DOĞRU GRAFİKLERİ EĞİM

Grafik: Verilen bir ilişkiye uygun noktaların koordinat düzleminde gösterilmesiyle oluşan ifadeye grafik adı verilir. ax+by+c=0 şeklindeki denklemlerin (bu denklemler x ile y arasındaki ilişkiyi verir.) grafikleri bir doğru olup bu tip denklemlere doğrusal denklem adı verilir. Bize verilen bir ilişkiye uygun olan noktaları koordinat düzleminde göstererek o ilişkiyi görsel olarak ifade etmiş yani verilen ilişkinin grafiğini çizmiş oluruz. HATIRLATMA: Örneğin; y=2x+3 şeklinde bir denklem (bu denklem x ile y arasındaki ilişkiyi bize vermektedir) verildiğinde bu denklemi sağlayan (x,y) sıralı ikililerini bulalım:

3 1 5 7 2 x y y=2.0+3= 5=2.x+35-3=2.x2=2.x  x= y=2.2+3= 3 y=2.0+3= 1 5 5=2.x+35-3=2.x2=2.x  x= 7 2 y=2.2+3= . . Bu tablodaki tüm verileri düzlemde gösterirsek verilen denkleme ait grafiği elde etmiş oluruz. Ancak görüldüğü gibi bu tabloda sonsuz çoklukta (x,y) sıralı ikilisi elde edilebilir.

Hatırlatma: Bir noktadan sonsuz doğru geçer Hatırlatma: Bir noktadan sonsuz doğru geçer. İki noktadan tek bir doğru geçer. P ve R noktasından geçen doğru benim doğrum. Benim doğrum hangisi? A noktasından geçen doğru benim doğrum. Benim doğrum hangisi? ETKİNLİK: k l m A a b P R Sonuç olarak şunu söyleyebiliriz: Bir doğruyu belirten en az iki noktaya ihtiyaç vardır. c

1 nokta yetersiz 2 nokta yeterli 3 nokta gereksiz! Doğrusal denklemlerin grafiklerini çizerken şu sloganı tekrar etmekte yarar vardır. 1 nokta yetersiz 2 nokta yeterli 3 nokta gereksiz! Bu durumda denklemi sağlayan herhangi 2 tane (x,y) sıralı ikilisi elde edersek çizilecek doğru grafiğini belirlemiş oluruz.

Bir doğru grafiğinin nereden geçtiğini belirleyerek o grafiğin karakteristiği hakkında fikir sahibi olunabilir. Bu anlamda x=0 alınarak y değeri bulunursa elde edilen (0,y) noktası y ekseni üzerinde; y=0 alınarak x değeri bulunursa elde edilen (x,0) noktası ise x ekseni üzerinde olacaktır. Böylece denkleme uygun ve eksenlerin üzerinden 2 nokta belirlenmiş olur.

Şimdi tüm bu hatırlatmalar ışığında grafik çizelim. Örnekler: 1.) y=x+2 ‘nin grafiğini çiziniz. 2.) y=3x’in grafiğini çiziniz. 3.) y=3’ün grafiğini çiziniz. 4.) x=2’nin grafiğini çiziniz. y=3x x=2 y=x+2 y=3 Performans Görevi: Birer tane x’e paralel, y’ye paralel, orijinden geçen, eksenleri birer noktada kesen doğru grafiği çiziniz.

Grafik çizerek iki bilinmeyenli denklem sistemini çözebileceğimizi biliyor musunuz? Örnek: x+y=5 x-y=1 denklem sisteminin çözüm kümesini grafiklerini çizerek bulalım . x+y=5 A x+y=5’in grafiği: x-y=1’in grafiği: x-y=1 x=0 için 0+y=5 y=5 A(0,5) y=0 için x+0=5 x=5 B(5,0) x=0 için 0-y=1 y=-1 C(0,-1) y=0 için x-0=1 x=1 D(1,0) K(3,2) B D C Ç={(3,2)} Şimdi her iki grafiğin kesim noktasını (her iki grafiğin şartını sağlayan noktayı) belirleyelim. Sonuç olarak her iki denklemi de sağlayan (x,y) sıralı ikilisi sistemin çözümü olduğuna göre kesim noktası bizim çözüm kümemizi oluşturacaktır.

ETKİNLİK:  EĞİM (Lütfen Tıklayınız) Bir yüzeyin yatay düzleme doğru eğilmesi, eğiklik, meyil. Sizce bir yüzeyin eğimi nasıl değiştirilir? Eğimi değiştirmek için yüzeyin yatay düzlemle yaptığı açıyı değiştirirsek bununla beraber hangi değerler değişir? Yukarıdaki şekli inceleyiniz. Bir dik üçgende karşı dik kenar ile komşu dik kenar arsındaki oranın adını hatırlıyor musunuz? Görüldüğü gibi yüzey uzunluğu değişmez ama açıyla beraber açının karşısındaki dik kenar ve komşusundaki dik kenarın ölçüleri değişir. Yani anlayacağınız bir yüzeyin yatay düzlemle yaptığı açının karşı dik kenarı ile komşu dik kenarı arasındaki oran bize eğim değerini verir.

DOĞRUNUN EĞİMİ Bir doğrunun x ekseniyle saat yönünün tersine (pozitif yönde) yaptığı açının tanjantı o doğrunun eğimini verir. y   x y x Orijinden geçen bir doğru denkleminde y yalnızken eşitliğin diğer tarafında x’in katsayısı o doğrunun eğimini verir. Aynı durum orijinden geçmeyen doğrular için de geçerlidir.

UYGULAMALAR 1.) 3x+y=10 ; 5x+2y=18 denklemlerine ait grafiklerin ortak noktasını bulunuz. 2.) 3x=y doğrusunun eğimini bulunuz. 3.) 5x+7=y doğrusunun eğimini bulunuz. 4.) 2x+7=5y doğrusunun eğimini bulunuz. 5.) Grafikleri paralel iki doğru olan denklemler aşağıda verilmiştir: i. 3x+4=y ii. ax+8=3y Verilenlere göre a kaçtır? 6.) A(3,6) noktası ax+5=y doğrusunun üzerindeyse, bu doğrunun eğimini bulunuz.

ETKİNLİK: Üçgenlerin eşliği ve eğim. y2 B(x2 , y2) y2-y1 y1 A(x1 , y1) x2-x1   x1 x2 Örnek:Bir doğru A(1,5) ve B(3,1) noktalarından geçiyorsa bu doğrunun eğimini bulunuz. Örnek:Bir doğru A(2,7) ve B(4,3) noktalarından geçiyorsa bu doğrunun denklemini bulunuz.

Bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı geniş açıysa bu açının tanjantı, yani doğrunun eğimi negatif değer alır.  > 90o olduğundan m<0 olur.  y=mx+n

x=2 , x=3 , x=-5 , ... gibi x=a şeklindeki doğruların eğimi yoktur. Örneğin x=2 ise x=2+0.y olarak alınabilir. Burada eğimi nasıl elde edersiniz? y=2 , y=3 , y=-5 , ... gibi y=a şeklindeki doğruların eğimi 0’dır. Örneğin y=2 ise y=2+0.x olarak alınabilir. Burada eğimi nasıl elde edersiniz? Eksenlere paralel olmayan iki doğru birbirine dikse bu doğruların eğimlerinin çarpımı -1’dir. Örneğin y=2x+5 ile y=ax+7’nin grafikleri birbirine dik ise burada m1=2 ve m2=a olduğundan 2.a=-1 alınarak a bulunabilir.