KÜMELER

İÇERİK Gruplar Oluşturalım Kümenin Özellikleri Kümelerin Gösterimi Küme Çeşitleri Kümelerde İşlemler

GRUPLAR OLUŞTURALIM İki gruba ayrılıp maç yaparız.Her takımı oluşturan kişiler bir grup oluşturur. İki ayaklı olan hayvanlar bir grup oluşturur. Etcil hayvanlar bir grup oluşturur. Yaz ayları bir grup oluşturur.

Bir topluluğun küme oluşturması için,varlıkların belirli olması ve herkes tarafından aynı şekilde bilinmesi ve yorumlanması gerekir. Dolayısıyla;çeşitli nesnelerin bir araya getirilmesiyle oluşan gruplara küme denir

Kısaca,varlıkların oluşturduğu topluluklara küme denir. Örneğin ; Karadeniz’e sınırı olan iller Sesli harfler birer küme belirtir. Ancak ; Küçük hayvanlar Lezzetli yemekler küme belirtmez. Geri dön!

Kümelerin Özellikleri Kümeleri; A,B,C gibi büyük harflerle adlandırırız. Kümenin adı olan büyük harfi kümeyi ifade etmek için kullandığımız şeklin yanına yazarız. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine o kümenin elemanı denir. Eleman Є sembolü ile gösterilir. Elamanı değil ise Є sembolü ile gösterilir. A .k .c .l

Örnekler “Bazı günler” “Haftanın P ile başlayan günleri” “İyi insanlar” “Kış ayları” Yukarıdaki ifadelerden hangileri küme belirtir? Cevap: II ve IV

A= a,b,c,d kümesi için hangisi yanlıştır? a ЄA b ЄA B ЄA c ЄA Doğru Cevap: c Geri dön!

Kümelerin Gösterimi Kümeler üç farklı şekilde gösterilir.Bunlar; liste biçiminde gösterim, ortak özellik yöntemiyle gösterim ve şema(Venn Şeması) ile gösterimdir.

1.Kümenin Liste Yöntemiyle Gösterimi Kümelerin elemanlarının { } sembolü içinde ve aralarında virgül olacak şekilde yazılmasına kümenin liste yöntemiyle gösterimi denir. Örnek:”3 ile 7 arasındaki doğal sayılar” kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazalım. Cevap:H={4,5,6}

Anahtar Bilgi Bir kümede bir eleman yalnızca bir kere yazılır.Elemanların yazılış sırası önemli değildir. Bir kümenin kaç tane elemandan oluştuğunu gösteren doğal sayıya eleman sayısı denir. A kümesinin eleman sayısı s(A) biçiminde gösterilir.

Örnek: ANTALYA kelimesinin harflerinden oluşan kümeyi liste yöntemiyle yazalım. Cevap: K=(A,N,T,L,Y) T=(ördek,tavuk,kartal) olduğuna göre, T kümesinin eleman sayısı kaçtır ? Cevap: s(T)=3

2.Kümenin Ortak Özellik Yöntemiyle Gösterimi Bir kümeyi oluşturan elemanların hepsinin ortak özelliği varsa, küme parantezi içinde, elemanların ortak özelliği yazılarak gösterilir.Kümeyi, elemanlarının ortak özelliklerini belirterek yazmaya kümenin ortak özellik yöntemiyle gösterimi denir. Örnek: A={2,3,4,5} kümesini ortak özellik yöntemiyle yazalım. Cevap: A={1 ile 6 arasındaki doğal sayılar}

3.Kümenin Şemayla(Venn şemasıyla) Gösterimi Kümeyi oluşturan elemanlar,sol taraflarına nokta konularak yazılır ve bu elemanlar kapalı bir eğri içine alınır.Buna kümenin şema ile gösterilmesi veya venn şemasıyla gösterimi denir. Örnek :A={x,y,z} kümesini şema ile gösterelim. Cevap : A .x .z .y

Anahtar Bilgi Şema ile gösterilen bir kümenin kapalı eğrisi dışında kalan elemanlar o kümenin elemanı değildir. Örnek: A kümesinin elemanları 1,2,3,4,5 dir. B kümesini elemanları ise 2,3 tür. A .1 .3 .5 . 2 B .4 .5 Geri dön!

Küme Çeşitleri 1.Boş Küme Elemanı olmayan kümeye boş küme denir.Boş küme Ø veya {} ile gösterilir. Ø ifadesi (Ø) ifadesine eşit değildir.Ve bir kümenin eleman sayısı en az 0 dır. Örnek :A={Baş harfi J olan aylar}kümesini düşünelim. Cevap:Baş harfi J olan ay yoktur.Bu nedenle A kümesi boş kümeye eşittir.

Anahtar Bilgi Bir kümenin boş kümeye eşit olması ile küme olmamasını karıştırmayınız. Örneğin; D= {5 ile 6 arasındaki sayılar} ifadesi bir kümedir ve boş kümeye eşittir. F={bazı hayvanlar} ifadesi bir küme değildir. Dolayısıyla bu küme boş kümeye eşit değildir.

E={a,b,c,d,e} yada E={a,b,c,d,e,f} kümeleri olabilir. 2.Evrensel Küme Üzerinde işlem yapılan belirli bir alandaki varlıkların tümünü içine alan boş kümeden farklı kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme E harfi ile gösterilir. Örneğin ; A={a,b,c,d} kümesine ait evrensel küme,a,b,c,d elemanlarını içine alan, E={a,b,c,d,e} yada E={a,b,c,d,e,f} kümeleri olabilir.

3.Denk Kümeler Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. Örneğin ; A={1,2,3,4} B={salı,çarşamba ,perşembe,cuma} Kümelerinin eleman sayıları eşit olduğu için A ile B kümeleri denktir.

kümelerinin elemanları aynı olduğundan A ile B kümesi eşittir. 4.Eşit Kümeler Aynı elemandan oluşan kümeler birbirine eşittir. Örneğin ; A={2,3,4} B={1 ile 5 arasındaki doğal sayılar} kümelerinin elemanları aynı olduğundan A ile B kümesi eşittir. Geri dön!

KÜMELERDE İŞLEMLER 1.BİRLEŞİM İŞLEMİ İki veya daha fazla kümenin tüm elemanlarının birleşmesi ile oluşan yeni kümeye birleşim kümesi denir. Birleşim işlemi U sembolüyle gösterilir. A ile B kümelerinin birleşimleri AUB şeklinde yazılır ve A birleşim B diye okunur.

Birleşim İşleminin Özellikleri Kümelerde birleşim işleminin değişme özelliği vardır. Yani A ve B herhangi iki küme ise, AUB=BUA Bir kümenin boş kümeyle birleşimi,o kümenin kendisine eşittir. AUØ= ØUA=A

2.KESİŞİM İŞLEMİ İki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir. Kesişim işlemi п ile gösterilir. A ile B nin kesişimi A п B şeklinde yazılır ve A kesişim B diye okunur.

Kesişim İşleminin Özellikleri Kümelerde kesişim işleminin değişme özelliği vardır. Yani A ve B herhangi iki küme ise, AпB=BпA Bir kümeyle boş kümenin kesişimi boş kümedir. Yani A herhangi bir küme ise, AпØ= ØпA=Ø Ortak elemanı olmayan kümelere,ayrık kümeler denir. Ayrık kümelerin kesişimi boş kümedir.

s(AUB)=s(A-B)+s(AпB)+s(B-A) 3.FARK İŞLEMİ A ve B herhangi iki küme olmak üzere,A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye, A kümesinin B kümesinden farkı denir ve A\B veya A-B şeklinde gösterilir. Anahtar Bilgi s(AUB)=s(A-B)+s(AпB)+s(B-A)

4.TÜMLEME İŞLEMİ ANAHTAR BİLGİ A kümesi E evrensel kümesinde tanımlı olsun.E kümesinin elemanı olup A kümesinin elemanı olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir ve A’ ile gösterilir. ANAHTAR BİLGİ AUA’=E ve s(A)+s(A’)=s(E) dir. A п A’=Ø dir.

Kümelerde işlemlerle ilgili örnekler A={1,2,3} ve B={2,3,4,5} ise; AUB= {1,2,3,4,5} AпB= {2,3} A\B= {1} B\A= {4,5} olur. B A .1 .2 .3 .2 .3 .4 .5 Geri dön!

ALT KÜME Bir büyük ve birde küçük iki kutumuz var.Küçük kutunun içine bir elma koyduktan sonra bu küçük kutuyu büyük kutunun içine yerleştiriyoruz.Şimdi buradaki küçük kutu büyük kutunun alt kümesidir.Yani büyük kutu küçük kutuyu kapsar. 6/A sınıfı okulumuzun bir alt kümesidir. Okulumuz 6/A sınıfını kapsar.

Bir A kümesinin her elemanı,bir B kümesinin de elemanı ise “A kümesi B kümesinin alt kümesidir veya B kümesi A kümesini kapsar” denir. A kümesi B nin alt kümesi ise A B sembolü ile gösterilir.A kümesi B kümesinin alt kümesidir şeklinde okunur. B kümesi A yı kapsıyor ise B A sembolü ile gösterilir.B kümesi A kümesini kapsar şeklinde okunur.

Anahtar Bilgi Her küme kendisinin alt kümesidir.Yani A bir küme ise A A dır. Boş küme her kümenin alt kümesidir.Yani Ø A dır. Örnek:A={5,6,7} kümesinin alt kümelerini yazalım. 0 elemanlı alt kümesi:Ø 1 elemanlı alt kümeleri:{5},{6},{7} 2 elemanlı alt kümeleri:{5,6},{5,7},{6,7} 3 elemanlı alt kümesi:{5,6,7} Geri dön!

KAYNAKÇA Coşku Yayınları 6.Sınıf Matematik Ders Kitabı http://matematikcifatih.tr.gg/ http://www.matematiktutkusu.com/ http://www.matematikciler.org http://tr.wikipedia.org/wiki/Matematik_sembolleri

KAZANIMLAR Bir kümeyi modelleriyle belirleyebilme Farklı temsil biçimleriyle gösterebilme Boş kümeyi ve evrensel kümeyi kavrayabilme Kümelerde birleşim,kesişim,fark ve tümleme işlemlerini modelleriyle açıklamayı,şema ve sembol kullanarak göstermeyi ve bu işlemleri problem çözmede kullanmayı öğrenme Bir kümenin alt kümesini belirleyebilme

HAZIRLAYAN KADİR DOĞUKAN ÖZDEMİR RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 110404045 2/A(İ.Ö)