EŞANLI DENKLEMLİ MODELLERDE BELİRLENME PROBLEMİ

Belirlenme probleminin içeriği : Daraltılmış kalıptan hareketle belirlenme durumunun araştırılması Yapısal modelden hareketle denklemlerin belirlenme durumunun araştırılması Yapısal katsayılara konan sınırlamalarla belirlenmenin sağlanması

Belirlenme probleminin içeriği : Daraltılmış kalıptan hareketle belirlenme durumunun araştırılması Belirlenme : Bir yapısal modelin katsayıları a, b, c’lerin değerleri daraltılmış kalıbın katsayıları p’lerden tahmin edilebiliyorsa ilgili denklem BELİRLENMİŞTİR. Yapısal katsayılar daraltılmış katsayıların tahmini değerlerinden elde edilemiyorsa ele alınan denklem BELİRLENMEMİŞ veya EKSİK BELİRLENMİŞ ’tir. Denklem sayısı = içsel değişken sayısı  model çözülebilir.

Yapısal parametrelerin değerlerinin elde edilebilmesi için eşanlı model denklemlerinin ayrı ayrı belirlenebilir olması gerekmektedir.

Eksik belirlenmiş denklem (=Belirlenmemiş denklem) Cebirsel olarak eksik belirlenme Tam belirlenmiş denklem Aşırı belirlenmiş denklem

Cebirsel olarak eksik belirlenme Yapısal Model Talep Fonksiyonu: Arz Fonksiyonu: Denge Şartı Daraltılmış Kalıp Denklemleri: a0+a1Pt+u1=b0+b1Pt+u2 P yi yalnız bıraktığımızda bulunur. P nin eşiti arz veya talep denk. de yerine konur. p1 v1 p2 v2

p<a yani (2<4) olduğundan eksik belirlenme Dört yapısal parametre sadece iki daraltılmış kalıp katsayısından tahmin edilemez. Dört bilinmeyenin tahmini için dört denklem gereklidir. Ancak burada p1 ve p2 den oluşan sadece iki denklem vardır. (Arz – talep modeli yapısal denklemleri belirlenmemiş yada eksik belirlenmiş olup yapısal parametreler tahmin edilemez.)

Daraltılmış kalıp denklemleri: Tam Belirlenme Durumu Denklemlerden Sadece Biri Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modelleri (Arz fonksiyonunun tam belirlenmiş hali ) a) Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1 = Q=b0+b1P+u2 : Arz I : Tüketici geliri Daraltılmış kalıp denklemleri: P=1+ 2I+v1 Q= 3+ 4I+v2

Tam belirlenmiş denklem P=1+ 2I+v1 Basit EKKY uygulanarak ’ler tahmin edilebilir. Q= 3+ 4I+v2 5 yapısal parametre ve bunları hesaplamak için p lerden oluşan dört denklem vardır. Daraltılmış parametrelerin tamamının tek değerli tahminleri elde edilemez. Talep fonksiyonu EKSİK BELİRLENMİŞ, Arz fonksiyonu TAM BELİRLENMİŞTİR.

Ancak p lerle yapısal parametreler(a,b) arasındaki ilişkilerden aşağıdaki bağlantılar elde edilebilmektedir. Yukarıdaki iki bağlantıdan yararlanarak b0 ve b1 hesaplanmakta ancak talep denkleminin katsayılarını(a0, a1 ve a2) hesaplamak için tek bir yol yoktur. Bu sebepten talep fonksiyonu eksik belirlenmiştir. Arz fonksiyonu tam belirlenmiştir.

Daraltılmış kalıp denklemleri: b) Talep: Q=a0+a1P+u1 Arz: Q=b0+b1P+b2T +u2 T : Teknolojik gelişmeler Daraltılmış kalıp denklemleri: P=1+ 2T+v1 Q= 3+ 4T+v2

P=1+ 2T+v1 Basit EKKY uygulanarak ’ler tahmin edilebilir. Q= 3+ 4T+v2 Daraltılmış parametrelerin tamamının tek değerli tahminleri elde edilemez.

Tam Belirlenme Durumu Denklemlerden Her İkisi de Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1 Arz: Q=b0+b1P+b2T+u2 Daraltılmış kalıp denklemleri: P=1+ 2I+  3T+v1 Tam Belirlenmiş Q= 4+ 5I+ 6 T+v2 Tam Belirlenmiş

p=a

Aşırı Belirlenme Durumu Aynı yapısal parametre için birden çok nümerik değer elde edilmekte; parametrelerin tek değerli tahmini mümkün olamamaktadır. p>a yani denklem sayısı>bilinmeyen sayısı

Sadece Bir Denklem Aşırı Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli- Örnek 1 Arz: Q=a0+a1P+u1 Talep: Q=a2+a3P+b1I+b2Z+ u2

Dört denklemden a1 için iki tahminin mümkün olduğu görülmektedir: Bulunan dört farklı katsayı yani a0, a1 katsayıları arz fonksiyonuna ait olup fonksiyon aşırı belirlenmiştir. Talep denklemine ait katsayılar daraltılmış biçim denklemlerinden çıkarılmaz. Bu sebeple eksik belirlenmiştir.

Sadece Bir Denklem Aşırı Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli- Örnek 2

AŞIRI BELİRLENMİŞTİR Denklem sayısı > Bilinmeyen sayısı p>a Yapısal modelin tüm parametrelerinin tek değerli tahminleri elde edilemez. AŞIRI BELİRLENMİŞTİR

Eşanlı Denklemli Modelin Denklemlerinin Belirlenme Durumunun Yapısal Modelden Hareketle Araştırılması Eşanlı denklemli bir modelin herhangi bir denkleminin tahmin edilebilmesi için, bu denklemin eksik belirlenmiş olmaması, tam veya aşırı belirlenmiş olması gerekir.

Eşanlı Denklemli Modelin Denklemlerinin Belirlenme Durumunun Yapısal Modelden Hareketle Araştırılması Boy şartı Rank şartı M = Modeldeki içsel değişken sayısı (veya denklem sayısı) m = Belirlenme durumu araştırılan denklemdeki içsel değişken sayısı K = Modeldeki toplam dışsal değişken sayısı k = Belirlenme durumu araştırılan denklemdeki dışsal değişken sayısı

1.Belirlenmenin İlk Şartı= Boy Şartı K-k  m-1 m= Belirlenmesi araştırılan denklemdeki içsel değişken sayısı K= Modeldeki toplam değişken sayısı k= Belirlenmesi araştırılan denklemdeki dışsal değişken sayısı K-k=m-1 ise denklem tam belirlenmiştir. K-k>m-1 ise denklem aşırı belirlenmiştir. K-k<m-1 ise denklem eksik belirlenmiştir.

Tam Belirlenme Hali=M-1 değişken içermiyorsa Yöntem 2: Modeldeki En Az M-1 Değişkeni İçermeme Yöntemi ile Boy Şartı Tam Belirlenme Hali=M-1 değişken içermiyorsa 2.Aşırı Belirlenme Hali>M-1 değişken içermiyorsa 3.Eksik Belirlenme Hali< M-1 değişken içermiyorsa

ÖRNEK P,Q = içsel değişkenlerdir. Modelde dışsal değişken yoktur. K = 0 (modelde dışsal değişken yoktur) k = 0 (talep fonksiyonunda dışsal değişken yoktur) m = 2 (talep fonksiyonunda iki içsel değişken vardır) Talep fonksiyonu eksik belirlenmiştir.

Ya da; Modelde M=2 denklem vardır. Talep fonksiyonunun belirlenebilmesi için modeldeki en az M-1=2-1=1 Değişkeni içermemesi gerekir. Oysa ki talep fonksiyonu modeldeki tüm değişkenleri içeriyor.(P,Q) Arz fonksiyonu eksik belirlenmiştir, çözülemez.

Boy şartı sağlandıktan sonra rank şartı araştırılmalıdır. 2.Belirlenmenin İkinci Şartı= Rank Şartı Boy şartı belirlenmenin ilk şartı olup gerekli bir şarttır,ancak tek başına yeterli değildir. Boy şartı sağlandıktan sonra rank şartı araştırılmalıdır. Boy şartı sağlanmamış ise rank şartına ayrıca bakmaya gerek yoktur. Boy şartı sağlanmış olsa bir denklem eksik belirlenmiş olabilir.

Rank Şartı M denklemli ve M içsel değişkenli bir modelde bir denklemin belirlenmesi için: bu denklemde bulunmayan fakat modelin diğer denklemlerinde yer alan (içsel veya dışsal) değişkenlerin katsayılarından (M-1)(M-1) boyunda en az bir sıfırdan farklı determinant oluşturulabilmelidir. Ya da diğer bir ifadeyle; modelin bir denkleminin belirlenebilmesi için, bu denklemden dışlanan içsel veya dışsal tüm değişkenlerin katsayılarından oluşan matrisin rankı M-1’e eşit olmalıdır.

Adım 1: Yapısal Modelin Yeniden Yazılması Yapısal model, sadece u terimleri denklemlerin sağında kalacak şekilde düzenlenir. C=b0+b1Y+u Y=C+I Bu yapısal modelin sadece ilk denkleminin belirlenme durumu araştırılacaktır. İkinci denklem özdeşlik olup, belirlenmenin araştırılmasına gerek yoktur. C-b0-b1Y = u Y-C-I = 0

Adım 2: Tablo1.YKT nin Düzenlenmesi Satırlarda Adım 1’de yeniden düzenlenen denklemleri; sütunlarda ise değişkenleri alarak, değişkenlerin katsayılarından oluşan Yapısal Katsayılar Tablosu (=YKT) oluşturulur Tablo 1. Denklemler Değişkenler C Y I 1.Denklem 2.Denklem 1 -1 -b1 C-b0-b1Y = u Y-C-I = 0

Adım 3: Tablo2. BADT’nin Düzenlenmesi Tablo1.YKT de;belirlenme durumu araştırılan denklemin satırı ile bu satırdaki sıfırdan farklı sütunlar çizilir. C Y I 1 -b1 1.d 2.d -1 -1 1 -1 Tablo 1.YKT Tablo 2.BADT

Adım 4: Tablo 2.BADT dan (M-1)(M-1) boyunda elde edilen matrislerin determinantları bulunur. Bulunan determinantlardan en az biri sıfırdan farklı ise denklem belirlenmiştir. M-1=2-1=1 ve (M-1)(M-1)=1X1 A=[-1] |A| = |-1|0  Rank şartı gerçekleşmiştir. Bu durumda A matrisinin rankı r(A)=M-1=1’dir.

K-k=m-1 ise denklem tam belirlenmiş Adım 5: Adım 4 deki rank şartı gerçekleştikten sonra denklemin aşırı yada tam belirlenmediğini anlamak için boy şartına bakılır. K-k=m-1 ise denklem tam belirlenmiş K-k>m-1 ise denklem aşırı belirlenmiş K-k=m-1 1=1 olduğundan ve rank şartı da sağlandığından TÜKETİM FONKSİYONU TAM BELİRLENMİŞTİR.

K-k=m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarından en az biri sıfırdan farklı ise denklem tam belirlenmiştir( Boy şartı da rank şartı da gerçekleşmiştir.) K-k>m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarından en az biri sıfırdan farklı ise denklem aşırı belirlenmiştir( Boy şartının da rank şartının da gerçekleşmesi) K-k  m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarının hepsi sıfıra eşitse ise denklem belirlenmemiştir( Boy şartının gerçekleşmesi fakat rank şartının gerçekleşmemesi) K-k<m-1 ise yapısal denklem eksik belirlenmiş veya belirlenmemiştir.

ÖRNEK Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1 Arz: Q=b0+b1P+u2 Adım 1: Yapısal Modelin Yeniden Yazılması Q-a0-a1P-a2I=u1 (1.Denklem) Q-b0-b1P=u2 (2.Denklem)

Adım 2: Tablo1.YKT nin Düzenlenmesi Satırlarda adım 1’de yeniden düzenlenen denklemleri; Sütunlarda da değişkenleri alarak, değişkenlerin katsayılarından oluşan Yapısal Katsayılar Tablosu düzenlenir. Denklemler Değişkenler Q P I 1.Denklem 2.Denklem 1 -a1 -b1 -a2

Adım 3: Tablo2. BADT’nin Düzenlenmesi YKT de;belirlenme durumu araştırılan denklemin satırı ile bu satırdaki sıfırdan farklı sütunlar çizilir. Q P I -a2 1.d 2.d 1 -a1 -b1 -a2 Tablo 1.YKT Tablo 2.BADT

Adım 4: Tablo 2.BADT dan (M-1)(M-1) boyunda elde edilen matrislerin determinantları bulunur. Bulunan determinantlardan en az biri sıfırdan farklı ise denklem belirlenmiştir. M-1=2-1=1 ve (M-1)(M-1)=1X1 |A| = |-a2|0 Adım 5: Adım 4 deki rank şartı gerçekleştikten sonra denklemin aşırı yada tam belirlenmediğini anlamak için boy şartına bakılır. Boy şartı 1=1 şeklinde olduğundan ve rank şartı da gerçekleştiğinden arz denklemi tam belirlenmiştir.

ÖRNEK Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1 Arz: Q=b0+b1P+b2T+u2 Adım 1: Yapısal modelin yeniden yazılması Q-a0-a1P-a2I=u1 (1.Denklem) Q-b0-b1P-b1T=u2 (2.Denklem) Adım 2: YKT ‘nin Düzenlenmesi Denklemler Değişkenler Q P I T 1.Denklem 2.Denklem 1 -a1 -a2 0 1 -b1 0 -b2

Adım 3. BADT’nin Düzenlenmesi Q P I T 1.d 2.d 1 -a1 -b1 -a2 -b2 -b2 Tablo 1.YKT Tablo 2.BADT

Adım 4: M-1=2-1=1 ve (M-1)(M-1)=1X1 |A| = |-b2|0 Adım 5: Boy şartı 1=1 şeklinde olduğundan ve rank şartı da gerçekleştiğinden arz denklemi tam belirlenmiştir.