BENZETİM Prof.Dr.Berna Dengiz 9. Ders

BENZETİM X 2 TESTİ Bir X2 testini gerçekleştirmede en büyük zorluk aralık sayısının ve aralık genişliğinin seçilmesidir. Öneri: pj değerleri yaklaşık olarak eşit seçilmelidir. Ej = npj  5  eşitsizliği kesikli ve sürekli dağılımlar için sağlanmalıdır. Sürekli dağılım için X2 testinin kullanılmasında ; olması sağlanmalıdır.

BENZETİM Sürekli veri için örnek genişliğine bağlı olarak sınıf aralıklarının sayısı; k  n/5 eşitsizliği bu tablodaki üst sınır değerlerini vermektedir.

BENZETİM Örnek: Veriye uygun dağılım Üstel dağılım olsun

BENZETİM Üstel dağılım için ; a0= 0 ak= 

BENZETİM

BENZETİM Weillbull Dağılımı için; Normal Dağılım için ; Birçok dağılımda eşit olasılık aralıklarını elde etmek kolay değildir.

BENZETİM Örnek: Bir kavşakta sabah saat 700 ve 705 arasında 5 dakikalık zaman dilimi içinde kavşağa gelen araba sayısı haftada 5 işgünü olmak üzere 20 haftalık bir periyot için aşağıdaki tabloda verilmektedir.

BENZETİM 0; 5 dakikalık süreler için 12 kez hiç araba gelmediğini , 1; 5 dakikalık süreler için 10 kez 1 araba geldiğini gösterir. Bu verilerin histogramı çizildiğinde;

BENZETİM

BENZETİM Hipotez: Verinin histogramı , Poisson dağılımı olasılık fonksiyonunun şekline benzediğinden dolayı , başlangıçta verinin Poisson dağılımına sahip olduğu kabul edilir. Poisson dağılımının parametresi  , ^ =3,64 olarak tahmin edildi ve aşağıdaki hipotez kuruldu. H0 = Veri Poisson dağılımdan gelmektedir. (Veya veriye uygun dağılım poisson dağılımıdır) H1= Veri Poisson dağılımdan gelmemektedir. (Veriye uygun dağılım Poisson dağılımı değildir)

BENZETİM Poisson dağılımın olasılık fonksiyonu;

BENZETİM için , X değerlerinin ortaya çıkma olasılıkları ;

BENZETİM EI = n.Pi ile belirlenir . Mesela; E1 =100*(0,026)=2,6

BENZETİM Tablodan'da görüldüğü gibi E1= 2,6 < 5 olduğundan dolayı E1 ve E2 birleştirilir. Bu durumda N1 ve N2 değerleri de birleştirilir , k değeri de bu birleştirmelerden dolayı 1 azaltılır. Aynı durum 7, 8, 9, 10, 11 için de geçerlidir. 20 = 27,68 dir. X2 'nin tablo değeri için serbestlik derecesi ; k-s- 1=7-1-1=5  = 0.05 için X20. 05 , 5 =11.1 20 > X20. 05 , 5 olduğu için H0 hipotezi red edilir.

BENZETİM Örnek: Veriye uygun dağılım üstel olsun Varışlar arası zaman aralıklarına ilişkin veri aşağıdaki gibi olsun . n=220 0.01 0.53 * 0.01 * * 0.01 * * * * * * * 1.96

BENZETİM Bu veri için farklı aralıklar için histogramlar çizilebilir. b={0.05, 0.075, 0.1} aralık değerleri verinin yapısını anlamaya yardım eder.

BENZETİM

BENZETİM

AMPİRİK (GÖZLEMSEL) DAĞILIMLAR BENZETİM AMPİRİK (GÖZLEMSEL) DAĞILIMLAR Veriye herhangi bir teorik dağılım uygun değilse bu durumda Ampirik dağılımlardan yararlanılır. Sürekli dağılımlar için ; a) Orjinal veri mevcutsa; Toplanan veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. x1 x2  x3  ,,,,,,,,,  xn Sürekli,piecewise - doğrusal dağılım fonksiyon tanımlanır.

BENZETİM b) Gruplandırılmış veri mevcutsa ; [a0, a1) [a1, a2)………..[ak-1, ak) ; k ardışık sınıf aralıkları olsun. j. aralık , nj gözlem içerir. n1+n2+……….nk= n gözlem sayısı sürekli piecewise doğrusal ampirik dağılım fonksiyonu G;

BENZETİM Dezavantajı Pratikte çoğu sürekli dağılım sağ tarafta çarpıktır. Gözlem sayısı (n) yeterli büyüklükte değilse, dağılımın sağ uç noktasından çok az gözleme sahip olabiliriz. Çünkü bu uç noktadan gözlem elde etme olasılığı azdır. Bu durumda yukarıda tanımlanan ampirik dağılımlar, bu uç noktalardan gözlem elde etmeye izin vermezler.

BENZETİM Kesikli Dağılım için: Orjinal veri mevcutsa (x1,x2,…..xn) , ampirik dağılım tanımlamak çok kolaydır. Olası her X değeri için ampirik fonksiyon p(x) olasılık kütle fonksiyonu olarak tanımlanır. Gruplandırılmış kesikli veri için, Bir aralıktaki x'in mümkün değerleri için p(x)'lerin toplamı ; bu aralıktaki xi'lerin oranına eşittir.

VERİ ELDE ETMEK MÜMKÜN DEĞİLSE BENZETİM VERİ ELDE ETMEK MÜMKÜN DEĞİLSE Bazı durumlarda , ilgilenilen rassal değişkenler için veri toplamak mümkün olmayabilir. Örneğin; Üzerinde çalışılan sistem mevcut değilse Sistem mevcut ancak , benzetim çalışması için ayrılan süre , verinin toplanması ve analizi için yeterli değilse. Verinin yokluğunda bir dağılımın seçilmesi için literatürde 2 sezgisel yaklaşım vardır. İlgilenilen rassal değişkenin (x), sürekli bir rassal değişken olduğunu kabul edelim. X rassal değişkeni, bir işin gerçekleştirilme zamanı olarak düşünülebilir. Örneğin; arızalanan bir makinanın tamir zamanı olabilir.