KONİKLER Tanım:Sabit bir noktası F ve sabit bir doğrusu Δ olan bir Π düzleminin (P) = {P:|PF| = |PH| , Δ , F , P € Π } noktalarının kümesine parabol denir. Burada F odak,O tepe(köşe), Δ doğrultman,2p parametre ve parabolün simetrik olduğu doğru da eksen adını alır.Ekseni X ve Y,köşesi başlangıç noktası olan parabolleri görüyorsunuz. ,

Ötelenmiş Parabol Denklemi y = ax2 + bx2 + c ise F( , ) ve doğrultman denklemi y = dır. ,

Parabol Ve Doğru y2 = 2px parabolü ile y = m.x + n doğrusu kesiştiğinde ( m.x + n )2 = 2px denkleminden kesim noktalarının apsisleri bulunur.Burada : p - 2mn < 0 durumunda doğru parabolü kesmez. P - 2mn > 0 durumunda doğru parabolü farklı 2 noktada keser. P - 2mn = 0 durumunda doğru parabole teğet olur(değme koşulu). Değme Noktası ( ) olur. Parabole Bir Noktadan Çizilen Teğet Denklemi Parabol ve (x0 , y0 ) noktası verilsin.Bu noktadaki teğet denklemi : ,

y2 = 2px için yy0 = p( x + x0 ) x2 = 2py için xx0 = p( y + y0 ) dır. Parabolün Köşegeni Eğimleri aynı olan kirişlerin orta noktalarının kümesine köşegen denir. y 2 = 2px parabolünün eğimi m olan kirişlerinin orta noktalarını kümesi y=p / m olur. y = p / m doğrusu ,eğimi m olan teğetin değme noktasından geçer. y = p / m doğrusuna ve eğimi m olan kirişlere birbirinin eşleniği denir. ELİPS Tanım: π düzleminin farklı ve sabit iki noktası F , F’ ; değişen bir noktası P ise düzlemin P noktalarının (E) = {P,|PF| + |PF’ | = 2a , F , F’ , p € π , a > c > 0 , |FF’ | = 2c} kümesine elips denir. ,

Burada , F , F’ odakları ; A , A’ , B , B’ köşeler ; Δ ve Δ’ doğrultmanlardır. |AA’ | = 2a , |BB’ | = 2b ve |FF’ | = 2c olur. a2 = b2 + c 2 olduğunu görünüz. ,

Elips Ve Doğru elipsi ile y = m.x + n doğrusunun kesişmeleri durumu : a2 m2 + b2 - n2 > 0 ise iki farklı noktada kesişirler. a2 m2 + b2 - n2 < 0 ise kesişmezler. a2 m2 + b2 - n2 = 0 ise bir noktada keser, teğet olur(değme koşulu). Değme noktası ise dır. Elipse Bir Noktasından Çizilen Teğet Denklemi Elips merkezinden geçen kirişlere elipsin köşegeni denir. ,

Eğimleri arasında m1 . m2 = bağıntısı bulunan iki köşegene eşlenik köşegenler adı verilir., y = m.x köşegeninin eşleniği olur. Elipsin Parametresi Elipsin odaklarından birinden eksene çizilen dik kiriş uzunluğuna parametre denir. Parametre = 2p = dır. Elipsin Dışmerkezliği Elipste dışmerkezlik oranına verilen addır. e < 1 dır. Elipsi Alanı elipsinin alanı πab dır. ,

HİPERBOL Tanım: π düzleminin sabit iki noktası F , F’ ve herhangi bir noktası P ise P noktalarının ; ( H ) = { P : [|PF | - |PF’ | = 2a , |FF’ | = 2c , a < c , F , F’ , F € π } kümesine hiperbol denir. Burada ; F , F’ odaklar ; A , A’ , B , B’ köşeler ; Δ ve Δ doğrultmanlardır. a2 = a2 + b2 olduğunu görüyorsunuz. ,

Ötelenmiş Hiperbol Denklemi Hiperbol Ve Doğru hiperbolü ile y = m.x + n doğrusunun kesişmeleri durumu : ,

n2 + b2 - a2 m2 > 0 ise doğru hiperbolü iki noktada keser. n2 + b2 - a2 m2 <0 ise doğru hiperbolü kesmez. n2 + b2 - a2 m2 = 0 ise doğru hiperbole teğet olur (değme koşulu) Değme noktası da dır. Hiperbole Bir Noktasından Çizilen Teğet Denklemi Hiperbol ve P ( x0 , y0 ) noktası verilsin.Bu noktadaki teğet denklemi : için için dır. ,

Hiperbolün Köşegeni Hiperbolün merkezinden geçen doğrulara köşegen denir.Eğimleri arasında m1 .m2 = bağıntısı bulunan y = m.x ve y = . X köşelerine de eşlenik köşegenler adı verilir. Hiperbolün Parametresi Hiperbolün bir odağında eksene dik olan kiriş uzunluğuna parametre denir. dır. Hiperbolün Dışmerkezliği oranına dışmerkezlik denir. e > 1 dır. ,

Hiperbolün Asimptotları b2 x2 - a2 y2 = a2 b2 hiperbolünün asimptot denklemleri y = dır. İkizkenar Hiperbol a = b olan hiperbole ikizkenar hiperbol denir.denklemi x2 - y2 = a2 olur. Eşlenik Hiperboller Birinin asal köşeleri , diğerinin yedek köşeleri olan hiperbollere eşlenik hiperboller denir. ile eşlenik hiperbol denklemleridir. ,

MERKEZLİ KONİKLERİN SINIFLANDIRILMASI Tanım: R2 uzayının sabit bir Δ doğrusu ile bunun dışında sabit bir F noktası verilsin.F noktasına olan uzaklığın Δ doğrusuna olan uzaklığa oranı sabit olan P ( x , y ) noktalarının kümesine konik denir.Yani , ( K ) = { P : = e ve e > 0 } dır. Konik ; e < 1 ise elips , e = 1 ise parabol ve e > 1 ise hiperbol olur. Bu koniğin genel denklemi Ax2 + B.x.y + Cy2 +D.x + Ey + F = 0 biçimindedir. P ( x , y ) ------------ H ---------- F ( m , n ) a.x + b.y + c = 0 |PF | |PH | ,

Koniğin merkezinin koordinatları ; fx = 0 2Ax + B.y + D = 0 fy = 0 B.x + 2C.y + E = 0 Sistemin çözümü varsa , denklem , merkezli konik (elips,hiperbol) belirtir. δ = | | = 4AC - B2 = 0 ise merkezli konik vardır. Δ = diyelim. 1. 4AC - B2 > 0 ya da B2 - 4AC < 0 ise konik elips türündendir. a) δ = 4AC - B2 > 0 ve A . Δ < 0 ise gerçel elips , b) δ > 0 ve A . Δ > 0 ise sanal elips , c) δ > 0 ve Δ = 0 ise nokta elips ( yozlaşmış elips ) olur. Sisteminin çözümünden elde edilir. 2A B B 2C A B/2 D/2 B/2 C E/2 D/2 E/2 F ,

2. 4AC - B2 < 0 ya da B2 - 4AC > 0 ise konik hiperbol türündendir. a) δ = 4AC - B2 < 0 ve Δ = 0 ise denklem hiperbol belirtir. b) δ < 0 ve Δ = 0 ise kesişen doğru çifti (yozlaşmış hiperbol) belirtir. Genel Konik Denkleminin Parabol Olması Durumu δ = 4AC - B2 = 0 durumunu göz önüne alalım. i) ise a) D2 - 4AF > 0 iken parabol bir çift paralel doğru olur. b) D2 - 4AF = 0 iken parabol çakışık iki doğru olur. c) D2 - 4AF < 0 ise parabol sanal bir çift doğru gösterir. i i) ise konik parabol gösterir. ,

GENEL KONİK DENKLEMİNİN STANDART DURUMA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Ax2 + B.x.y + C.y + D.x +E.y +F = 0 denklemi ile verilen genel koniğin fx = 2Ax + B.y + D = 0 fy = B.x + 2C.y + E = 0 x = x’ + h ve y = y’ + k konularak x’li ve y’li terimler yok edilir.O zaman genel konik denklemi Ax’2 + B.x’.y’ + C.y’2 + F’ = 0 durumuna girer. x‘y’ lü terimin yok edilebilmesi için eksenlerin döndürülmesi yapılır.Bunun için eşitliğini gerçekleyen Dθ dönme dönüşümü ; sisteminin çözümünden merkez M(h,k) elde edilir. tan2θ x’ cosθ -sinθ x x’ = x . cosθ - y . sinθ y’ sinθ cosθ y y’ = x . sinθ + y . cosθ [ ] = [ ][ ] ,

konularak uygulanır.Denklem A1x2 + C1y2 + F’ = 0 biçimine gelir. A1 , C1 katsayılarını θ açısına gerek kalmadan aşağıdaki gibi bulabilirsiniz. 1) A1 + C1 = A + C dır. 2) A1 - C1 = dır.Karekök önündeki işaret B’ nin işareti olarak alınır. 3) 4A1 . C1 = 4AC - B2 olur. Bu üç eşitlikten uygun biçimde olanlar alınarak A1 ve C1 katsayıları elde edilir. BAŞA DÖN

CEVAP ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI 1. y2=4x parabolü için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Odağının koordinatları (1, 0) dır. B) Doğrultman denklemi x= -1 dir. C) (1, -2) noktasındaki teğetin denklemi y = -2x-2 dir. E) Tepesi (0, 0) noktasıdır. CEVAP

ÇÖZÜM: A) y2 = 2px parabolünde odak ( ,0) dır. 2p = 4 olduğundan =1 Odak (1,0) olur. B) Doğrultman denklemi x = - = -1 dir. C) ( x0 ,y0 ) noktasındaki teğet denklemi y y0 = p( x + x0 ) dir. (1, -2) noktasındaki teğet ise y.(-2) = 2(x+1) den y = -x-1 olur. (YANLIŞ) D) Bir doğrultuya paralel kirişlerin eşleniği olan çap (köşegen) y = dir. Burada y = 2x doğrusunun eğimi 2 dir. Öyleyse çap y = =1 olur. E) Tepesi (köşesi) (0,0) noktasıdır. YANIT : C

CEVAP 2. + = 1 elipsi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Odakların koordinatları ( 4,0) dır. B) Dış merkezliği e = dir. C) Doğrultmanlarının denklemleri y = dir. D) Parametresi 2p = dür. E) Alanı 15 л dir. CEVAP

ÇÖZÜM : + = 1 elipsinde m ve n den büyük olanı a ve eksen onun üzerindekidir. A) + =1 elipsinde a2 = 25, b2 = 9 ve a2 =b2 + c2 den c2 =16, c = 4 bulunur. Odaklar ( 4, 0) olur. B) Dışmerkezlik e = = dir. C) Asal eksen x ekseni olduğundan doğrultmanlar x = x = olur. D) Parametresi 2p = 2 olduğundan 2p = 2. = elde edilir. E) Alan л ab dir. A = л. 5 . 3 = 15 л olur. YANIT : C

CEVAP 3. y = 2px2 parabollerinden (-1,2) noktasından geçeni aşağıdaki- lerden hangisidir?_ A) y = 8x2 B) y = 2x2 C) y = 4x2 D) y = -4x2 E) y = -2x2 CEVAP

ÇÖZÜM : Parabol (-1,2) noktasından geçeceğinden, nokta denklemi sağlar. 2 = 2p. (-1)2 p = 1 ve parabol y = 2x2 olur. YANIT : B

CEVAP 4. y2 = 4x parabolünün ,üzerindeki, (1, -2) noktasından çizilen teğet denklemi nedir? A) y=x+1 B) y=x-1 C) y=-x-1 D) y=-x+1 E) y=-x+3 CEVAP

y2 = 2px parabolünün üzerindeki noktasından çizilen teğet denklemi ÇÖZÜM : y2 = 2px parabolünün üzerindeki noktasından çizilen teğet denklemi yy0 = p(x + x0) idi. Öyleyse (1, -2) noktasındaki teğet y.(-2) = 2(x +1) ya da y = - x-1 olur. UYARI : (1,-2) noktasındaki teğetin eğimi, m = y`(x ) dır. 2y. y` = 4 m = = -1 olur. y - (-2) = -1(x-1) den y = -x-1 elde edilir. YANIT : C

CEVAP 5. y = 2x - 1 doğrusunun y = x2 + kx + k parabolüne teğet olması için k nın değerler kümesi ne olmalıdır? A) ø B) {- 1,2} C) {8} D) {0,8} E) {0,4} CEVAP

Δ = 0 için k2 - 8k = 0 k = 0 vk = 8 Demek ki küme {0,8} dir. YANIT : D ÇÖZÜM : Doğrunun parabole teğet olması için kesim noktalarının bir tane olması gerekir. Öyleyse : 2x - 1 = x2 + kx + k dan x2 + (k - 2) x + k + 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem kesim noktalarının apsislerini veren denklemdir. Çözüm kümesinin bir elemanlı olması için Δ = 0 olmalıdır. Δ = (k -2)2 - 4(k + 1) = k2 - 8k elde edilir. Δ = 0 için k2 - 8k = 0 k = 0 vk = 8 Demek ki küme {0,8} dir. YANIT : D

6. 4x2 - 9y2 = 36 hiperbolüne y = mx doğrusuna paralel iki teğet çizilebilmesi için m ne olmalıdır? A) B) m = 5 C) m = D) m>0 E) m< - v m> CEVAP

ÇÖZÜM : Hiperbole y = mx doğrusuna paralel çizilebilecek teğetler asimptotları geçememelidir. Öyleyse, teğetin eğiminin mutlak değeri asimptotların eğiminden küçük ya da ona eşit olmalıdır. 4x2 - 9y2 =36 ise - =1 ve a2 =9, b2 =4 olur. dan elde edilir. YANIT : A

CEVAP 7. y2 =8x parabolünün 0x ekseni ile 135º lik açı yapan teğeti- nin denklemi nedir? A) y = – x–2 B) y = – x–1 C) y = –x + 2 D) y = –x +1 E) y = x –1 CEVAP

ÇÖZÜM : Teğet olacak doğru y = mx + n olsun. m = tan = tan 135º = – 1 dir. y2 = 2px parabolüne teğet olma koşulu ise p – 2mn = 0 idi. 2p = 8 p = 4 dür. 4– 2. (– 1).n = 0 dan n = – 2 elde edilir. Öyleyse teğet denklemi y = – x– 2 dir. YANIT : A

8. 2x2 + 3y2 =6 elipsinin dışındaki P(3, 4) noktasından çizilen teğetlerinin değme noktalarını birleştiren kirişin denklemi nedir? A) x + y =2 B) 2x + y =1 C) x – 2y =1 D) x + 2y =1 E) 2x + 3y =1 CEVAP

+ =1 dir. Buna göre: + =1 elipsinde ÇÖZÜM : + =1 elipsinin dışındaki P( , ) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarından geçen kiriş denklemi + =1 dir. Buna göre: + =1 elipsinde P(3, 4) noktası için kiriş + =1 ya da x+ 2y =1 denklemi olur. YANIT : D

CEVAP 9. y2 = 5x parabolünün hangi kirişinin orta noktası M( , –2) dir? A) x + y = – 3 = 0 B) 5x + 4y – 5 = 0 C) 5x + 4y + 13 = 0 D) 4x + 5y – 13 = 0 E) x + 2y – 5 = 0 CEVAP

ÇÖZÜM : Eğimi m olan kirişlerinin orta noktalarının kümesi, y = çapıdır. – 2 = den m = bulunur. Öyleyse kiriş denklemi y – y0 = m(x – x0) dan y – ( – 2) = – (x – ) ya da 5x + 4y – 5 = 0 elde edilir. YANIT : B

10. x2 + 8y = 0 parabolünün dik kesişen teğetlerinin kesim nokta-larının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2 B) x – 2 = 0 C) y + 2 = 0 D) x =1 E) y = 4 CEVAP

ÇÖZÜM : Bir parabolde birbirine dik olan teğetlerin geometrik yeri doğrultmandır. x2 = – 8y ve 2p = – 8 dir. Öyleyse geometrik yerin denklemi y = – den y = + 2 olur. YANIT : A

CEVAP 11. 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0 elipsinin merkezi aşağıdaki- lerden hangisidir? A) (4, 6) B) (6, 4) C) (3, 4) D) (5, 3) E) (2, 6) CEVAP

fy = 18y – 72 = 0 sisteminin çözümünden x = 6, y = 4 elde edilir. Merkezli koniklerin (elips, hiperbol ) merkezi fx = 0 ve fy = 0 denklemlerinin ortak çözümünden elde edilir. fx = 8x – 48 = 0 fy = 18y – 72 = 0 sisteminin çözümünden x = 6, y = 4 elde edilir. UYARI : + = 1 durumuna dönüştürerek de (h,k) merkezini bulabilirsiniz. YANIT : B TESTİN BAŞINA DÖN

TAMAMLAMALI TEST SORULARI 1. Merkezi elips merkezi ve yarıçapı yarı yedek eksen uzunluğu olan çembere .......... ,merkezi elips merkezi ve yarıçapı yarı büyük eksen olan çembere .......... denir.(elipsin yedek çemberi,elipsin asal çemberi) 2. Elipsin bir odağı merkez ve yarıçapı büyük eksen uzunluğu olan çembere .......... denir.(doğrultma çemberi) 3. Bir elipsin odağından geçen en kısa kiriş .......... kiriştir. (odağa dik olarak çizilen) 4. Bir hiperbolün birbirine dik teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri (monj çemberinin denklemi) .......... ve odaklarından biri merkez,asal eksen uzunluğu da yarıçap olan çembere .......... denir. (x2 + y2 = a2 - b2 , doğrultman çemberi ) 5. Bir elipsin yarıçap vektörlerinin uzunluğu .......... ile .......... ve hiperbolün yarıçap vektörlerinin uzunlukları .......... dır. ( İle ) 6. Bir ikizkenar hiperbolün odaklar uzunluğu türünden denklemi .......... ya da x.y= .......... dür. ( )

7. Bir hiperbolde değişken bir teğetle,asimptotların teşkil ettiği üçgenin alanı sabit ve .......... dır. (a .b ) 8. Bir hiperbolde her teğetin asimptotlar üzerinde ayırdığı parçaların çarpımı sabit ve .......... dır. ( c2 ) 9. Bir parabolde odaktan geçen kirişlerin uçlarındaki teğetlerin kesim noktalarının geometrik yeri .......... dır. ( doğrultman ) 10. Elipsin(ya da hiperbolün) odaklarının herhangi bir teğetine olan uzaklıkları çarpımı sabit ve ........... dır. ( b2 )