MATRİS-DETERMİNANT MATEMATİK

MATRİS DETERMİNANT İki Matrisin Eşitliği Matrislerde Toplama İşlemi Matrislerin Skalarla Çarpımı Matrislerde Çarpma İşlemi Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi Bir Matrisin Transpozu (Devriği) Örnekler DETERMİNANT Minör ve Kofaktör (Eş Çarpan) Determinant Fonksiyonu Determinantların Özellikleri Ek Matris Örnekler

TANIM: m,n için, (i=1,2,3,...,m ; j=1,2,3,...,n) olmak üzere , reel sayılarından oluşturulan; i.satır j.sütun tablosuna, m * n biçiminde (tipinde) bir matris denir. . . . A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve elemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir. elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A= şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir. A matrisinin elemanlarına i.satır elemanları; elemanlarına da j. sütun elemanları denir. İLERİ MENÜ

MENÜ Satır Matrisi: matrisinin her satırına denir. Sütun Matrisi: matrisinin her sütununa denir. Kare Matris: n x n tipindeki matrisine, n. sıradan kare matris denir. Sıfır Matris: Bütün elemanları sıfır olan matrise denir ve O harfi ile gösterilir. Asal Köşegen: kare matrisinde elemanlarının oluşturduğu köşegene denir. Yedek Köşegen: terimlerinin oluşturduğu köşegene denir. Köşegen Matris: kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare matrise denir. Skalar Matris: köşegen matrisinde, ise bu matrise denir. Birim Matris: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise denir. n x n tipindeki bir matris ile gösterilir. MENÜ

matrislerinin eşitliğinden İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrislere, eşit matrisler denir. Örnek: Çözüm: matrislerinin eşitliğinden olduğundan, Bulunan değer de yerine MENÜ

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ Tanım: matrisleri verilmiş olsun. matrisine, A ve B matris- lerinin toplamı denir. Örnek: A matrisi, (m+1)x2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B matrisi 3xk biçiminde ise, (m+p+k) kaçtır? Çözüm: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalıdır. Buna göre; m+1=n+1 p-2=2 m=n p=4 3xk=(m+1)x2 den m+1=3 k=2 m=n=2 , p=4 , k=2 olmalıdır. m+p+k=2+4+2=8 dir. MENÜ

k k MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI Skalarla Çarpmanın Özellikleri 1. 2. C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir. Örneğin; k=5 bir reel skalardır. Tanım:k skalar sayısı ve matrisi verilmiş olsun. matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir. Örnek: matrisi ve k=2 sayısı için, k.A matrisini bulalım. Çözüm: bulunur. Skalarla Çarpmanın Özellikleri Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; olsun. Her ve matrisleri için: k k k, , 1 2 1. 2. 3. MENÜ

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için 1. Matrisin sütun sayısı, 2. Matrisin sütun sayısına eşit olmalıdır. olmak üzere; elemanları toplamıyla bulunan matrisine, A ve B matrislerinin çarpımı denir ve biçiminde gösterilir. Örnek: olduğuna göre A.B ve B.A ’ yı bulalım. Buna göre A.B ve B.A birbirine eşit değildir. İLERİ MENÜ

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. 2. A ve B 0’a eşit olmadığı halde , A.B=0 olabilir. 3. A.0=0.A=0’dır. Buna göre sıfır matrisi yutan elemandır. 4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. A.I=I .A=A 5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A.(B.C)=(A.B).C 6. Matrislerde çarpma işleminin değişme özelliği vardır. 7. A ve B birer matris , k bir sayı ise ; k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir. 8. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir. matrisleri veriliyor.A.B=B.C olduğunu gösterelim. Örnek: Çözüm: A.B=A.C dir. Dikkat edilirse B , C ye eşit değildir. MENÜ

BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A.B=B.A= koşulunu sağlayan n. Sıradan B kare matrisi varsa; B matrisine , A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir. Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri 1. olmak üzere , n. Sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa, 2. n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, ve ise; 3. ise, dır. Eğer adc-b=0 ise, yoktur. MENÜ

BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ) Tanım: matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline getirmekle elde edilen matrisine A matrisinin devriği denir ve veya ile gösterilir. Örneğin; matrisinin devriği, dır. Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar ise; 1. 2. 3. Teorem: ve matrisleri için, dir. Teorem: A tersi olan bir matris ise, dir. Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal 1. =A ise, A matrisine simetrik matris denir. 2. =-A ise A matrisine antisimetrik matris denir. 3. = ise A matrisine ortogonal matris denir. MENÜ

A) –1,3 B)-2,4 C)2,-3 D)-2,3 ÇÖZÜM MENÜ Örnek 1) olması için, (a,b) ikilisi ne olmalıdır? A) –1,3 B)-2,4 C)2,-3 D)-2,3 ÇÖZÜM MENÜ

Çözüm: Verilen eşitliğin birinci yanındaki matrisleri toplarsak, elde edilir. Bu eşitlikten, a-3b=-11 2a+b=-1 denklemleri yazılır. Bu denklemler çözülürse, (a,b)=(-2,3) bulunur. ÖRNEK 2 MENÜ

Örnek 2) matrisleri veriliyor. A.B matrisini bulalım. ÇÖZÜM MENÜ

Çözüm: bulunur. ÖRNEK 3 MENÜ

Örnek 3) ise, matrisini hesaplayalım. ÇÖZÜM MENÜ

Çözüm: olur. bulunur. MENÜ

MENÜ Tanım:1x1 biçimindeki matrisinin determinantı, dir. Örneğin; A=[7] matrisi için dir. Tanım: 2x2 biçimindeki matrisinin determinantı dir. Tanım: 3x3 biçimindeki matrisinin determinantı; dir. MENÜ

MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN) Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, elemanının Minör’ü denir ve ile gösterilir. ifadesine, elemanının Kofaktör’ü ya da işaretli minörü denir. Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi olsun. olmak üzere, ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir. Örnek: determinantını hesaplayalım. Çözüm: 3000=a dersek, olur. Buna göre, açılımını =(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8 MENÜ

DETERMİNANT FONKSİYONU Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi olsun. olmak üzere ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= ifadesine de A matrisinin determinantı denir. Örnek: değerini bulalım. Çözüm: =-1.(-8+2+2-6)+2.(4+1+1-3) = -1.(-10)+2.(3)=16 bulunur. MENÜ

DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ 1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir. A karesel matris ise, dir. 2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır. determinantı verilmiş olsun. Bu determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, dır. 3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır. =0 dır. İLERİ MENÜ

4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir. (Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır.) 5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir. ise dır. (1. Satır ile 2. Satır yer değiştirmiştir.) 6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar. ise olur. İLERİ MENÜ

7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez. dir. (1. satırın k katı 2. satıra eklenmiştir. 8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir. determinantı aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılırsa; olur. İLERİ MENÜ

9) Bir determinantın herhangi bir satır veya sütununa ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur. dır. 10) n. mertebeden A ve B matrisleri için, dir. ve ise, dır. MENÜ

EK MATRİS Tanım: n. mertebeden kare matrisi verilmiş olsun. elemanının kofaktörü ise matrisine, A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir. matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır. MENÜ

Örnek 1) ise, a+b+c+d kaçtır? ÇÖZÜM MENÜ

ÖRNEK 2 MENÜ Çözüm: için, matrisi matrisinin tersi olan dir. det(A)=10-12=-2 dır. ÖRNEK 2 MENÜ

Örnek 2) matrisi için; elemanının minörü nedir? ÇÖZÜM MENÜ

Çözüm: elemanının minörü ise, A matrisinde 2. satır ve 1. sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantı; bulunur. ÖRNEK 3 MENÜ

Örnek 3) matrisleri için; ise, a ve b kaçtır? ÇÖZÜM MENÜ

a-b=7 a+b=3 a=5 ve b=-2 bulunur. MENÜ Çözüm: Bu üç matrisin ilk ikişer satırları aynıdır. A ve B nin üçüncü satırları toplamı C nin üçüncü satır elemanlarıyla karşılıklı eşit olmalıdır. O halde; a-b=7 a+b=3 a=5 ve b=-2 bulunur. MENÜ