TRANSFER FONKSIYONLARINDAKI SIFIR VE KUTUPLARIN ANLAMI VE KUTUPLARIN YER EGRISI TEKNIGI EMRAH YUKSEL 040040359 OGUZHAN CENGIZ 040040357 SAMET HICSONMEZ 040040313 A. FARUK BARAN 040040330

Amaç Transfer fonksiyonlarındaki sıfır ve kutupların anlamı ve kutupların yer eğrisi yöntemiyle sıfır ve kutupların belirlenmesi Örnek bir devre üzerinde bir bilgisayar programı(Matlab gibi) kullanarak devrenin kutup ve sıfırlarının incelenmesi ve problemin yorumlanması. Yöntem

Lineer sistemler x1 (t) y1 (t) x2 (t) y2 (t) a. x1 (t) a. y1 (t) a. x1 (t) + b. x2 (t) a. y1 (t) + b. y2 (t)

Zamanla Değişmeyen Sistem x(t) y(t) x(t+1) y(t+1) x(t+∆) y(t+∆)

Transfer fonksiyonu x(t) y(t) g(t) sıfır G(s) = Y(s) X(s) kutup

Kutup ve sıfırların anlamı S(S+2)

Routh – Hurwitz Bu kriter sayesinde karakteristik denklemin (1+g(s)h(s) = 0) koklerinin sag yarim duzlemde olup olmadigini ve jω ekseni uzerinde kokunun bulunup bulunmadigini saptamaya yarar. x(s) + g(s) y(s) h(s)

P(s)=a6s6 + a5s5 + a4s4 + a3s3 + a2s2 + a1s1 + a0 Ab a4 a2 s5 A5 a3 s4 a5 a4- a3a6 = A a5 a5 a2- a6a1 = B a0 s3 A a3- Ba5 = C A Aa1- a5 = D S2 C.B – A.D = E C s1 E.D – C. a0 = F E s0

Not! Routh – Hurwitz tablosunun hesaplanan bir satirinin butun elemanlarinin sifir olmasi halinde jω ekseni uzerinde imajiner kokler vardir. s6 1 8 7 s5 4 s4 6 s3 s2 s1 s0

Kök eğrilerinin çizimi Soru Kök yer eğrisini çiziniz.

Çözüm Adım I:s düzleminde eksenleri çizilir, kökler “x” ile sıfırlar “0”ile işaretlenir.

Çözüm Adım II:Reel eksen üzerinde sağında sıfır ve kutup sayısı toplamı tek olan doğruyu çiziniz.

Çözüm Adım III: α’da merkezlenen ve Φl açıları ile ayrılan asimtotlar çizilir.n-m=2-1= 1asimptot var. Φl=180/(2-1) Φl=180 olur. Adım IV:Ayrılma açıları kutuplardan ve geliş açıları sıfırlardan hesaplanır.s=0 daki kutuplar için bu kutuplar etrafında bir çember çizelim.

Çözüm İki kutuptan olan açılar eşittir ve sıfırdan olan açıda neticede sıfırdır,(kökler sıfırın sağında kaldığı için) böylece açı şartı: -2 Φl + 0=180+ 360*l Φl=+,-90 Eğri bir kolu yukarı bir kolu aşağı olacak şekilde ayrılır.

Çözüm Adım V:İmajiner ekseni kesme noktaları hesaplanır. (Bu adım bazı çizimler için gerekli olmaya bilir.) Karakteristik denklem: s2 +Ks+K=0 K>0için birinci kolon elemanlarının hepsi pozitif olduğu için bütün kökler sol yarı düzlemdedir ve kök yer eğrisi imajiner ekseni kesmez. Adım VI:Katlı köklerin yerleri belirlenir, özellikle reel ekseni ve geliş, ayrılış açıları belirlenir. İki parçalı kök yer eğrisi 180derecede bir araya gelir ±90derecede ayrılır. Üç parçalı yer eğrileri 120derecede bir araya gelir 60derece dönerek ayrılır.

Çözüm Kök yer eğrisi koşulu: s=0 kök yer eğrisinin G(s)’in iki kökünün K=0 da olduğunu gösterir. II. Adımda s=-2 noktasının kök yer eğrisi üzerinde olduğunu gördüğümüzden s=-2 kök yer eğrisinin katlı köküne işaret eder.

Çözüm Adım VII:Eğri tamamlanır.

Matlab Uygulaması %öncelikle transfer fonksiyonunun matlabdaki karsýlýgý olan tf yi %belirleriz sis=tf([1 1],[1 0 0])%burda transfer fonksiyonunun önce pay ve sonraki payda kýsmýný belirleriz. %örnegin pay kýsmý için burda [1 1] ifadesi s+1 i gösteriyor.diyelim ki %payda s^3+4s^2+6 olsaydý o zaman [1 4 0 6] gibi olurdu.sonra enter a %basýnca transfer fonksiyonu karsýmýza cýkacaktýr. %örnegin bunun icin cýkaralým. payýda s+3 olsun Transfer function: s + 3 --------------- s^3 + 4 s^2 + 6 >> %gibi olur. >> sis=tf([1 1],[1 0 0]) Transfer function: %sekildeki gibi s + 1 ----- s^2 %daha sonraki iþlem transfer fonksiyonuna ait kök egrisini cizdirmek %olcaktýr.bunu da rlocus(sis)ile yaparýz rlocus(sis)

Kaynaklar Otomatik Kontrol Sistemleri – Kemal Sarioglu Modern Control Engineering – K. Ogata Kontrol Sistemleri Tasarimi – Galip Cansever