Yapay Zeka Teknikleri Kullanılarak Yüzey Modelleme Doç.Dr.Erkan ÜLKER Fen Bilimleri Enstitüsü Bilgisayar Mühendisliği A.B.D. Yüksek Lisans/Doktora Dersi

Spline’lar Hermite yada Bézier eğriler arasındaki birleşmelerde G1 yada C1 sürekliliklerini sağlamak kolaydır, ama C2 sürekliliği sağlanamaz. Bir spline, baştan sona kadar C2 sürekliliğini sağlamayı başaran bir eğridir. Doğal bir spline n adet kontrol noktası ile tanımlanır. Eğri ilk ve son kontrol noktasından geçebilir ama muhakkak geçmek zorunda değildir. Bir kontrol noktasının taşınması giriş eğrisini değiştirir. n+1 dereceli polinom için katsayıların hesabı hesaplamsal açıdan pahalıdır.

P0 P1 P2 P3 P5 P4 P6 P7 P8 P9 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 B-Spline Bir B-Spline, m+1 adet kontrol noktası, P0, P1, ... Pm, m3, ile bir eğri tanımlar, burada m-2 adet bağlantılı ve kübik polinomsal eğri dilimleri vardır, Q3 den Qm’e kadar. Eğri dilimlerinin birleştiği düğümler ve giriş eğrisinin son noktaları düğümler (knots) olarak da bilinmektedir: m-1 knots. Bir Qi eğri dilimi Pi-3, Pi-2, Pi-1, ve Pi kontrol noktaları ile tanımlanır. Anahtar özellik: Bir kontrol noktasının taşınması yerel (local) bir etkiye sahiptir. Dört eğri dilimini etkiler.

B-Spline (devam) Periyodik ve kapalı periyodik B-spline Uniform B-Spline: t de eşit aralıklarda düğümlere sahiptirler. Komşu düğümler arasındaki t lerdeki uzaklıklar aynıdır. Her bir eğri dilimi için harmanlama fonksiyonları aynıdır. Nonuniform B-Spline: düğümler arasındaki parametrik aralıklar eşit değildir. Düğüm sırasının sonlarına 3’er düğüm eklenir ve m+1 kontrol noktası m+3 yapılır. Düğümler arasındaki uzunluklar 0 yapılarak süreklilik indirgenebilir. Periyodik ve kapalı periyodik B-spline Düğümlerin ilk ve son değerlerine eğrinin derecesi kadar daha aynı değerler atanır. Bu ilk ve son kontrol noktalarında enterpolasyonu sağlar. Nonuniform Rational B-Splines (NURBS) 3B modelleme sistemlerinde yaygın şekilde kullanılırlar. Nonuniform düğüm aralığına sahiptir Rasyonel polinomsaldır, yani bir polinom başka bir polinomla bölünür. Kontrol noktalarını ağırlıklandırma kabiliyeti vardır

Kontrol noktası ve eğri derecesinin etkisi

Parametrik eğri ve yüzey denklemleri Bezier Eğri Bezier Yüzey B-spline Eğri B-spline Yüzey NURBS Eğri NURBS Yüzey