Olasılık Hesapları Rassal herhangi bir olayın, belli bir anda meydana gelip gelmemesi konusunda daima bir belirsizlik vardır. Bu sebeple olasılık hesaplarının konusunu rassal sonuçlar veren deneyler teşkil eder. Meydana gelmesi beklenen bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında bir değer olur. Eğer bir olayın kesinlikle olacağından emin olunuyorsa olayın meydana gelmesi %100’ olup olasılığı 1 ile gösterilir. Tersine bir olay kesinlikle olmaz deniyorsa o olayın olasılığı da sıfırdır. Olasılık Kavramı: Olasılık objektif ve sübjektif olmak üzere iki yaklaşımla ele alınmaktadır. Bunlardan en yaygın olarak kullanılanı objektif olasılık olup klasik olasılık ve nispi frekans kavramı olmak üzere iki şekilde ele alınır. Klasik olarak olasılık şöyle tarif edilebilir; Eğer bir olay birbirini karşılıklı olarak engelleyen ve hepsi de eşit şansa sahip olan N mümkün halden sadece a kadarında meydana geliyorsa (uygun hal), bu olayın olasılığı a/N olup, P(A) = a/N şeklinde yazılır. O halde kısaca klasik olasılık, uygun haller sayısının mümkün haller sayısına oranı olarak tarif edilebilir

Yukarıdaki tanımda iki olayın aynı anda meydana gelmesi mümkün değilse, bu iki olay birbirini karşılıklı olarak engelleyen (bağdaşmaz) olaylardır. Yani olaylardan biri meydana gelirken, diğerinin meydana gelmesinin imkansız olması hali. Benzer şekilde, iki olaydan herhangi birinin meydana gelme önceliği yoksa, bu iki olay eşit şansa sahiptir. Örneğin, bir gazete 30 kupon gönderen 50 okuruna televizyon vereceğini ilan ediyor. Bu ilanı 5000 okur iştirak ettiğinde, bu okurlardan herhangi birinin televizyon kazanması olasılığı nedir? Burada seçim işlemi rasgele yapılacaksa kampanyaya katılan her okurun televizyon kazanma olasılığı eşit olur. Kupon gönderen herhangi bir okurun hem televizyon kazanması, hem de kazanmaması olayları aynı anda ortaya çıkmaz dolayısıyla olaylar bağdaşmazdır. Böyle bir olay için olasılığı klasik olarak ifade edebiliriz. Herhangi bir okurun televizyon kazanma olasılığı

Objektif olasılık içinde yer alan ikinci kavram nispi (rölatif - izafi) frekans kavramıdır. Bu kavram deneylerin tekrarlanabilirliğine ve tekrarlama işleminin çok sayıda yapılabileceğine dayanır. Nispi frekans kavramına göre olasılık şu şekilde tanımlanabilir. Bir deneyin “N” kez tekrarlamasından sonra (N büyük bir sayı) bir olayın “a” kadar sayıda ortaya çıktığı gözlenirse, bu olayın olasılığı (meydana gelmesinin nispi frekansı) Buna aynı zamanda bir olayın tecrübi (deneysel) olasılığı da denir. Nispi frekans yaklaşımı ile bir olayın olasılığı, geçmişte meydana gelen benzer olaylar dikkate alınarak tahmin edilebilmektedir. Dolayısıyla P(A) = a/N söz konusu olayın gerçek olasılığının bir tahminidir.

Örnek: Üretim mühendisi belli bir mamul prosesinin kusurlu olasılığını belirlemek istiyor. Bu amaçla prosesten rastgele 250 mamul seçiyor ve test ediyor. Mamullerin 5 tanesinin kusurlu olduğuna göre bu prosesten seçilen herhangi bir mamulün kusurlu olma olasılığı ne olur? Nispi frekans yaklaşımına göre ; Olasılığın sübjektif yaklaşımı deneylerin tekrarlanabilirliğine dayanmaz. Yani tekrarlanabilir deneylere dayanmaz. İlk defa meydana gelen olaylara uygulanır. Olayların gerçek olasılık değerleri belirsiz ise bu gibi hallerde tatbik edilen bir yöntemdir. Özellikle Bayes karar teorisinde bu yaklaşımdan faydalanılmaktır. Ancak bu derste bu konu üzerinde durulmayacaktır.

Örnek Uzay ve Olay İstatistikte gözlem veya ölçme sürecine deney, deneyden elde edilen sonuçlara mümkün hal, bu mümkün hallerin meydana getirdiği kümeye o deneyin örnek uzayı adı verilmektedir. S ile gösterilen örnek uzay, küme teorisindeki U evrensel kümesidir. Örnek uzayın herhangi bir alt kümesi ise olay adını alır. Yani örnek uzay her biri bir nokta (örnek noktası) olarak düşünülebilen basit olaylardan meydana gelir. Olay A ile gösterilirse A  S’dir. Boş küme örnek uzayda da birer olay olarak kabul edilir ve imkansızlığı ifade eder, S ise kesinliği belirtir. Birden fazla basit olayın bir araya getirilmesi suretiyle bileşik olay teşkil edilebilir. Bunun için birleşim, kesişim ve tamamlayıcı kümelerden faydalanılır. Örnek uzay sınırlı veya sınırsız olabildiği gibi sürekli veya süreksiz de olabilir. Sınırlı veya sınırsız olmakla birlikte sayılabilir olay içeren örnek uzayı süreksizdir. Örnek uzaydaki olaylar sayılamayacak nitelikte olursa sürekli örnek uzayı olarak adlandırılır.

Olasılık Aksiyomları S örnek uzayı süreksiz olduğunda, A alt kümesini ifade eden gerçek bir sayı P(A) şeklinde yazılabilir ve A olayının olasılığı olarak adlandırılırlar. P küme fonksiyonu için aşağıdaki aksiyomlar sağlanmalıdır. Aksiyom 1: S’nin herhangi bir A alt kümesi (olayı) için 0 ≤ P(A) ≤ 1’dir. Aksiyom 2: P(S)= 1’dir. Aksiyom 3: A1,A2,A3..... alt kümeleri S’nin birbirlerini karşılıklı olarak önleyen (bağdaşmaz) sınırlı veya sınırsız alt kümelerinin birleşiminin olasılığı için özel toplama kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki kural tatbik edilir. Özel toplama kuralı : P(A1A2A3.....) =P(A1)+P(A2)+P(A3)+.........olur. Eğer birbirlerini karşılıklı olarak engelleyen sadece A1 ve A2 gibi iki olay söz konusu ise; P(A1A2)= P(A1) + P(A2) olur.

Birinci aksiyom herhangi bir olayın olasılığının mutlaka 0 ile 1 arasında (0 ve 1 dahil) bulunacağını ve negatif veya 1’den büyük bir olasılığın olmayacağını ifade etmektir. İkinci Aksiyon, örnek uzayının olasılığının veya bu örnek uzayı içinde yer alan bütün olayların toplamının olasılığının 1 olduğunu, yani dolaylı olarak kesinlik halini ifade etmektedir. Üçüncü aksiyom ise, aynı anda meydana gelmesi imkansız olayların toplamının olasılığının bu örnek olayların ayrı ayrı olasılıklarının toplamına eşit olduğu ifade etmektedir. Örnek Bir kutuda 80’i beyaz 20’si kırmızı 100 top vardır. Beyaz topların 30’u, kırmızı topların ise 5’i kusurludur. a) Kutulardan beyaz bir top çekme olasılığı nedir? b) Kusurlu bir top çekme olasılığı nedir? Çözüm a) b)

Örnek: 2 zar birlikte atıldığında toplamların 7 olması olasılığı ne olur? Çözüm: A olayı zarların toplamının 7 olma olayı olsun. Mümkün haller sayısı: 6x6=36 Uygun haller 1,6; 2,5; 3,4; 4,3; 5,2; 6,1 olup 6 tanedir. Şu halde toplamların 7 olma olasılığı: Örnek Dört para birlikte atılıyor. 2 yazı ve 2 tura gelme olasılığı ne olur? Çözüm: Mümkün haller sayısı 24 =2.2.2.2=16, 2 yazı, 2 tura gelme halleri YYTT, YTYT, YTTY, TYYT, TYTY, TTYY

Bazı Olasılık Teoremleri Teorem 1: S örnek uzayının bir alt kümesi A ise, A’da bulunan her bir mümkün hali temsil eden kümelerin olasılıkları toplamı P(A)’ya eşittir. Özel olarak P()=0, P(S)=1 dir. A=E1 E2 E3 .........olsun. Burada E’ler tarif gereği birbirlerini karşılıklı engelleyen mümkün hallerdir. Üçüncü aksiyoma göre; P(A)=P(E1 )+P(E2 )+P(E3 )+.......olur. Teorem 2: Herhangi bir A olayı için P(A’)= 1- P(A) olur. İspatı: AA’=S olduğundan P(AA’)=P(S) P(A)+P(A’)=1 veya P(A’)=1 – P(A) olur.

P(AB)=P(A)+P(B) – P(AB) Teorem 3: A ve B olayları birbirini engelleyen olaylar değilse, Yani bağdaşır olaylar ise bu iki olayın birleşiminin olasılığı genel toplama kuralı olarak bilinen aşağıdaki kurala göre belirlenir. P(AB)=P(A)+P(B) – P(AB) A, B, C gibi üç olay için bu kural şöyle yazılır. P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) – P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) Örnek: Eczaneye giren bir kişinin diş macunu alması A olayı ile diş fırçası alması B olayı ile temsil edilmiş olsun. P(A)= 0,70, P(B) = 0,50, her ikisini de alma olasılığı P(AB)=0,4 bu kişinin bir diş macunu veya diş fırçası alma olasılığı ne olur. Çözüm: Bu kişi sadece diş macunu alabileceği gibi sadece diş fırçası ya da her ikisini birden alabilir. Yani olaylar birbirini engelleyen olaylar değildir. Bu olayların bileşiminin olasılığı genel toplama kuralı ile belirlenir. P(AB)=P(A)+P(B) – P(AB) = 0,7+0,5-0,4 = 0,8 olur.

Örnek: P(A)=0,60, P(B)=0,30 ve P(AB)=0,20 olarak verildiği taktirde aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. a) P(AB) b)P(A’B’) c) P(AB’) d) P(A’B) e) P(A’B’) Çözüm: a) P(AB)= P(A)+P(B) – P(AB) = 0,60+0,30-0,20=0,70 b) P(A’B’) = P(AB)’ = 1-P(AB) = 1-0,20=0,80 c) P(A) = P(AB’) + P(AB) P(AB’)=P(A) - P(AB)= 0,60-0,20=0,40 d) P(B) = P(AB)+P(A’B)=P(A’B)=P(B) – P(AB) =0,30-0,20=0,10 e) P(A’B’) = P(AB)’=1- P(AB) = 1-0,7 = 0,3

Örnek: Bir öğrencinin fizik, kimya veya her iki dersten de kalması olasılıkları sırasıyla 0,20; 0,10; 0,05 ise a) Bu öğrenicinin derslerden en az birinden kalması olasılığını, b) Bu öğrencinin derslerden en az birinden geçmesi olasılığını, Çözüm: Öğrencinin fizikten, kimyadan veya her iki dersten de kalması olasılıkları sırasıyla P(A) = 0,20, P(B) = 0,10, P(AB) = 0,05 ile gösterildiği zaman a) P(AB)= P(A)+P(B)-P(AB)= 0,20+0,10-0,05=0,25 b) P(A’B’)=P(AB)’=1-P(AB) = 1-0,05=0,95