DİFERANSİYEL AKIŞ ANALİZİ 9. BÖLÜM DİFERANSİYEL AKIŞ ANALİZİ

9. DİFERANSİYEL AKIŞ ANALİZİ 9.1. GİRİŞ 9.2. KÜTLENİN KORUNUMU – SÜREKLİLİK DENKLEMİ 9.3. AKIM FONKSİYONU 9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN KORUNUMU – CAUCHY DENKLEMİ 9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ 9.6. AKIŞ PROBLEMLERİNİN DİFERANSİYEL ANALİZİ

9.1. GİRİŞ Kontrol hacmi tekniği, kontrol hacmine giren ve kontrol hacminden çıkan kütlesel debiler veya cisimler üzerine uygulanan kuvvetler gibi bir akışın genel özellikleri ile ilgilendiğimizde yararlıdır. Hava hızı bilinirse çanak anten üzerindeki net tepki kuvveti hesaplanabilir.

9.1. GİRİŞ Diferansiyel analiz, akışkan hareketinin diferansiyel denklemlerinin akış bölgesi olarak adlandırılan bir bölge boyunca akış alanındaki her noktaya uygulanmasını gerektirir. Bu teknikte tüm akış bölgesi boyunca her bir noktadaki hız, yoğunluk, basınç vb. hakkında detaylı bilgi elde edilir.

9.1. GİRİŞ Üç boyutlu sıkıştırılamaz akış için - dört bilinmeyen (u, v, w ve P) ve - dört denklem (kütlenin korunumu ve x, y, z yönündeki Newton’un ikinci yasası) vardır.

9.1. GİRİŞ Akışın diferansiyel analizi karmaşık ve zordur: Bağlı denklemler, Diferansiyel denklem takımı dört değişken için birlikte çözülmeli, Sınır şartları belirtilmeli, Akış daimi olmayabilir.

9.2. KÜTLENİN KORUNUMU Reynolds transport teoreminden: Diverjans (Gauss) teoremi kullanılırsa (Alman Matematikçi Gauss (1777-1855)) elde edilir.

9.2. KÜTLENİN KORUNUMU Bir yüzeyden geçen kütlesel debi; yoğunluk, yüzün merkezindeki hızın normal bileşeni ve yüzey alanının çarpımına eşittir.

9.2. KÜTLENİN KORUNUMU Süreklilik denklemi:

9.2. KÜTLENİN KORUNUMU

9.2. KÜTLENİN KORUNUMU Süreklilik denkleminin alternatif formu Bu denklem, akış alanı boyunca bir akışkan elemanını izlerken (buna maddesel eleman denir) değeri değiştiğinde, bu akışkan elemanının yoğunluğunun değiştiğini göstermektedir.

9.2. KÜTLENİN KORUNUMU Koordinat dönüşümleri Silindirik koordinatlarda süreklilik denklemi:

Süreklilik Denkleminin Özel Durumları Daimi sıkıştırılabilir akış

Süreklilik Denkleminin Özel Durumları Sıkıştırılamaz akış

Süreklilik Denkleminin Özel Durumları Sıkıştırılamaz akış alanının bir bölümünde hız alanı değiştiğinde, akış alanının geri kalan kısmı süreklilik denklemini tüm zamanlarda sağlayacak şekilde kendini ayarlar. Sıkıştırılabilir akışta ise akışın bir bölümündeki tedirginlik, biraz ötedeki akışkan tanecikleri tarafından ses dalgası bu noktaya ulaşıncaya kadar hissedilmez.

Örnek 9.3

Örnek 9.4

Örnek 9.5

Örnek 9.5

Örnek 9.7

9.3. AKIM FONKSİYONU xy düzleminde iki-boyutlu basit sıkıştırılamaz akış için süreklilik denklemi: Kartezyen koordinatlarda, sıkıştırılamaz, iki boyutlu akım fonksiyonu:

9.3. AKIM FONKSİYONU Süreklilik denklemi sağlanır.  düzgün bir fonksiyon olmalıdır yani hem kendisi hem de türevi sürekli olmalıdır. İki değişkenin (u, v) yerini tek bir değişken () almıştır. Sabit  eğrileri akışın akım çizgileridir.

9.3. AKIM FONKSİYONU

Örnek 9.8

Örnek 9.8

Örnek 9.9

9.3. AKIM FONKSİYONU Bir akım çizgisinden diğerine  değerleri arasındaki fark, birim genişlik başına bu iki akım çizgisi arasından geçen hacimsel debiye eşittir. Hiçbir akış, akım çizgisini geçemez.

9.3. AKIM FONKSİYONU Akım çizgileri birbirinden uzaklaştıkça hız vektörlerinin büyüklükleri azalır. Akım çizgileri birbirine yaklaştıkça aralarındaki ortalama hız artar. Akım fonksiyonu ’nin değeri xy-düzleminde akış yönünün soluna doğru artar.

9.3. AKIM FONKSİYONU

Silindirik Koordinatlarda Akım Fonksiyonu Düzlemsel akış (r, ) süreklilik denklemi sıkıştırılamaz, düzlemsel akış fonksiyonu

Silindirik Koordinatlarda Akım Fonksiyonu Eksenel simetrik akım (r, z) (küreler, mermiler, kanatları hariç torpido, füzeler etrafındaki akış) süreklilik denklemi sıkıştırılamaz, eksenel simetrik akım fonksiyonu

Silindirik Koordinatlarda Akım Fonksiyonu

Silindirik Koordinatlarda Akım Fonksiyonu

Sıkıştırılabilir Akım Fonksiyonu Süreklilik denklemi Daimi, sıkıştırılabilir akım fonksiyonu Bir akım çizgisinden diğerine akım fonksiyonunun değerindeki değişim, birim genişlik başına kütlesel debiye eşittir.

9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN KORUNUMU (CAUCHY DENKLEMİ) Kartezyen koordinatlarda Cauchy Denklemi:

9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN KORUNUMU (CAUCHY DENKLEMİ)

9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ Cauchy denklemi olduğu haliyle bizim için pek kullanışlı değildir. Çünkü gerilme tensörü ij altısı bağımsız (simetriden ötürü) olmak üzere toplam dokuz bileşen barındırmaktadır. Yoğunluk ve hızın üç bileşenine ilaveten altı bilinmeyen daha vardır ve toplamda bilinmeyen sayısı on olur. Sadece dört denklem – süreklilik (bir denklem) ve Cauchy denklemi (üç denklem) vardır. Altı denkleme daha ihtiyaç vardır ve bunlara bünye denklemleri denir. Bünye denklemleri gerilme tensörü bileşenlerini, hız alanı ve basınç alanı cinsinden verir.

9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ Akışkan durgun halde ise herhangi bir akışkan elemanının herhangi bir yüzeyine etkiyen tek gerilme Daima yüzeyin normali doğrultusunda ve içeri doğru etkiyen yerel hidrostatik basınç P’dir.

9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ P hidrostatik basıncı, termodinamik basınçtır. P basıncı, bir çeşit hal denklemi (örneğin ideal gaz yasası) yardımıyla yoğunluk ve sıcaklık ile ilişkilendirilir. Bu durum, sıkıştırılabilir bir akış analizini daha da zorlaştırır. Çünkü bu durumda analize bir bilinmeyen daha dahil olacaktır. Bu yeni bilinmeyen, bir başka denklemi – enerji denkleminin diferansiyel formunu - gerektirir.

9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ Bir akışkan hareket ederken, basınç yine etki eder, ancak bunun yanında viskoz gerilmeler de bulunabilir: ij: viskoz gerilme tensörüdür

9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ Bünye denklemleri, ij’yi hız alanı ve viskozite gibi ölçülebilir akışkan özellikleri cinsinden ifade etmeye yarar. Bünye ilişkilerinin gerçek formu akışkanın tipine bağlıdır.

9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ Eğer akışkan sıkıştırılamaz ise hiçbir hal denklemi yoktur (hal denkleminin yerini =sabit denklemi alır) ve artık P termodinamik basınç olarak tanımlanamaz. P mekanik basınç olarak tanımlanır: Mekanik basınç, bir akışkan elemanı üzerinde içe doğru etkiyen ortalama normal gerilmedir. Buna ortalama basınç da denir.

9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ Sıkıştırılamaz akışları çözümlerken basınç değişkeni P daima mekanik basınç Pm olarak düşünülür. Sıkıştırılabilir akışlar için P basıncı termodinamik basınçtır. Bir akışkan elemanının yüzeyinde hissedilen ortalama normal gerilmenin P ile aynı olması zorunlu değildir (basınç değişkeni P, mekanik basınç Pm’ye eşit olmak zorunda değildir).

Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar Akmakta olan akışkanların deformasyonunu inceleyen bilim dalına reoloji denir. Newton tipi akışkan: Kayma gerilmesi şekil değiştirme hızıyla doğrusal olarak değişen akışkanlardır.

Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar Newton tipi akışkanlar elastik katılara benzerdir (Hook yasası: gerilme şekil değiştirme ile orantılıdır). Örnekler: hava ve diğer gazlar su gazyağı benzin bazı yağ-bazlı sıvılar

Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar İnce çamurumsu karışımlar Peltemsi süspansiyonlar Polimer çözeltileri Kan Macun Cıvık kek hamuru

Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar Bazı Newton tipi olmayan akışkanlarda kayma gerilmesi sadece şekil değiştirme hızına değil aynı zamanda gerilmenin önceki değişimlerine de bağlıdır. Uygulanan gerilme kaldırıldığında baştaki asıl şekline (tamamen ya da kısmen) dönen akışkana viskoelastik denir.

Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar İncelen akışkanlar (sanki-plastik akışkanlar): Ne kadar hızlı şekil değişimine uğrarlarsa o denli az viskoz duruma gelirler: Boya

Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar Bingham plastik akışkanlar: Harekete geçirebilmek için akma gerilmesi denilen sonlu bir gerilmenin uygulanmasına ihtiyaç vardır: Cilt kremi Diş macunu

Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar Kalınlaşan akışkanlar (kabaran akışkanlar veya dilatant akışkanlar): Gerilme veya şekil değiştirme hız arttıkça akışkan daha viskoz hale gelir: Bataklık kumu

Sıkıştırılamaz, İzotermal Akış İçin Navier-Stokes Denklemleri Newton tipi akışkan, sıkıştırılamaz ve izotermal akışlar için viskoz gerilme tensörü: ij şekil değiştirme hızı tensörüdür.

Sıkıştırılamaz, İzotermal Akış İçin Navier-Stokes Denklemleri Viskoz gerilme tensörü:

Sıkıştırılamaz, İzotermal Akış İçin Navier-Stokes Denklemleri Sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemi Fransız Mühendis Louis Marie Henri Navier (1785-1836) İngiliz matematikçisi Sir George Gabriel Stokes (1819-1903)

Sıkıştırılamaz, İzotermal Akış İçin Navier-Stokes Denklemleri NS denklemleri akışkanlar mekaniğinin köşe taşıdır. NS denklemleri Daimi olmayan Doğrusal olmayan İkinci mertebeden Kısmi diferansiyel denklemlerdir.

Sıkıştırılamaz, İzotermal Akış İçin Navier-Stokes Denklemleri Çok basit akış alanları dışında NS denklemlerinin analitik çözümleri elde edilemez. Pek çok araştırmacı tüm kariyerini NS denklemlerini çözmeye çalışmakla tüketmiştir. Dört bilinmeyen (üç hız bileşeni ve basınç) ve dört denklem (süreklilik ve üç NS denklemi)

Kartezyen Koordinatlarda Süreklilik ve Navier-Stokes Denklemleri

Silindirik Koordinatlarda Süreklilik ve Navier-Stokes Denklemleri

Silindirik Koordinatlarda Süreklilik ve Navier-Stokes Denklemleri Silindirik koordinatlarda viskoz gerilme tensörü:

9.6. AKIŞ PROBLEMLERİNİN DİFERANSİYEL ANALİZİ Diferansiyel hareket denklemleri (süreklilik ve NS denklemleri) iki tür problemde kullanılır: Bilinen bir hız alanı için basınç alanının hesaplanması Bilinen geometri ve sınır şartları için hem hız hem de basınç alanlarının hesaplanması

Bilinen Bir Hız Alanı İçin Basınç Alanının Hesaplanması Süreklilik denkleminde basınç bulunmadığından, hız alanı teorik olarak sadece kütlenin korunumuna dayanarak oluşturulabilir. Hız, hem süreklilik hem de NS denkleminde bulunduğundan bu iki denklem bağlıdır. Basınç NS denkleminin her üç bileşeninde de yer alır ve böylece hız ve basınç alanları da bağlıdır. Böylece bilinen bir hız alanı için basınç alanı hesaplanabilir.

Örnek 9.13

Örnek 9.13

Örnek 9.13

Bilinen Bir Hız Alanı İçin Basınç Alanının Hesaplanması Sıkıştırılamaz bir akışın hız alanı, basıncın mutlak büyüklüğünden değil sadece basınç farklarından etkilenir.

Bilinen Bir Hız Alanı İçin Basınç Alanının Hesaplanması

Bilinen Bir Hız Alanı İçin Basınç Alanının Hesaplanması “Sıkıştırılamaz bir akışın hız alanı, basıncın mutlak büyüklüğünden değil sadece basınç farklarından etkilenir” ifadesi P’nin mekanik basınç olmaktan çıkıp termodinamik basınç olmasından dolayı sıkıştırılabilir akışlar için geçerli değildir. Bu durumda P bir hal denklemiyle yoğunluk ve sıcaklıkla ilişkilendirilir ve basıncın mutlak büyüklüğü önemli olur. Bu durumda kütle ve momentumun korunumu denklemlerinin yanında hal denklemi de dikkate alınmalıdır.

Örnek 9.14

Örnek 9.14

Örnek 9.14

Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam Çözümleri

Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam Çözümleri Sınır şartları (Kaymama koşulu ve arayüz sınır şartları): Kaymama koşulu: Katı çeper ile temas halinde olan akışkan hızı, çeper hızına eşittir: Durağan haldeki çepere bitişik akışkanın hızı sıfırdır. Akışkan sıcaklığı çeper sıcaklığına eşittir. Kaymama koşulu, uzay gemilerinin atmosfere girişleri sırasında ve çok küçük tanecik (mikron altı) hareketlerinin incelenmesinde olduğu gibi seyrek gaz akışlarında geçerli değildir. Bu tür akışlarda hava çeper boyunca kayabilir.

Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam Çözümleri Seçilen referans koordinat sistemine göre kaymama koşulunu tayin ederken dikkatli olmak gerekir. Durağan bir referans koordinat sistemine göre silindire bitişik akışkan durgun, hareket halindeki pistona bitişik akışkan ise: Vakışkan = Vçeper = Vp Pistonla hareket eden bir referans koordinat sistemine göre pistona bitişik akışkanın hızı sıfır, ancak silindire bitişik akışkan hızı: Vakışkan = Vçeper = -Vp

Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam Çözümleri Sınır şartları: Arayüz sınır şartları: Arayüzde iki akışkan hızı eşittir. Arayüze paralel doğrultuda arayüze bitişik bir akışkan parçacığına etkiyen kayma gerilmesi iki akışkan arasında aynı olmalıdır.

Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam Çözümleri Arayüzdeki basınç için ne söylenebilir? Yüzey gerilim etkileri önemsiz veya arayüz yaklaşık olarak düz ise PA= PB’dir. Arayüz kılcal bir boruda yükselen sıvı menisküsünde olduğu gibi keskin kıvrımlı ise, arayüzün bir yanındaki basınç diğer yanındakinden önemli ölçüde farklı olabilir. Bir arayüzdeki basınç sıçraması, yüzey gerilimi etkilerinin bir sonucu olarak arayüzün eğrilik yarıçapıyla ters orantılıdır.

Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam Çözümleri Yüzeydeki hava ve su hızları ile yüzeydeki su parçacığını etkiyen kayma gerilmesi, yüzeyin tam üzerindeki bir hava parçacığına etkiyen kayma gerilmesine eşit olmalıdır:

Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam Çözümleri Suyun mutlak viskozitesi havanınkinin 50 katı büyüklüğündedir. Kayma gerilmelerinin eşit olabilmesi için (∂u/∂y)hava (∂u/∂y)su‘dan 50 kat büyük olmalıdır. Buna göre suyun yüzeyine etkiyen kayma gerilmesi, suyun içindeki herhangi bir yerdeki kayma gerilmesine oranla ihmal edilebilir derecede küçük kabul edilebilir.

Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam Çözümleri Hareket eden su, kendisiyle beraber havayı önemli ölçüde bir dirençle karşılaşmadan sürüklerken, hava bu esnada suyu fark edilir biçimde yavaşlatmaz. Yüzey gerilim etkilerinin önemsiz olduğu bir sıvı ile bir gazın arayüzünde serbest yüzey sınır şartları:

Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam Çözümleri Diğer sınır şartları problemin kurulumuna bağlı olarak ortaya çıkar: Giriş sınır şartları Çıkış sınır şartları Simetri sınır şartları Başlangıç sınır şartları (genellikle t = 0)

Örnek 9.15

Örnek 9.15

Örnek 9.15

Örnek 9.15

Örnek 9.15

Örnek 9.15

Örnek 9.15 Couette akışı çözümünün çok iyi bir yaklaştırım olduğu birkaç pratik akış vardır. Böyle bir akış dönel viskozimetre denilen ve viskozite ölçümünde kullanılan bir tür düzenek içerisinde gerçekleşir. Böyle bir viskozimetrede içteki silindire bitişlk bulunan akışkan elemanı üzerine etkiyen viskoz kayma gerilmesi yaklaşık olarak:

Örnek 9.15 Torkun ve açısal hızın ölçülmesiyle viskozite belirlenir.

Örnek 9.16

Örnek 9.16

Örnek 9.16

Örnek 9.16

Örnek 9.16

Örnek 9.17

Örnek 9.17

Örnek 9.17

Örnek 9.17

Örnek 9.18

Örnek 9.18

Örnek 9.18

Örnek 9.18

Örnek 9.18

Örnek 9.18

Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam Çözümleri Bu bölümde çözülen örneklerde sıkıştırılamaz laminer akışlar dikkate alındı. Aynı diferansiyel denklem takımı (sııkıştırılamaz süreklilik ve Navier-Stokes denklemleri) sıkıştırılamaz türbülanslı akışlar için de geçerlidir. Bununla birlikte akışkanı karıştıran rastgele, daimi olmayan ve üç-boyutlu girdaplar bulunduğundan, türbülanslı akış çözümleri çok daha karmaşıktır.

Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam Çözümleri Ayrıca bu girdaplar büyüklük bakımından birkaç mertebe farklı bir boyut aralığında olabilir. Türbülanslı bir akış alanında denklemlerde yer alan hiçbir terim (bazı durumlarda yerçekimi terimi hariç) ihmal edilemez ve bir çözüm elde etmek için tek umut bir bilgisayarda sayısal hesaplama yapmaktır. Bu durumda Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği (HAD) kullanılır.

ÖZET

ÖZET

ÖZET