Kareköklü Sayılar

YAZMADAN İNCELE ÇIKAN SONUCU DEGERLENDİR Yukarıdaki sayının 3 üssü 2 veya 3’ün 2. kuvveti diye okunduğunu biliyoruz. Bunun yanı sıra bir sayının 2. kuvveti o sayının karesi olarak ifade edilebilir. Bu anlamda yukarıdaki sayı 3’ün karesi şeklinde ifade edilebilir.

4 ün karesi 7 nin karesi

Yukarıdaki cümlede altı çizili kelime hangi anlamda kullanılmıştır? -Dedem dedi ki bizim kökümüz çok eskilere dayanırmış. Yukarıdaki cümlede altı çizili kelime hangi anlamda kullanılmıştır?

Hangi sayının karesi 16 dır? Bir sayının kökünü bulmak, o sayıya ulaşmak için kuvveti alınan değeri (geçmiş değeri) bulmaktır. ÖRNEK: 16 sayısı hangi sayının karesi alınarak elde edilmiştir? İşte burada 16 sayısının kare alınmadan önceki geçmiş değerin bulunması isteniyor. Hangi sayının karesi 16 dır?

Hangi sayının karesi 4 tür? Hangi sayının karesi 9 dur? Hangi sayının karesi 36 dır?

Hangi sayının karesi tür? 4 =2 Yukarıda görüldüğü gibi sembolü “hangi sayının karesi?” sorusunu sorar. Bu sembol “Karekök” diye okunur.

ifadesinin nasıl okunduğunu ve ne anlama geldiğini söyleyiniz.

İleride yapacağımız işlemlerde kolaylık sağlaması açısından aşağıdaki tabloyu inceleyelim. 02=0 42=16 82=64 122=144 12=1 52=25 92=81 132=169 22=4 62=36 102=100 142=196 32=9 72=49 112=121 152=225 Örnek:

KAREKÖKLÜ SAYILARLA TOPLAMA ÇIKARMA ETKİNLİK: 3 ELMA + 2 ELMA = 5

+ 2 = 5 3

Verilen bir işlemde toplama çıkarma varsa öncelikle toplanabilirlik durumu incelenmelidir. Şöyle ki: 3 ELMA + 2 ARMUT = 5 Burada görüldüğü gibi sonuçta ne elde ettiğimiz belli değildir. Bu durumda yukarıdaki gibi bir toplama işlemi yapılamaz.

Toplama işlemi yaparken toplanacak olan ifadelerin aynı cins olmasına dikkat edilir aksi halde toplama yapılamaz. Aynı durum çıkarma işlemi için de geçerlidir. 3 ELMA + 2 ELMA = 5 Toplama-çıkarma işlemi yaparken toplanacak-çıkarılacak ortak cinslerin miktarını anlatan sayılar (katsayılar) toplanır-çıkarılır.

Kareköklü sayılarla toplama yapılırken: Kök içlerinin aynı olmasına dikkat edilir. Katsayılar toplanır-çıkarılır katsayı olarak yazılır. Ortak kök, elde edilen katsayının yanına yazılır.

ÖRNEK: (3+7-4)=6 Katsayılar toplanıp katsayı olarak yazılır.

ÖRNEK: Burada 2. terimin katsayısı görülmemektedir. Bir ifadenin katsayısı görülmüyorsa çarpmada etkisiz eleman olan 1 o ifadenin katsayısıdır. (5-1+4)=8

ÖRNEK: + - + + ÖRNEK:

Kareköklü Sayılarla Çarpma

Kareköklü sayılarla çarpma yaparken katsayılar çarpılır katsayı olarak yazılır. Kök içleri çarpılır kök olarak yazılır. Bölmede de aynı mantık geçerlidir. ÖRNEKLER: 1.) 2.) 3.) 4.)

Kareköklü Sayıyı Şeklinde Yazma 12 12 =

Her zaman için verilen ifade bu kadar kolay çarpanlarına ayrılamayabilir. Bu durumda kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırarak işlemimize devam edebiliriz. 768 2 384 2 2 2 2 2 2 2 2 2 192 2 96 2 48 2 24 2 12 =16 2 6 2 3 3 1

ÖRNEK: ÖRNEK: ÖRNEK:

Gerçek Sayılar ETKİNLİK: Sınıftan seçeceğimiz 4 gruptan kırmızı bölgede bulunan bir rasyonel sayı yazması istenecektir. Gruplar sayıyı bir kağıda yazıp süre (20 sn) bitiminde kağıdı kaldırarak cevabı verecektir. Her grup doğru yazdığı sayı için 12 puan alacaktır. Eğer farklı gruplar aynı sayıyı bulursa 12 puan bu gruplara bölünerek verilecektir. (Örneğin 3 grup aynı sayıyı bulursa 12:3=4 er puan alacaktır.) Sayı bulma işlemi 3 defa tekrarlanacak sonunda kazanan grup belli olacaktır.

N Z Q R Qı R Qı ∩ Q=Ø Q U Qı =R olur. Sayı doğrusunda iki rasyonel sayı arasına sonsuz rasyonel sayı yazılabilir. Ancak her ne kadar sonsuz rasyonel sayı yazılsa da sayı doğrusunu rasyonel sayılarla tam olarak dolduramayız. Bu anlamda sayı doğrusunda boş kalan noktalara karşılık irrasyonel sayılar gelmektedir. Böylece Q ile Qı elemanları bir araya gelerek sayı doğrusunu hiç boşluk kalmayacak şekilde doldururlar. Bu iki kümenin birleşimi reel sayılar kümesini verir. Q U Qı =R olur. R N Z Q Qı N Z Q R Qı R Qı ∩ Q=Ø

Standart Sapma 2. Öğrenci 1. Öğrenci Bir örnekle standart sapmayı ele alalım. İki öğrencinin 3 yazılı sonunda aldığı notlar aşağıdaki gibidir: 1. Öğrenci 1.yazılı 2. yazılı 3. yazılı 70 65 72 2. Öğrenci 1.Yazılı 2. yazılı 3. yazılı 30 90 42 Bu öğrencilerden hangisi daha tutarlı notlar almıştır? Standart sapma değerlerini hesaplayarak tutarlılıklarını değerlendirelim.

1. Öğrenci 2. Öğrenci Standart Sapma Standart Sapma 1. yazılı 70 65 72 2. Öğrenci 1. yazılı 2. yazılı 3. yazılı 30 90 42 ARİTMETİK ORTALAMA ARİTMETİK ORTALAMA NOTLAR İLE ORTALAMA ARASINDAKİ FARKIN KARELERİ TOPLAMI Standart Sapma Standart Sapma

Şimdi elde ettiğimiz bu standart sapma değerlerini yorumlayalım: Bir veri grubunun standart sapması 0’a ne kadar yakınsa bu veri grubu o kadar tutarlıdır. Bu durumda 1. öğrencinin standart sapması 2. öğrencinin standart sapmasından küçük olduğundan 1. öğrencinin daha tutarlı notlar aldığı sonucuna ulaşılır.

Sizce her iki günün tutarlılığı aynı mı? YAZMADAN İNCELE ÇIKAN SONUCU DEGERLENDİR Neden verilerin aritmetik ortalamaya olan uzaklıklarını direk toplamak yerine karelerini topluyoruz? Bir adamın Salı ve Çarşamba günleri 3’er saat süresince her saat tuttuğu balık sayısı aşağıdaki gibidir: Salı:1. saat6 tane Çarşamba:1. saat6 tane 2. saat5 tane 1. saat5 tane 3. saat 4 tane 1. saat1 tane Burada ortalamaları alıp ortalamaya olan uzaklıkları direk toplarsak Salı Günü Ortalaması: 5 Çarşamba Günü Ortalaması:4 Ortalamaya olan uzaklıklar Saat +1 1. Saat +2 Saat 0 2. Saat +1 Saat -1 3. Saat -3 TOPLAMLARI0 TOPLAMLARI0 Bu durumda her iki gündeki tutarlılığın aynı olduğunu söylemek gerekecekti. Sizce her iki günün tutarlılığı aynı mı?

Buradan çıkardığınız sonucu tartışınız. Neden veri sayısının 1 eksiği alınıyor? Yazılıdan 70 alan bir çocuğun aldığı bu tek not için tutarlılığı hakkında ne söylersiniz? Şimdi bu çocuğun aldığı tek not için standart sapmayı hesaplayalım. Aritmetik ortalama: 70 Aritmetik ortalamaya uzaklıkların kareleri toplamı: (70-70)2=0 Şimdi bulduğumuz bu değeri veri sayısına bölüp karekök alarak standart sapmayı bulalım: Bu durumda bu çocuğun çok tutarlı olduğu söylenebilir. Oysa ki tek notla bir çocuğun tutarlılığı yorumlanamaz. Şimdi de veri sayısının 1 eksiğine bölüp karekök alarak standart sapmayı hesaplayalım. Bu durumda bu çocuğun tutarlılığı yorumlanamaz. Buradan çıkardığınız sonucu tartışınız.