1.Dereceden 1 Bilinmeyenli Denklemler

Tanımı İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitsizliklere denklem denir. Denklemi sağlayan bilinmeyenin değerine o denklemin kökü ya da kökleri denir. Denklemin kökünü veya köklerini bulmak için yapılan işleme denklemi çözme; kök veya köklerin oluşturduğu kümeye ise çözüm kümesi denir. Denklem; içindeki bilinmeyen sayısı ve bilinmeyenin üssüne göre adlandırılır.

Tanımı (devam) O HALDE; 8x – 3 = 13, y + 5 = 18 açık önermeleri bir bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir. İçinde bir tane bilinmeyeni bulunan ve üssü bir olan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Genel olarak; a,b,c Є R ve a �* 0 olmak üzere ax + b = c şeklinde gösterilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Denklem Çözümünde Bilinmesi Gereken Özellikler 1. Bir eşitliğin her iki yanına aynı reel sayı eklenirse, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin toplama kuralı denir. 2. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı aynı reel sayıyla çarpılırsa, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin çarpma kuralı denir. 3. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı aynı reel sayıya bölünürse, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin bölme kuralı denir. 4. Bir denklemde herhangi bir terimi eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçirerek işlem yapmak gerekiyorsa; geçirilen terimin işareti değiştirilir.

Pratik Çözüm Bir denklemi pratik çözmek için ; Bilinmeyenler eşitliğin bir yanında, bilinenler eşitliğin diğer yanında toplanır. Eşitliğin bir yanından diğer yanına geçen terimin işareti değişir. Her iki yanda toplama çıkarma işlemleri yapılır ve her iki yan bilinmeyenin katsayısına bölünerek bilinmeyen yalnız bırakılır. Denklem çözülmüş olur.

Örnekler 1. x + 4 = 12 denkleminin çözüm kümesini bulalım: Çözüm: x + 4 = 12 denkleminde (+4) nın toplama işlemine göre ters elemanı olan (-4), eşitliğin her iki yanına eklenirse eşitlik bozulmaz. Buna göre; x + 4 = 12 x + 4+ (-4) = 12 + (-4) x + 0 = 8 x = 8 olur. Ç = {8} olur. Verilen bir denklemin çözümünün doğru yapılıp yapılmadığının araştırılmasına, denklemin sağlaması denir.

Örnekler Bulunan kök, denklemde yerine yazılarak denklemin sağlaması yapılır böylece bulunan kökün doğruluğu kontrol edilir. 8 sayısının x + 4 = 12 denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim: x = 8 için x + 4 = 12 8 + 4 =12 12 = 12 olduğundan çözüm doğrudur. x + 4 = 12 x = 12 – 4 x = 8 ve Ç = {8} tür. Demek ki; her iki şekilde yapılan çözüm, aynı elemanı veren çözüm kümesidir.

Örnekler 2. Verilen denklem parantezli olursa; aşağıda yapıldığı gibi, önce dağılma özeliği uygulanarak parantezler kaldırılır. Sonra da içerisinde bilinmeyeni olan terimler eşitliğin bir tarafına, öteki terimler de diğer tarafına geçirilir. Gerekli işlemler yapılarak denklem çözülür. 2.(x + 5) + 6 = 46 – 4.( x - 6 ) Önce, çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özeliklerini uygulayalım Çözüm: 2.(x + 5) + 6 = 46 – 4.( x - 6 ) 2x + 10 + 6 = 46 – 4x + 24 2x + 16 = -4x + 70 2x + 4x = 70 – 16 6x = 54 x = 54 : 6 x =9 ve Ç = { 9 } olur.

Örnekler 3. 7 sayısının, 3x – 9 =17 denkleminin kökü olup olmadığını araştıralım: Çözüm: x = 7 için 3x – 9 = 17 3. 7 – 9 = 17 21 – 9 = 17 12 �* 17 olur Buna göre 7 sayısı 3x – 9 = 17 denkleminin çözüm kümesi değildir. Verilen bir sayının, verilen bir denklemin kökü olup olmadığını anlamak için verilen denklemdeki bilinmeyen sayı yerine yazılır. İşlemler yapılır. Eğer eşitlik sağlanıyorsa bu sayı denklemin çözüm kümesi, sağlanamıyorsa çözüm kümesi değildir denir.

Örnekler 2.(5x - 6) + 2 = 30 denkleminin çözüm kümesini R de bulalım Çözüm: Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özeliğini uygulayarak parantezi açalım. 2.(5x - 6) + 2 = 30 ise (2 . 5x) – (2 . 6) + 2 = 30 10x – 12 + 2 = 30 10x – 10 = 30 olur.

Örnekler Şimdi ( -10) un toplama işlemine göre ters elemanı olan (+10) u eşitliğin her iki tarafına ekleyelim. 10x – 10= 30 ise 10x – 10 + (+10) = 30 + (+10) 10x + 0 = 40 10x = 40 10x _ 40 10 ¯ 10 x = 4 ve Ç= {4} olur.

Örnekler 5. 5x + 2 = 27 denklemini R de çözelim. Çözüm: Eşitliğin her iki yanına (+2) nin toplama işlemine göre tersi olan (-2) sayısını ekleyelim. 5x + 2 + (-2) = 27 + (-2) 5x – 0= 25 ise 5x = 25 x = 25 : 5 x = 5 ve Ç= {5} olur