÜM Bölme işleminde kalan, bölenden daima küçük olacağından (y < 6) y en fazla 5 olabilir. Bölünen = Bölen . Bölüm + Kalan özelliğinden, 4x + 7 = 6 . 5 + y  4x + 7 = 30 + y y yerine 5 yazalım. 4x + 7 = 30 + 5  4x = 28 x = 7 dir. Doğru cevap (B) seçeneğidir.

Bir bölme işleminde kalan, bölümden küçük ise; bölen ile bölüm yer değiştirilerek bölme işlemi yapılırsa yine aynı kalan elde edilir. UYARI

Örneğin : 72 5 72 14 5 14  40 5 22 2 kalan 20 2 kalan (5 ile 14 yer değiştirilip bölme yapılırsa aynı kalan elde edilir.)

ÖRNEK 32: (ÖSS / 1984) 94 ?? 8 Yandaki bölme işlemin-de kalan ne olur? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Yandaki bölme işlemin-de kalan ne olur? 94 ?? 8

ÇÖZÜM Soruyu şeklinde düşünerek buluruz. 94 8 ?? 94 8 8 11 kalan 6 olur. 14 8 6 Doğru cevap (D) seçeneğidir.

ÖRNEK 33: (ÖSS / 1996) Bir bölme işleminde bölünen ve bölenin toplamı 83, bölüm 9, kalan 3 olduğuna göre, bölen kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

ÇÖZÜM Cevap D’dir. Bölünen x, bölen y olsun. x + y = 83 Bölünen Bölen Bölüm Kalan x y 9 3  x + y = 83  x = 9y + 3  9y + 3 + y = 83  10y = 80  y = 8 bulunur.

ÖRNEK 34:(ÖSS-1998) K L . 5 2 L M . 4 3 Yukarıdaki bölme işlemlerinde K,L,M harfleri birer pozitif tamsayıyı göstermektedir. Buna göre, K + L + M – 20 işleminin sonucu 5M A) 3 B)4 C) 5 D) 6 E) 7 kaçtır ?

ÇÖZÜM L M . 4 3 K L . 5 2 Verilen bölme işlemlerinin sağlamaları yapılırsa : K = 5L + 2 (1) L = 4M + 3 (2)

Doğru cevap ( C ) seçeneğidir. (2) deki L değeri (1) de yerine yazılırsa K = 5 ( 4M + 3) + 2 K = 20 M + 17 K + L +M –20 5M ifadesinde K ve L değerlerini yerine yazalım. 20M + 17 + 4M + 3 + M – 20 25M 5M 5M = = 5 bulunur. Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.

BÖLÜNEBİLME KURALLARI

Çift sayılar (birler basamağında 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından biri bulunan) 2 ile tam bölünürler. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir. 2 İle Bölünebilme

ÖRNEĞİN 246, 1350, 87532, ... sayıları 2 ile tam bölünür. 83, 11, 2467, 9999 sayılarının 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

UYARI: 3 İle Bölünebilme Rakamları toplamı 3 ve 3 ün katı olan her sayı 3 ile tam bölünür. UYARI: Bir sayının 3 ile bölümündeki kalan sayının rakamları toplamının 3 e bölümündeki kalandır.

ÖRNEĞİN a) A = 73251 için 7 + 3 + 2 + 5 + 1 = 18 (3 ün 6 katı) olduğundan A = 73251 sayısı 3 ile tam bölünür. b) A = 49382 için; 4 + 9 + 3 + 8 + 2 = 26, 26 nın 3 ile bölümünden kalan 2 olduğundan A sayısının da 3 ile bölümünden kalan 2 dir.

Son iki basamağı 00 veya 4 ün katı olan her sayı 4 ile tam bölünür. UYARI: 4 ile bölümdeki kalan sayının son iki basamağının 4 e bölümündeki kalandır. 4 İle Bölünebilme

ÖRNEĞİN a) 432516 sayısında son iki rakamın oluşturduğu 16 sayısı 4 ün katı olduğundan, 432516 sayısı 4 ile tam bölünür. b) 98327 sayısı için; son iki rakamın oluşturduğu sayı 27 dir. 27 nin 4 ile bölünmesinden kalan 3 olduğundan 98327 nin de 4 e bölümünden kalan 3 tür.

Son rakamı (birler basamağı) 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür. UYARI: Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, bu sayının son rakamının 5 e bölümündeki kalandır. 5 İle Bölünebilme

ÖRNEĞİN a) 63875, 9300, 827315, ... sayıları 5 ile tam bölünürler. b) 379 un 5 ile bölümünden kalan 9 - 5 = 4 tür. c) 83227 nin 5 ile bölümünden kalan 7 - 5 = 2 dir. d) 12834 sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 tür. (4 ün 5 ile bölümünden kalan yine 4 olur.) e) 20731 sayısının 5 ile bölümünden kalan 1 dir.

Hem 2 hem de 3 ile bölünen sayılar, 6 ile tam bölünürler. 6 İle Bölünebilme

ÖRNEĞİN a) 8376 sayısı 2 ile tam bölünür. (Son rakamın çift) 8 + 3 + 7 + 6 = 24 (3 ün katı) olduğundan 3 ile tam bölünür. O halde 8376 sayısı 6 ile tam bölünür. b) 222 sayısı hem 2, hem de 3 ile bölündüğü için 6 ile tam bölünür.

8 İle Bölünebilme Son üç basamağı 000 veya 8 in katı olan her sayı 8 ile tam bölünür. UYARI: 8 ile bölümdeki kalan sayının son üç basamağının 8 e bölümündeki kalandır.

ÖRNEĞİN a) 975120, 8 ile bölünür. (Çünkü 120 sayısı 8 ile tam bölünür) b) 345193 sayısının 8 ile bölümünden kalan; 193 8 16 24 1 dir. 33 32 1 c) 354000 gibi son üç rakamı 0 olan sayılar 8 ile tam bölünürler.

9 İle Bölünebilme Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar, 9 ile tam bölünürler. UYARI: Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 9 a bölümünden elde edilen kalana eşittir.

ÖRNEĞİN a) 728136 sayısı 9 ile bölünür mü? Rakamların toplamı 7 + 2 + 8 + 1 +3 + 6 = 27 dir. 27sayısı 9 ile tam bölündüğü için 728136 da 9 ile tam bölünür. b) 3452 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? 3 + 4 + 5 + 2 = 14, 14 ün 9 a bölümündeki kalan 5 olduğundan, 3452 nin de 9 ile bölümündeki kalan 5 tir.

10 İle Bölünebilme Birler basamağı sıfır olan sayılar 10 ile tam bölünürler. UYARI: Bir sayının 10 ile bölümünden kalan o sayının birler basamağındaki rakamdır.

ÖRNEĞİN a) 19720, 83510, 111230 .... sayıları 10 ile tam bölünürler. b) 2378 sayısının 10 ile bölümünden kalan 8 dir.

Bir A sayısının basamaklarındaki rakamlar sağdan başlanarak + - + - + - .... şeklinde işaretlenir. (+) gruplarla (-) grupların toplamı 0 veya 11 in katı olan her sayı 11 ile tam bölünür. 11 İle Bölünebilme

UYARI: 11 ile bölümdeki kalan (+) (-) gruplar toplamının 11 e bölümündeki kalandır.

ÖRNEĞİN + - + - + a) 76329 sayısı için: 7 6 3 2 9  (9 + 3 + 7) - (2 + 6) = 11 olduğundan, 73629 11 ile tam bölünür. b) 8 1 3 4 6 sayısı için (6 + 3 + 8) - (4 + 1) = 17 - 5 = 12, 12 nin 11 ile bölümünden kalan 1 olduğundan 81346 nında 11 ile bölümünden kalan 1 dir. + - + - +

ÖRNEK 35:(ÖSS-1992) a = b olmak üzere dört basamaklı a23b sayısı 6 ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamı en çok kaçtır? A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16

ÇÖZÜM: a = b iken a23b sayısının 6 ile bölünebilmesi için hem 2, hem 3 ile tam bölünebilmeli. 2 için b= {0,2,4,6,8} olmalı. (a+b) en büyük olacağından b=8 alalım. a238 3 ile bölünebilmesi için a +2+3 + 8 = 3k olmalı a + 13 = 3k olması için

a= {2,5,8} olmalı. a = b olacağından a nın en büyük değeri 5 tir. a + b = 5 + 8 = 13 bulunur. Doğru cevap (C) seçeneğidir.

ÖRNEK 36:(ÖSS-1994) Beş basamaklı 561ab sayısı 30 ile bölünebildiğine göre, a yerine gelebilecek en büyük rakam kaçtır ? A)9 B)8 C)7 D)6 E)5

ÇÖZÜM: Sayının 30 ile tam bölünebilmesi için 3 ve 10 ile tam bölünebilmeli. 10 için 561ab sayısının birler basamağı 0 olmalı. b= 0 için sayı : 561a0 3 ile bölünebilmesi için rakamlar toplamı 3 veya 3 ün katı olmalı.

5 + 6 + 1 + a + 0 = 3k 12 + a =3k a= {0 , 3 , 6 , 9 } O halde a nın alabileceği en büyük değer = 9 bulunur. Doğru cevap (A) seçeneğidir.

Beş basamaklı 3a8a2 sayısı 36 ile bölünüyor Beş basamaklı 3a8a2 sayısı 36 ile bölünüyor. Buna göre a yerine yazıla-bilecek sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 ÖRNEK 37:

ÇÖZÜM: 3a8a2 sayısının 36 ile bölünebilmesi için 4 ve 9 ile tam bölünebilmeli. 4 için son iki basamak (a2) nin 4 ün katı olması gerekir. Bunun için a = {1, 3, 5, 7, 9 } olmalı. 9 için 3 + a + 8 + a + 2 = 9k olmalı 2a + 13 = 9k

a = 7 için 2.7 + 13 = 27 = 9k olduğundan 3a8a2 sayısı 9 ile bölünür. Doğru cevap (D) seçeneğidir.

ÖRNEK 38: Rakamları birbirinden farklı olan, üç basamaklı 3KM sayısı 3 ve 5 ile kalansız bölünebiliyor. Buna göre, K kaç farklı değer alabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

ÇÖZÜM: 3KM sayısının 5 ile kalansız bölünebilmesi için M=0 veya M=5 olmalı. Sayılar : 3K0 ile 3K5 tir. 3K0 sayısının 3 ile bölünebilmesi için K={0, 3, 6, 9} olmalı. Rakamlar farklı olacağından K= 0 ile K= 3 olamaz.

K={ 6, 9 } olmalı. 3K5 sayısının 3 ile bölünebilmesi için K= { 1 , 4, 7 } olmalı. O halde K nın alabileceği 5 değer vardır. Doğru cevap (D) seçeneğidir.

573ab sayısının 20 ile tam bölünebilmesi için a yerine yazılabilecek sayıların toplamı kaçtır? A) 27 B) 24 C) 20 D) 18 E) 12 ÖRNEK 39:

ÇÖZÜM: Sayının 20 ile tam bölünebilmesi için 5 ve 4 ile tam bölünebilmeli. 5 için b = {0,5} olmalı 4 için b = 5 olamaz b = 0 olmalı. Sayının 4 e bölünebilmesi için a0 sayısının 4 ile tam bölünmesi gerekir.

Bunun için a = {0 , 2 , 4 , 6, 8 } olmalı. Toplamları = 0+2+4+6+8= 20 bulunur. Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.

Üç basamaklı 39a sayısının 6 ile kalansız bölünebilmesi için a kaç tane farklı değer alabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÖRNEK 40:

ÇÖZÜM: 6 ile bölünebilmesi için 2 ve 3 ile tam bölünebilmeli. 2 için a = {0,2,4,6,8} olmalı. 3 için a + 3 + 9 = 3k olmalı. O halde a = {0 , 3, 6, 9} olmalı. Her iki durumu sağlayan a = {0 , 6} a iki farklı değer alır. Doğru cevap (B) seçeneğidir.

1 ve kendisinden başka hiçbir sayıya bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... sayıları birer asal sayıdır. Görüldüğü gibi 2 den başka, çift asal sayı yoktur. ASAL SAYILAR :

ARALARINDA ASAL SAYILAR : 1 den başka ortak böleni olamayan doğal sayılara, aralarında asal sayılar denir. 8 ile 15, 9 ile 10, 16 ile 21, {3,6,20} gibi ARALARINDA ASAL SAYILAR :

Sayıların aralarında asal olmaları için, kendilerinin asal sayı olmaları şart değildir. 3 ile 8 aralarında asaldır. 9 ile 33 aralarında asal değildir. Çünkü 3, her ikisinin de bölenidir. 7, 12, 13 aralarında asal sayıdır. UYARI

ÖRNEK 41 a < b olmak üzere a - 2 ile b + 3 aralarında asal sayılardır. (a - 2) . (b + 3) = 24 olduğuna göre, b yerine yazılabilecek tamsayıların toplamı kaçtır? A) 18 B) 21 C) 26 D) 31 E) 41

ÇÖZÜM a < b a - 2 ile b + 3 aralarında asal olduklarına göre 24 ü aralarında asal iki sayının çarpımı olarak yazmalıyız. Şu haller mümkündür: i) (a - 2) . (b + 3) = 1 . 24  a - 2 = 1 ise a=3 b + 3 = 24 b = 21 3 <21 a<b şartını sağlar

ii) (a - 2) . (b + 3) = 2 . 12 (olamaz, çünkü 2 ile 12 aralarında asal değildir.) iii) (a - 2) . (b + 3) = 3 . 8  a - 2 = 3 ise a= 5 b + 3 = 8 ise b = 5 5 <5 doğru değildir.

Doğru cevap (B) seçeneğidir. iv) (a - 2) . (b + 3) = 4 . 6 (olamaz.) diğer durumlarda a < b şartı sağlanmaz O halde b yerine yazılabilecek tam sayıların toplamı 21 olur.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar, x, y, z pozitif tamsayılar olmak üzere bir A sayısının A = ax . by . cz şeklinde yazılmasıdır. Burada a, b, c asal sayılarına, A nın asal çarpanları denir. 360 sayısını çarpanlarına ayıralım. BİR SAYININ ASAL ÇARPANLARA AYRILMASI:

360 180 90 45 15 5 1 2 3 asal sayılar 360 = 23 . 32 . 5 şeklinde yazılır. 2, 3 ve 5 sayıları 360 ın asal çarpanlarıdır.

ÖRNEK 42: 6000 sayısının kaç tane asal çarpanı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM 6000 = 6 . 103 = 2 . 3 (2 . 5)3 = 2 . 3 . 23 . 53 = 24 . 3 . 53 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. 6000 sayısının 3 tane asal çarpanları olup bunlar 2, 3 ve 5 tir. Doğru cevap (C ) seçeneğidir.

a, b, c ... birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere bir A sayma sayısının çarpanlara ayrılmış şekli; A = ax . by . cz ... olsun. A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı; (x + 1) . (y + 1) . (z + 1) çarpımı kadardır. A sayısının pozitif bölenlerinin sayısı kadar da negatif tam böleni vardır. BİR SAYMA SAYISININ POZİTİF BÖLENLERİNİN SAYISI:

ÖRNEĞİN a) 60 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulalım. 60 = 22 . 3 . 5 = 22 . 31 . 51 dir. O halde 60 ın; (2 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 3 . 2 . 2 = 12 tane pozitif tam bölenleri vardır. 60 30 15 5 1 2 3 (Bunlar : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60 dır.) 60 ın 12 tane de negatif tam bölenleri olur.

b) 9 un kaç tane böleni vardır? 9 = 32  9 un (2 + 1) = 3 tane pozitif tam böleni, 3 tane negatif tam böleni, dolayısıyla 6 tane tam böleni vardır. Bunlar : -9, -3, -1, 1, 3, 9 dur.

ÖRNEK 43: 270 in kaç tane asal olmayan pozitif tam böleni vardır? A) 8 B) 9 C) 12 D) 13 E) 163

ÇÖZÜM 270 = 2 . 33 . 5 270 in (1 + 1) . (3 + 1) . (1 + 1) = 2 . 4 . 2 = 16 tane pozitif tam böleni ve {2, 3, 5} kümesinden oluşan 3 tane asal böleni vardır. 270 135 45 15 5 1 2 3 Asal olmayan pozitif tam bölenlerinin sayısı da 16 - 3 = 13 tür. Doğru cevap (D) seçeneğidir.

Bir A sayısı : A = ax. by. cz. şeklinde asal çarpanlara ayrılmış olsun Bir A sayısı : A = ax . by . cz ... şeklinde asal çarpanlara ayrılmış olsun. A sayısını tam bölen doğal sayılarının toplamı: BİR SAYMA SAYISINI BÖLEBİLEN DOĞAL SAYILARIN TOPLAMI: dir.

ÖRNEK 44: 120 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır? A) 420 B) 360 C) 320 D) 280 E) 240

Doğru cevap (B) seçeneğidir. ÇÖZÜM 120 = 23 . 3 . 5 120 yi tam bölen doğal sayıların toplamı : dır. 120 60 30 15 5 1 2 3 Doğru cevap (B) seçeneğidir.

UYARI-1: 120 = 23 . 31 . 51 sayısının tam bölenlerinin toplamı: (20 + 21 + 22 + 23) . (30 + 31) . (50 + 51) = 15 . 4 . 6 = 360 şeklinde de bulunabilir. UYARI-1:

120 nin negatif tam bölenlerinin toplamı -360 olup, tüm bölenlerinin toplamı sıfırdır. UYARI-2:

İki veya daha fazla doğal sayıyı aynı anda bölebilen en büyük sayıya bu sayıların OBEB i denir. a<b olsun a ile b nin OBEB i (a,b) şeklinde gösterilir. ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ (OBEB):

UYARI –1 a<b ise (a,b) < a < b dir. UYARI –2 b= a.k ise (k  Z + ) (a,b) = a

UYARI –3 Aralarında asal sayıların OBEB i 1 dir. Örneğin; (8,15) = 1 (9,15, 20) = 1

İki veya daha fazla doğal sayısının OBEB ini bulmak için sayılar birlikte çarpanlarına ayrılır. Verilen sayıları aynı anda bölen asal çarpanlar çarpılır. NOT

İki veya daha fazla doğal sayının ortak olan katlarının en küçüğüne denir. İki veya daha fazla sayıya aynı anda bölebilen en küçük sayıdır. ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ (OKEK):

a ile b nin OKEK i [a,b] şeklinde gösterilir. UYARI –1 a<b ise a < b < [a,b] dir. UYARI –2 b= a.k ise (k  Z + ) [a,b] = b

UYARI –3 Aralarında asal iki sayının OKEK i sayıların çarpımıdır. UYARI –4 a<b ise (a,b) < a < b < [a,b] UYARI –5 a ve b gibi iki doğal sayı için (a,b).[a,b] = a.b

NOT En az iki sayının OKEK ini bulmak için verilen sayılar aynı anda asal çarpanlara ayrılır. Bütün asal çarpanların çarpımı OKEK i verir. 8 4 2 1 12 6 3 [8, 12] = 22 . 3 = 24

Örneğin a) [3, 8] = 3 . 8 = 24 b) [6, 11] = 6 . 11 = 66 c) [1, 15] = 1 . 15 = 15

ÖRNEK 45: 72 ile 120 nin OBEB ve OKEK ini bulalım.

ÇÖZÜM (72, 120) = 23 . 3 = 24 [72, 120] = 23 . 32 . 5 = 360 72 36 18 9 3 1 120 60 30 15 5 2  (aynı anda bölen) 3  (aynı anda bölen)

ÖRNEK 46: a, b, c, d asal sayılar olmak üzere, A = a2 . b4 . c2 B = a . b3 . c5 . d ise A ve B sayılarının OBEB ve OKEK i nedir?

ÇÖZÜM Eğer sayılar ayrı, ayrı asal çarpanlara ayrılmamışsa, ortak asal çarpanlardan üssü küçük olanların çarpımı OBEB i ortak asal çarpanlardan üssü büyük olanlar ile ortak olmayanların tümünün çarpımı OKEK i verir. Buna göre; A = a2 . b4 . c2 B = a . b3 . c5 . d (A, B) = a . b3 . c2 [A, B] = a2 . b4 . c5 . d olur.

Rasyonel sayıların OKEK ini bulmak için önce paydalar eşitlenir Rasyonel sayıların OKEK ini bulmak için önce paydalar eşitlenir. Sonra payların OKEK i alınarak, ortak paydaya bölünür. KURAL

ÖRNEK 47: ile un OKEK ini bulalım.

ÇÖZÜM Önce payda eşitlenir. olur. Böylece (9 ile 20 aralarında asal olduklarından OKEK’leri 9.20 = 180 dir.)

a ve b aralarında asal iki sayma sayısı olmak üzere, hem a hem de b ile bölünebilen bir sayı a . b ile de tam bölünür. Tersinin de doğru olduğunu biliyoruz. KURAL

ÖRNEĞİN: a) 3 ve 5 ile bölünebilen bir sayı 3 . 5 = 15 ile tam bölünüyor. b) 4 ve 9 ile bölünebilen bir sayı 4 . 9 = 36 ile tam bölünür. c) 24’e tam bölünebilen bir sayı hem 3’e, hem de 8’e tam bölünür. d) Hem 4’e hem de 6’ya bölünen bir 4 . 6 = 24’e bölünmeyebilir. Çünkü 4 ile 6 aralarında asal değildir.

Örneğin 12 sayısı hem 4’e, hem de 6 ya tam bölünür ama 24 e bölünmez.

a ve b herhangi iki sayma sayısı olsun a ve b herhangi iki sayma sayısı olsun. Hem a hem de b ile tam bölünen sayılar [a, b] ile tam bölünürler. KURAL

Örneğin Hem 12, hem de 15 ile tam bölünen sayılar [12, 15]= 60 ile tam bölünür.

ÖRNEK 48: İki doğal sayının OKEK i 80 olduğuna göre bu iki sayının toplamı en çok kaç olabilir? A) 80 B) 100 C) 120 D) 140 E) 160

ÇÖZÜM a < b < [a,b] olacağından a < b < 80 a = b = 80 alınırsa a + b = 160 bulunur. Doğru cevap (E) seçeneğidir.

ÖRNEK 49: Farklı iki doğal sayının OKEK i 80 olduğuna göre bu iki sayının toplamı en çok kaç olabilir? A) 80 B) 100 C) 120 D) 140 E) 160

ÇÖZÜM a < b < [a,b] olacağından a < b < 80 b = 80 alınırsa a sayısı 80 nin kendisinden farklı en büyük böleni olmalı. a= 40 alınırsa a + b = 120 bulunur. Doğru cevap (C) seçeneğidir.

ÖRNEK 50: İki doğal sayının OBEB i 10 , OKEK i 150 dir.Bu iki sayının toplamı en çok kaç olabilir? A) 80 B) 100 C) 120 D) 160 E) 180

ÇÖZÜM NOT: İki sayının toplamının alabileceği en büyük değer OKEK + OBEB dir. a + b = 10 +150 = 160 bulunur. Doğru cevap (D) seçeneğidir.

ÖRNEK 51: İki doğal sayının OBEB i 20 , OKEK i 240 dır. Bu iki sayının toplamı en az kaç olabilir? A)120 B) 140 C) 150 D) 160 E)180

ÇÖZÜM OKEK = k.OBEB 240 = k.20 ise k = 12 k= 12 = 3.4 ( sayıların toplamının en küçük olması için k nın çarpanları birbirine yakın olan aralarında asal iki sayı olmalı.) Sayı = 3.20 = 60 Sayı = 4.20 = 80

Bu iki sayının toplamı = 60 + 80 = 140 bulunur. Doğru cevap (B) seçeneğidir.

ÖRNEK 52: Mert bilyelerini üçer, dörder, beşer saydığında her seferinde 2 bilyesi artıyor. Mert’in bilyeleri 300 den fazla olduğuna göre, en az kaç tanedir? A) 301 B) 302 C)307 D) 312 E) 317

ÇÖZÜM Bilye sayısı = [3,4,5].k + 2 > 300 = 60.k +2 >300 k=5 alınırsa Bilye sayısı = 60.5 +2 = 302 bulunur. Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.

ÖRNEK 53: Mustafa bilyelerini dörder, beşer, altışar saydığında her seferinde 3 bilyesi artıyor. Mustafa’nın bilyeleri 500 den az olduğuna göre, en çok kaç tanedir? A) 453 B) 463 C)473 D) 483 E) 493

ÇÖZÜM Bilye sayısı = [4,5,6].k + 3 < 500 = 60.k +3 < 500 k=8 alınırsa Bilye sayısı = 60.8 +3 = 483 bulunur. Doğru cevap ( D ) seçeneğidir.

ÖRNEK 54: Boyutları 600 m. ile 800m. olan dikdörtgen şeklindeki bir arsa en büyük ölçüde eş kare parsellere ayrılacaktır. Bu kare parsellerden kaç tane oluşur ? A)12 B)16 C)18 D) 20 E) 24

ÇÖZÜM Yeni parsel Var olan parsel 600 800 Yeni parsel küçük olacağından boyutu dikdörtgenin boyutlarının OBEB i olmalı.

Doğru cevap (A) seçeneğidir. (800,600) = 200 Kare parsel sayısı = Alan dikdörtgen Alan kare 800.600 200.200 = = 4.3 =12 bulunur Doğru cevap (A) seçeneğidir.

ÖRNEK 55: Boyutları 2 , 4 , 6 cm. olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutuların en az kaç tanesiyle en küçük boyutlu bir küp yapılabilir ? A) 30 B) 36 C) 42 D) 48 E) 60

ÇÖZÜM Var olan Yeni

Yeni cisim daha büyük olacağından küpün boyutu dikdörtgenler prizmasının boyutlarının OKEK i olmalı. [2 , 4 , 6 ] = 12 Hacim küp Hacim prizma Kutu sayısı =

12.12.12 2.4.6 = = 6.3.2 = 36 bulunur. Doğru cevap (B) seçeneğidir.