slayt6 Belirli İntegral Teorem: f:[a,b]  R , g:[a,b]  R fonksiyonları [a,b] aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. c  [a,b] ve k  R olmak üzere:

slayt7 Belirli İntegral Örnek: a-) b-) c-)

slayt8 Belirli İntegral Çözüm: a-) b-) c-)

Belirli İntegralin Uygulamaları Alan Hesabı Dönel Cisimlerin Hacimleri

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt1 Belirli İntegralin Uygulamaları Alan Hesabı Eğrilerle sınırlı düzlemsel bölgelerin alan hesabını yaparken, aşağıdaki teoremi kullanacağız. Teorem: f:[a,b]  R , f(x) fonksiyonu pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. y=f(x) eğrisi, x=a , x=b ve y=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt2 Belirli İntegralin Uygulamaları 1.Sonuç: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında negatif değer alıyorsa,

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt3 Belirli İntegralin Uygulamaları 2.Sonuç: f:[a,b] R ,y=f(x) fonksiyonu, aralığın bir parçasında negatif değerli, bir parçasında pozitif değerli ise,

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt4 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek1: f(x)=3x2+6x eğrisi ve Ox ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanını hesaplayalım.

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt5 Belirli İntegralin Uygulamaları Çözüm1: Şekilden görülebileceği gibi, f(x)=3x2 +6x=0 denkleminin kökleri 3x(x+2)=0  x1=-2 ve x2=0 dır. Kökler arasında f(x)<0 olduğundan; aranan alan;

Belirli İntegralin Uygulamaları Slayt6 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek2: Aşağıdaki grafik, f(x)=lnx fonksiyonuna aittir. Buna göre, taralı alanlar toplamı S ise, S değeri nedir?

Belirli İntegralin Uygulamaları Slayt7 Belirli İntegralin Uygulamaları Çözüm2: Fonksiyon [1/e,1] arasında negatif, [1,e2] arasında pozitif değerler aldığı dikkate alınırsa, aranan alan;

Belirli İntegralin Uygulamaları Slayt8 Belirli İntegralin Uygulamaları 3.Sonuç: f:[a,b]R , g:[a,b]R integranellenebilen iki fonksiyon olsun.

Belirli İntegralin Uygulamaları Slayt9 Belirli İntegralin Uygulamaları Bu durumda, iki eğri arasında kalan taralı alan;

Belirli İntegralin Uygulamaları Slayt10 Belirli İntegralin Uygulamaları 4.Sonuç:

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt11 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek1: f(x)=sinx ve g(x)=cosx fonksiyonları veriliyor: a. İki fonksiyonun grafikleri arasında kalan ve x=0 , x=/6 doğruları ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz. b. İki eğri arasındaki kapalı bölgelerinden birisinin alanını hesaplayınız.

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt12 Belirli İntegralin Uygulamaları Çözüm1: a. f(x)=sinx , g(x)=cos(x) fonksiyonlarının grafikleri şekildeki görülmektedir. x[0,/6] aralığında cosx>sinx olduğundan;

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt13 Belirli İntegralin Uygulamaları b. f(x) = g(x)  sinx = cosx  cos (/2-x) = cosx  x1= /4 , x2= 5/4 . O halde, f(x)=sinx , g(x)=cosx eğrileri arasındaki sınırlı bölgelerden birinin alanı,

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt14 Belirli İntegralin Uygulamaları Teorem: g:[c,d]  R , x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt15 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek: Aşağıdaki şekilde, x = y2+1 eğrisinin x=1 ile x=5 aralığındaki parçası çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2 dir? Çözüm: Önce integralin sınırlarını bulalım. x=1 için, 1=y2+1 y=0 x=5 için, 5=y2+1 y0 olduğundan, y=2 bulunur.

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt16 Belirli İntegralin Uygulamaları 5.Sonuç: x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında negatif değerler alan integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Bu durumda; x=g(y) eğrisi, y=c , y=d , ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı;

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt17 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen parabolün denklemi , x=y2-2y dir. Taralı bölgenin alanının kaç birim kare olduğunu bulalım. Çözüm: y2-2y=0  y1=0  y2=2 bulunur. Buna göre taralı alan;

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt18 Belirli İntegralin Uygulamaları 6.Sonuç: Eğer x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında hem negatif hem de pozitif değerler alıyorsa, x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı,

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt19 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen eğrinin denklemi , x= -y.(y+1).(y-2) dir. Buna göre,taralı alanların toplamı kaç birim karedir? Çözüm: x= -y.(y+1).(y-2)=0  y1=-1 , y2=0 , y3=2 bulunur. Verilen bağıntı denkleminde; -1<y<0 için, f(y)>0 olduğundan aranan alanlar toplamı;

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt20 Belirli İntegralin Uygulamaları 7.Sonuç: x=g(y) , x=f(y) eğrileri arasında kalan y=c , y=d doğruları ile sınırlı alan;

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt21 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek: x=y2 parabolü ile x+y=6 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanını bulunuz. Çözüm: y2=6-y  y2+y-6=0  y1 =-3  y2 =2 bulunur.

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt22 Belirli İntegralin Uygulamaları Dönel Cisimlerin Hacimleri Teorem: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere, y=f(x) eğrisi etrafında, x=a , x=b ve Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmi;

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt23 Belirli İntegralin Uygulamaları 1.Sonuç: [a,b] aralığında integrallenebilen iki fonksiyon, y=f(x) ve y=g(x)olsun. x[a,b] için f(x)g(x)0 ise; y=f(x) ve y=f(x) eğrileri, x=a ve x=b doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi; Örnek: f(x)=x2 eğrisi, x=0 , x=2 doğruları ve Ox ekseni etrafından sınırlanan kapalı bölgenin Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt24 Belirli İntegralin Uygulamaları Çözüm: Elde edilen cisim, yukarıdaki şekilde görülmektedir.

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt25 Belirli İntegralin Uygulamaları 2.Sonuç: x=f(y) fonksiyonunun eğrisi, y=c , y=d doğruları ve Oy ekseni ile sınırlanan düzlemsel bölgenin Oy etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt26 Belirli İntegralin Uygulamaları 3.Sonuç: y[c,d] için f(y)g(y)0 ise; x=f(y) ve x=g(y) eğrileri ile y=a ve y=b doğruları arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan yeni cismin hacmi;

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt27 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek1: y=x2 parabolü, x=0 , y=2 doğruları arasında kalan bölgenin Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz. Çözüm1: y=x2  x=y (x0= dır. Oluşan cismin hacmi;

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt28 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek2: x=y2 eğrisi ve y=x2 eğrisi arasında kalan düzlemsel bölgenin Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz.

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt29 Belirli İntegralin Uygulamaları Çözüm2: y=x2  y=(y2)2  y=y4  y-y4 =0  y=0 ve y=1 bulunur. O halde, oluşan dönel cismin hacmi; y[0,1] da y=x2 parabolünün oluşturduğu hacimden, x=y2 parabolünün oluşturduğu hacim çıkartılarak bulunur.

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt30 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek3: x+y=1 eğrisinin koordinat eksenleri arasında kalan bölgenin, Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz.

Belirli İntegralin Uygulamaları slayt31 Belirli İntegralin Uygulamaları Çözüm3: y=1-x  y=1-2x+x dir. Eğri, eksenleri x=1 ve y=1 de keser.

Bitir