Matematikte Resimle İspat ÜnalUfuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi

“Bir resim bin kelimeye bedeldir” İngiliz Atasözü (A picture is worth more than a thousand words)

P. Halmos: “S. Lefshets, matematiği mantık olarak değil, resim olarak görürdü.” G. Polya: “Bir resim çiz . . . `` A. Einstein, H. Poincaré: . . . Hayal gücü . . . J. Venn , H. Hasse : . . . Diyagramlar . . .

“. . . Görmek . . .” = “. . . Anlamak . . .”

Resimle ispat da mantıksal ve matematiksel temele dayandırılmalıdır. Bazen, salt resim yanıltıcı olabilir.

1. Casselman, B. , Pictures and Proofs, Notices , Amer. Math. Soc 1. Casselman, B., Pictures and Proofs, Notices , Amer. Math. Soc. , Vol. 47, No. 10, 2000, 1257-1266. 2. Dubnov, J. S., Geometrik İspatlarda Hatalar (Çeviren: A. Nazmi İlker) , Türk Matematik Derneği Yayınları, No. 5, İstanbul , 1962. 3. Nelsen, R. B., Proofs Without Words, The Mathematical Association of America, Washington, 1993.

Geometride Resimle İspat Örnekleri Pisagor Teoremi (M.Ö. 570) b a a2 + b2 = c2 c

Öklid’in ispatı(M.Ö. 295) . . a b c a2 + b2 c2 a b c a2 + b2 = c2

Chou pei suan ching’in ispatı(M.Ö. 200 ?): a2 + b2 = c2 a b c a2 b2 c2 b2 a2 c2 b a

c b a c2 b2 a2 2 1 5 3 4 a2 + b2 = c2

20. Amerikan başkanı James A. Garfield’in ispatı(1876) . . c Alan = 2.(1/2) ab + (1/2). c2 = (1/2).(a+b)2 a2 + b2 = c2 a c b

Dairenin Kareye Dönüşümü . A B . . A B r r  r a  r . r = a2

Aritmetikte Resimle İspat Örnekleri 1+2+3+ . . . +98+99+100 = ?

1 2 3 ... 98 99 +100 + 100 +99 +98 ... +3 +2 +1 . . . . . . 101 ... . . . . . + 101 C. F. Gauss x x 100  101 x = 1+2+3+ . . . +98+99+100 = (1/2)  100  101 = 5050

x = 1+2+3+ . . . +n = (1/2). n .(n+ 1) 1 + n . . . . . n+1 2 + n-1 3 ... n-2 n-1 n x + n + n-1 + n-2 ... + 3 + 2 + 1 x . . . . . n+1 . . . . . + . . . . . n+1 C. F. Gauss n . (n+ 1) x = 1+2+3+ . . . +n = (1/2). n .(n+ 1)

Resim Bunun Neresinde? . . .

1 2 3 n-1 n 1 2 3 n-1 n n+1 x = 1+2+3+ . . . +n = (1/2). n.(n+1) Bu ispatın eski Yunan’da bilindiği söylenir...

Aynı Sonuç İçin Başka Bir Resim: 1 2 3 n-1 n 1+2+3+ . . . +n = (n2/2) + n.(1/2) = (1/2).n.(n+1) (n2/2) n.(1/2)

Tek sayıların toplamı ... 1+3+5+7+ . . . +(2n-1) = ?

1+3+5+7+ . . . +(2n-1) = n2 2 3 n-1 n Nicomachus (M.Ö. 100) 1 2 3 n 1

Aynı sonuç için başka bir resim . . .

1 2 3 2n 1 2 3 2n (2n)2 tane küçük kare

1+3+5+7+ . . . +(2n-1) = (1/4).(2n)2=n2

= Kareye Tamamlama (x+a)2 x2+2ax – a2 x2+2ax = (x+a)2 – a2 x2 x2 2ax +

Aritmetik Geometrik Ortalama Eşitsizliği b

Yanıltıcı Resimler . . . Kırmızı doğru parçalarından hangisi daha uzundur?

 [(25/4) - 4]  9/4 Çapları birer birim artarak büyüyen çemberler... Boyalı alanlardan hangisi daha büyük?

Kenar uzunluğu 21 cm olan bir kareyi aşağıdaki gibi parçalara ayıralım: 13 8 8 B D 13 A 13 C 8

C B D A 8 13 D A B C 13 13 21 2121 = 441 1334 = 442 A D B C

Leonardo Davinci’nin İspatı (1452-1519) . . B` A` G F E D C B a b c a b c a b c CBB`C`+CAA`C`= c2 +2ABC ABED + FGDE = a2 + b2 + 2ABC a2 + b2 = c2

Perigal(1873) . . b a c b a c2 b2 a c a2 a2 + b2 = c2

Bir Cebir Formülü Daha .. (a+b)2 – (a-b)2 = 4ab a+b a+b a-b a-b b a

Başka Bir Cebir Formülü: (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2 +b2 ) b b b a + a-b a b a-b = + (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2 +b2 )

Geometrik Dizinin Toplamı 1+r+r2+r3 + . . . +rn + . . . = ? 1-r r 1-r (1/r) = 1+r+r2+r3 + . . . +rn + . . . r (1/r)-1 1 r r2 r3 1 1+r+r2+r3 + . . . +rn + . . . = 1-r