MATEMATİK KONU:PERMÜTASYON VE OLASILIK

PERMÜTASYON VE OLASILIK Genel Çarpma Özelliği: Art arda iki işlemden biri a farklı yoldan, ikincisi birinciye bağlı olarak b farlı yoldan gerçekleşiyorsa, bu iki işlem birlikte a.b farklı yoldan gerçekleşir. Edirne’den İstanbul’a kara yolu, demir yolu ve hava yolu ile gidilmektedir.İstanbul’dan Samsun’a kara yolu, demir yolu, deniz yolu ve hava yolu ile gidilebilmektedir. Ahmet’in Edirne’de okumakta olan ağabeyi İstanbul’daki teyzesine uğrayıp memleketi olan Samsun’a kaç değişik yoldan gidebilir?

Edirne 3 yol ile İstanbul 4 yol ile Samsun Edirne’den Samsun’a 3.4= 12 yoldan gidilebilir.

Birbirinden farklı n elemanın her farklı sıralanışına bu elemanların bir permütasyonu denir ve elemanının farklı permütasyonlarının sayısı P(n,n)=n! dir. A={3,4,5,6} kümesinin elemanları ile rakamları farklı, 4 basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir? 4 3 2 1 P(4;4)=4!=4.3.2.1=24 doğal sayı yazılabilir.

n Elemanlı Bir Kümenin r li Permütasyonları n elemanlı bir kümenin r<n olmak üzere r elemanlı her bir permütasyonuna (sıralanışa), n elemanlı bir kümenin r li permütasyonu denir. Genel olarak; n n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı, P(n;r)= n! (n-r)! dir.(r<n) A={2,3,4,5,6} kümesinin her elemanını bir defa kullanmak şartıyla, üç basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir? 2! 5! P(5;3) = (5-3)! = 60’ tane doğal sayı yazılabilir.

1elma, 1 armut, 1 üzüm kaç farklı şekilde yenilebilir? Üzüm, elma, armut Elma, üzüm,armut Armut, elma, üzüm Üzüm, armut, elma Armut, üzüm, elma Elma,armut, üzüm Sonuç: n farklı nesne n! şekilde sıralanır.

Çembersel (Dönel) Permütasyon Genel olarak; n elemanlı bir kümenin çembersel permütasyonlarının sayısı, (n-1)! dir. 5 kişilik bir öğrenci grubunun yuvarlak bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturtabiliriz? Masa yuvarlak olduğundan başlangıç noktası belli değildir.öğrencilerden biri oturtulup yeri belirlenir.geriye kalan 4 kişi kendi aralarında P(4;4)=4! Olduğundan 5 öğrenci yuvarlak masa etrafına 4!=24 değişik şekilde oturabilir.

Tekrarlı permütasyon n elemanlı bir kümenin n1,n2,n3, Tekrarlı permütasyon n elemanlı bir kümenin n1,n2,n3,...,nmtanesi aralarında aynı ise bu kümenin n’li permütasyon sayısı n! n1!.n2!n3!...nm! YAKACAK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 7harfli kaç farklı kelime yazılabilir? 7! = 420 değişik kelime yazılabilir. 2!.3!.1!1!

OLASILIK Günlük yaşamımızda olasılık kavramıyla her zaman karşılaşırız. Örneğin; Pazar günü yağmur yağma ihtimali var. Bu dersten geçme olasılığım çok yüksek. Bu ifadeler gibi sonucundan kesinlikle emin olmadığınız düşünce tarzları matematikte olasılık adı altında incelenir. Tüm hallerin oluşturduğu kümeye örnek uzay denir. Örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir. Uygun olaylar Tüm olaylar = s(A) s(E) = P(A)

İki zar birlikte atılıyor İki zar birlikte atılıyor.Gelen sayıların toplamının 10 gelme olasılığı nedir? E={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} s(E)=36 A={(4,6),(6,4),(5,5)} s(A)=3 s(E) O(A)= s(A) = 36 3 1 12

:: . .. Bir zar ile bir madeni para aynı anda atılıyor. Paranın yazı zarın 2’nin katı olan bir sayı gelmesi olasılığını bulalım. E={Y,T} A={T} ise s(A) = 1 s(E) = 2 ise P(A) = s(A) s(E) 1 2 = E2={1,2,3,4,5,6} ise s(E2) = 6 B=(2,4,6) s(B) = 3 ise P(B) = 1 2 3 6 = P(AUB) = P(A).P(B) = 1 2 . = 4