KÜMELER GEZEGENİNE HOŞ GELDİNİZ.

2. Bölüm 3.Bölüm Küme problemleri 1. Bölüm Kümenin tanımı ve gösterimi Boş küme Sonlu ve sonsuz küme Alt küme ve özalt küme Eşit kümeler 2. Bölüm İki kümenin kesişimi ve birleşimi Ayrık kümeler Evrensel küme ve fark kümesi 3.Bölüm Küme problemleri

Küme,birbirinden ayırt edilebilen bir nesneler topluluğudur.

Küme {...} parantezi içinde yazılarak gösterilir. Nesneler aralarına virgül konarak birbirinden ayırt edilir. Örneğin bir A kümesi A={1,2} ile gösterilir

Ör:. Aşağıdaki kümelerin elemanlarını yazınız. 1 Ör: Aşağıdaki kümelerin elemanlarını yazınız. 1. A= ( 8 ile 16 arasındaki çift sayılar) 2. B= ( durmuş ismindeki harfler)

Çözüm: 10, 12, 14 sayılarına “A” kümesinin elemanları denir 2. B= {d,u,r,m,ş} 10, 12, 14 sayılarına “A” kümesinin elemanları denir

Elemanlar {3,5,7} {5,3,7} ,{7,5,3} şeklinde yazılabilir,sıranın önemi yoktur. a,A kümesinin bir elemanı ise bu ifade aA şeklinde, değilse aA ile gösterilir. Elemanların birbirinden ayırt edilebilmesi için aralarına virgül koymak gerekir...

Venn şeması ile Liste yöntemi ile Bir küme üç şekilde gösterilebilir: Ortak özelik metodu ile Liste yöntemi ile

Elemanların kapalı bir bölgede gösterilmesine Venn şeması ile gösterim, Kümenin elemanlarının {…} süslü parantezinin içine iki eleman arasına virgül koyarak yazılmasına liste yöntemi ile gösterim, Elemanların ortak bir özellik ile önerme şeklinde yazılmasına “ortak özellik metodu”ile gösterim denir. Bunları biraz açıklar mısın?

“çiçek” kelimesindeki harfler Kümesini üç yöntemle gösterelim. Venn diyagramı ile.. 1. 2. A A={ç,i,e,k} *ç *i *e *k 3. A={Çiçek kelimesindeki harfler.}

Küme Çeşitleri

3*Evrensel küme 5*Denk küme 4*Eşit küme 1*Boş Küme 2*Sonlu ve Sonsuz Küme , 5*Denk küme 4*Eşit küme

1* Bir kümenin elemanları boş küme denir. yoksa o kümeye boş küme denir. Boş küme d ile gösterilir.

2* Eğer kümenin elemanları sonlu küme sayılamıyorsa sayılabiliyorsa o kümeye sonlu küme sayılamıyorsa sonsuz küme denir.

3* Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye . EVRENSEL KÜME : Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. E harfi ile gösterilir. 1

4* EŞİT KÜMELER: Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.

5* DENK KÜMELER: Eleman sayıları aynı olan kümelere denk kümeler denir

oluyorsa A’ ya B’ nin alt kümesi denir. veya şeklinde yazılabilir. ALT KÜME: A ve B iki küme olmak üzere, A’ nın her elemanı B ‘ nin de elemanı oluyorsa A’ ya B’ nin alt kümesi denir.                 veya                 şeklinde yazılabilir. .

Örnek : Örnek kümeleri denk kümelerdir.Çünkü : , Örnek kümeleri eşit kümelerdir. Çünkü aynı elemanlara sahip.

1.Her küme kendisinin bir alt kümesidir.

2. Her küme evrensel kümenin bir alt kümesidir.

3. Boş küme her kümenin bir alt kümesidir.

4*

5*

6. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı:

7. Bir kümenin, kendisi dışındaki bütün alt kümelerine, bu kümenin öz alt kümeleri denir Alt kümelerinin sayısı : Öz alt kümelerinin sayısı :

A boş olmayan bir küme olsun. s(A)= n ise, 1.A nın alt küme sayısı 2^n dir. 2. A nın özalt küme sayısı 2^n–1 dir 3. Boş kümenin alt küme sayısı 1 dir.

TÜMLEYEN : Evrensel kümenin elemanlarından A’ nın elemanları çıkarılarak elde edilen kümeye A’ nın tümleyeni denir ve “A’ “ veya “ A  ” ile gösterilir.

Tümleme Özellikleri (A’)’=A E’ =

KUVVET KÜMESİ : Bir kümenin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye kuvvet kümesi denir. P(A) ={f ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ' dir. kümesinin kuvvet kümesi P(A) olsun.           n elemanlı bir kümenin kuvvet kümesinin eleman sayısı        dir               .

Kümelerde işlemler

NOT : Ortak elemanı olmayan ayrık kümeler denir. KESİŞİM : A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B kesişim kümesi denir “ ile gösterilir. NOT : Ortak elemanı olmayan ayrık kümeler denir.  

BİRLEŞİM : A veya B kümelerinin elemanlarından oluşan kümeye A ile B’ nin birleşim kümesi denir ve “               ” ile gösterilir. Örnek Burada A={1,3,4,5} ve B={1,2,5} olduğundan AÈ B={1,2,3,4,5}  bulunur

Ör: A={-4,-3, -2,-1,0} ve B={x:-2<x<4,xZ} ise A B ve n(A B ) yi bulunuz. Çözüm: B={-1,0,1,2,3,4} dir.A ve B nin ortak elemanları, -1 ve 0. A B ={-4,…4}. n(A)=5 ve n(B)=6, n(A B ) =n(A) + n(B)-n(AB)= 5+6-2=9 olur.

FARK :A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A’nın elemanı olup da B’nin elemanı olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. Fark kümesi “A – B” veya “A \B” ile gösterilir.

Şekle göre A\B ‘yi bulunuz. ÖRNEK Şekle göre A\B ‘yi bulunuz. Çözüm Burada A={1,3,4,5} ve B={1,2,5} olduğundan A\B={3,4} bulunur. NOT : A \ B ¹ B \ A

SİMETRİK FARK : A ve B herhangi iki küme olarak üzere, A – B ile B –A nın birleşimine A ile B ‘ nin simetrik farkı denir ve “            ” ile gösterilir.

                         EK KUVVET ÖZ . DEĞİŞME ÖZ Dağılma Özelliği Birleşme Özelliği

Fark ve Simetrik farkla ilgili Özellikler : A \ f = A E \ A = A ‘ A \ B =A Ç B ’ = A \ (A Ç B )

Kombinasyonun temel teoremleri :

n(AB)=14 , x+4+x=14 x=5 n(B)=4+x=4+5=9 Ör: A ve B kümeleri için, n(AB)=4, n(A)= n(B) ve n(AB)=14 veriliyor.B nin özalt kümelerini sayısını bulunuz. Çözüm: n(AB)=14 , x+4+x=14 x=5 n(B)=4+x=4+5=9 4 x x B nin alt küme sayısı: 2^n –1=2^9-1=511 dir. n(AB)=4